Kurs:Lineare Algebra/Teil II/8/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	${}\sum$
Punkte	3	3	12	6	12	2	10	3	3	3	4	3	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Orthogonalbasis in einem ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.
2. Eine eigentliche Isometrie

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem euklidischen Vektorraum ${}V$.

3. Ein normaler Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$.

4. Die Linksnebenklasse von ${}x$ in einer Gruppe ${}G$ bezüglich einer Untergruppe ${}H\subseteq G$.
5. Ein orientierter ${}\mathbb {R}$- Vektorraum.
6. Ein stabiler Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$.

Lösung

1. Eine Basis ${}v_{i}$, ${}i\in I$, von ${}V$ heißt Orthogonalbasis, wenn

   $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$

   gilt.

2. Eine Isometrie heißt eigentlich, wenn ihre Determinante gleich ${}1$ ist.
3. Ein Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   heißt normal, wenn ${}\varphi$ und ${}{\hat {\varphi }}$ vertauschbar sind.

4. Die Teilmenge

   ${}xH={\left\{xh\mid h\in H\right\}}\,$

   heißt die Linksnebenklasse von ${}x$ in ${}G$ bezüglich ${}H$.

5. Ein reeller Vektorraum ${}V$ heißt orientiert, wenn er endlichdimensional und auf ihm eine Orientierung erklärt ist.
6. Der Endomorphismus ${}\varphi$ heißt stabil, wenn die Folge ${}\varphi ^{n}$ in ${}\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}$ beschränkt ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Spektralsatz für komplexe Isometrien.
2. Der Satz über die Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$.
3. Der Konvergenzsatz für stochastische Matrizen.

Lösung

1. Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {C} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   eine Isometrie. Dann besitzt ${}V$ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren zu ${}\varphi$.
2. Die Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$ sind genau die Teilmengen der Form

   ${}\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

   mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl ${}d$.
3. Es sei ${}M$ eine spaltenstochastische Matrix mit der Eigenschaft, dass es eine Zeile gibt, in der alle Einträge positiv sind. Dann konvergiert zu jedem Verteilungsvektor ${}v\in \mathbb {R} _{\geq 0}^{n}$ mit ${}\sum _{i=1}^{n}v_{i}=1$ die Folge ${}M^{n}v$ gegen die eindeutig bestimmte stationäre Verteilung von ${}M$.

Aufgabe weiter

Der ${}\mathbb {R} ^{n}$ sei mit der Maximumsnorm

${}\Vert {v}\Vert =\Vert {v}\Vert _{\rm {max}}\,$

versehen. Wir interessieren und für die reellen Matrizen

${}M=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\,$

mit der Eigenschaft

${}\Vert {Mv}\Vert =\Vert {v}\Vert \,$

für alle ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$. Eine solche Matrix nennen wir ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrisch.

1. Zeige, dass eine ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrische Matrix invertierbar ist.
2. Zeige, dass die Menge der ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrischen Matrizen eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe bildet.
3. Zeige, dass eine Permutationsmatrix ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrisch ist.
4. Unter einer Vorzeichen-Permutationsmatrix verstehen wir eine Matrix, die aus einer Permutationsmatrix entsteht, indem man eintragsweise vor die ${}1$ jeweils ein ${}+$ oder ein ${}-$-Zeichen setzt. Man gebe ein Beispiel für eine ${}3\times 3$-Vorzeichen-Permutationsmatrix, die keine Permutationsmatrix und keine obere Dreiecksmatrix ist und deren Determinante gleich ${}1$ ist.
5. Zeige, dass eine Vorzeichen-Permutationsmatrix ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrisch ist.
6. Zeige, dass jede ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrische Matrix eine Vorzeichen-Permutationsmatrix ist.

Lösung

1. Wenn ${}M$ nicht invertierbar wäre, so gäbe es einen nichttrivialen Kern, sagen wir ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$, ${}v\neq 0$, mit

   ${}Mv=0\,.$

   Dann ist aber

   ${}\Vert {v}\Vert \neq 0\,$

   und

   ${}\Vert {Mv}\Vert =0\,,$

   was der isometrischen Eigenschaft widerspricht.

2. Die Einheitsmatrix ist offenbar ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrisch. Wenn ${}M$ und ${}N$ diese Eigenschaft haben, so ist wegen

   ${}{\begin{aligned}\Vert {(M\circ N)v}\Vert &=\Vert {M(Nv)}\Vert \\&=\Vert {Nv}\Vert \\&=\Vert {v}\Vert \end{aligned}}$

   die Verknüpfung ${}M\circ N$ ebenfalls ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrisch. Wenn ${}N$ die inverse Matrix zur ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrischen Matrix ${}M$ ist, so ist wegen

   ${}\Vert {Nv}\Vert =\Vert {M(Nv)}\Vert =\Vert {v}\Vert \,$

   auch ${}N$ ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrisch.

3. In einer Permutationsmatrix ${}P$ steht in jeder Zeile und in jeder Spalte genau eine ${}1$. Daher ist ${}Pv$ ein Vektor, der die Einträge von ${}v$ permutiert. Das Maximum der Beträge bleibt dabei gleich.
4. Ein Beispiel ist

   ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}}.$

5. In einer Vorzeichen-Permutationsmatrix ${}M$ steht in jeder Zeile und in jeder Spalte genau eine ${}1$ oder eine ${}-1$. Daher ist ${}Mv$ ein Vektor, der die Einträge von ${}v$ permutiert und eventuell mit einem Vorzeichen versieht. Das Maximum der Beträge bleibt dabei gleich.
6. Es sei ${}M$ ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrisch. Für jeden Standardvektor ${}e_{i}$ ist die Maximumsnorm von ${}Me_{i}$ gleich ${}1$. Das bedeutet, dass in jeder Spalte von ${}M$ eine ${}1$ oder eine ${}-1$ vorkommt. In der ${}j$-ten Spalte der Matrix sei der ${}i$-te Eintrag gleich ${}1$ oder ${}-1$. Wir betrachten den Vektor

   ${}v={\begin{pmatrix}\pm 1\\\pm 1\\\vdots \\\pm 1\end{pmatrix}}\,,$

   der die Maximumsnorm ${}1$ besitzt, wobei wir das Vorzeichen an der ${}k$-ten Stelle genau dann positiv wählen, wenn ${}a_{ik}\geq 0$ ist. Dann ist

   ${}(Mv)_{i}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}(\pm 1)=\sum _{k=1}^{n}\vert {a_{ik}}\vert =1+\sum _{k=1,k\neq j}^{n}\vert {a_{ik}}\vert \,.$

   Wegen der Isometrie muss dies ${}1$ sein, d.h. in der ${}i$-ten Zeile muss überall abgesehen von der Stelle ${}(i,j)$ eine ${}0$ stehen. Wenn in einer Spalte mehr als zwei Einträge ${}\neq 0$ wären, so wären die Zeilen zu diesen Stellen linear abhängig, was Teil (1) widerspricht. Somit ist ${}M$ eine Vorzeichen-Permutationsmatrix.

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren für einen endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.

Lösung

Die Aussage wird durch Induktion über ${}i$ bewiesen, d.h. es wird sukzessive eine Familie von orthonormalen Vektoren konstruiert, die jeweils den gleichen Untervektorraum aufspannen. Für ${}i=1$ muss man lediglich ${}v_{1}$ normieren, also durch ${}u_{1}={\frac {v_{1}}{\Vert {v_{1}}\Vert }}$ ersetzen. Es sei die Aussage für ${}i$ schon bewiesen und sei eine Familie von orthonormalen Vektoren ${}u_{1},\ldots ,u_{i}$ mit ${}\langle u_{1},\ldots ,u_{i}\rangle =\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle$ bereits konstruiert. Wir setzen

$w_{i+1}=v_{i+1}-\left\langle v_{i+1},u_{1}\right\rangle u_{1}-\cdots -\left\langle v_{i+1},u_{i}\right\rangle u_{i}\,.$

Dieser Vektor steht wegen

${}{\begin{aligned}\left\langle w_{i+1},u_{j}\right\rangle &=\left\langle v_{i+1}-\left\langle v_{i+1},u_{1}\right\rangle u_{1}-\cdots -\left\langle v_{i+1},u_{i}\right\rangle u_{i},u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle v_{i+1},u_{j}\right\rangle -\sum _{k\leq i,k\neq j}\left\langle v_{i+1},u_{k}\right\rangle \left\langle u_{k},u_{j}\right\rangle -\left\langle v_{i+1},u_{j}\right\rangle \left\langle u_{j},u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle v_{i+1},u_{j}\right\rangle -\left\langle v_{i+1},u_{j}\right\rangle \\&=0\end{aligned}}$

senkrecht auf allen ${}u_{1},\ldots ,u_{i}$ und offenbar ist

${}\langle u_{1},\ldots ,u_{i},w_{i+1}\rangle =\langle v_{1},\ldots ,v_{i},v_{i+1}\rangle \,.$

Durch Normieren von ${}w_{i+1}$ erhält man ${}u_{i+1}$.

Aufgabe weiter

Wir betrachten das Dreieck, das durch die Eckpunkte ${}{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}$ gegeben ist.

1. Bestimme den Umfang des Dreiecks.
2. Bestimme eine ganze Zahl ${}n$ mit der Eigenschaft, dass der Dreiecksumfang zwischen ${}n$ und ${}n+1$ liegt.
3. Bestimme den Kosinus des Winkels des Dreiecks im Eckpunkt ${}{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$.
4. Erstelle eine Gleichung in Parameterform für die Höhengerade durch den Eckpunkt ${}{\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}$.
5. Bestimme den Höhenfußpunkt zur Höhe durch den Eckpunkt ${}{\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}$.
6. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks.

Lösung

1. Der Umfang des Dreiecks ist

   ${}{\begin{aligned}\Vert {{\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}}\Vert +\Vert {{\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}}\Vert +\Vert {{\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}}\Vert &=\Vert {\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}}\Vert +\Vert {\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}}\Vert +\Vert {\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}}\Vert \\&={\sqrt {37}}+{\sqrt {34}}+{\sqrt {25}}\\&={\sqrt {37}}+{\sqrt {34}}+5\,\end{aligned}}$

2. Wegen

   ${}{\sqrt {37}}\geq 6\,$

   und

   ${}{\sqrt {34}}\geq 5\,$

   ist der Umfang nach unten durch

   ${}{\sqrt {37}}+{\sqrt {34}}+5\geq 16\,$

   beschränkt. Wir zeigen

   ${}{\sqrt {37}}+{\sqrt {34}}+5\leq 17\,,$

   was zu

   ${}{\sqrt {37}}+{\sqrt {34}}\leq 12\,$

   äquivalent ist. Quadrieren ergibt

   ${}37+34+2{\sqrt {37\cdot 34}}=71+2{\sqrt {1258}}\leq 144\,$

   bzw.

   ${}2{\sqrt {1258}}\leq 73\,.$

   Erneutes Quadrieren ergibt

   ${}4\cdot 1258=5032\leq 5329\,,$

   was wahr ist.

3. Die beiden Dreiecksseiten, die von ${}{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$ ausgehen, sind in vektorieller Form gleich

   ${\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}}$

   Daher ist der Kosinus des eingeschlossenen Winkels ${}\alpha$ nach [[Skalarprodukt/Cauchy Schwarz/Winkel/Bemerkung|Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/8/Klausur mit Lösungen (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))]] gleich

   ${}{\begin{aligned}\cos \alpha &={\frac {\left\langle {\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}}\right\rangle }{\Vert {\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}}\Vert \cdot \Vert {\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}}\Vert }}\\&={\frac {18-4}{5{\sqrt {37}}}}\\&={\frac {14}{5{\sqrt {37}}}}.\end{aligned}}$

4. Die Höhe durch ${}{\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}$ steht senkrecht auf der Geraden durch die beiden Punkte ${}{\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$, also auf ${}{\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}}$. Der Richtungsvektor der Höhe ist somit ${}{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}$. Eine Parameterglechung hat daher die Form

   ${\left\{{\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}\mid s\in \mathbb {R} \right\}}.$

5. Die Koordinaten des Höhenfußpunktes ergeben sich aus der Lösung des linearen Gleichungssystems

   ${}{\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}}\,$

   bzw.

   ${}{\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}}=-s{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}}\,.$

   Dies führt auf ${}t={\frac {14}{25}}$ und ${}s=-{\frac {27}{25}}$, der Höhenfußpunkt ist also

   ${}{\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}-{\frac {27}{25}}{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {17}{25}}\\-{\frac {31}{25}}\end{pmatrix}}\,.$

6. Mit der Determinantenformel (siehe Aufgabe 16.14 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))) ist der Flächeninhalt gleich

   ${}{\frac {1}{2}}\det {\begin{pmatrix}3&6\\-4&1\end{pmatrix}}={\frac {27}{2}}\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Matrix, die zur Matrix

${}M={\begin{pmatrix}0&5-3{\mathrm {i} }&7{\mathrm {i} }\\0&17&1-{\mathrm {i} }\\1+{\mathrm {i} }&6{\mathrm {i} }&5-7{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,$

die adjungierte Abbildung (bezüglich der Standardbasis) beschreibt.

Lösung

Nach Lemma 41.6 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) wird die adjungierte Abbildung durch ${}{{\overline {M}}^{\text{tr}}}$ beschrieben. Diese ist

${\begin{pmatrix}0&0&1-{\mathrm {i} }\\5+3{\mathrm {i} }&17&-6{\mathrm {i} }\\-7{\mathrm {i} }&1+{\mathrm {i} }&5+7{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (10 (1+3+2+2+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K[X]$ der Polynomring in der einen Variablen ${}X$ über ${}K$. Zu einem Polynom ${}P\in K[X]$ und einer Linearform

${}L=aX+b\,$

mit ${}a\neq 0$ bezeichnet

$P{\frac {L}{X}}$

das Polynom, das entsteht, wenn man jedes Vorkommen von ${}X$ in ${}P$ durch ${}aX+b$ ersetzt. Dieser Einsetzungsprozess ist mit der Addition und der Multiplikation von Polynomen verträglich. Wir betrachten die Relation ${}\sim$ auf ${}K[X]$, die durch

${}P\sim Q\,,$

falls es eine Linearform ${}aX+b$ mit ${}a\neq 0$ mit

${}Q=P{\frac {aX+b}{X}}\,$

gibt.

1. Berechne

   ${\left(3X^{2}-4X+7\right)}{\frac {3X-5}{X}}.$

2. Zeige, dass durch ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation gegeben ist.
3. Es sei ${}K={\mathbb {C} }$. Zeige, dass jedes Polynom einen Repräsentanten ${}Q$ mit

   ${}Q(0)=0\,$

   besitzt.

4. Es sei ${}K={\mathbb {C} }$. Zeige, dass jedes Polynom ${}\neq 0$ einen normierten Repräsentanten besitzt.
5. Zeige, dass die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms ${}P\neq 0$ nur von der Äquivalenzklasse ${}[P]$ abhängt.

Lösung

1. Es ist

   ${}{\begin{aligned}{\left(3X^{2}-4X+7\right)}{\frac {3X-5}{X}}&=3{\left(3X-5\right)}^{2}-4{\left(3X-5\right)}+7\\&=3{\left(9X^{2}-30X+25\right)}-12X+20+7\\&=27X^{2}-102X+102.\end{aligned}}$

2. Wegen

   ${}P{\frac {X}{X}}=P\,$

   ist die Relation reflexiv. Sei

   ${}Q=P{\frac {aX+b}{X}}\,$

   und

   ${}R=Q{\frac {cX+d}{X}}\,$

   mit ${}a,c\neq 0$. Dann ist wegen

   ${}{\left(X{\frac {aX+b}{X}}\right)}{\frac {cX+d}{X}}={\left(aX+b\right)}{\frac {cX+d}{X}}=a{\left(cX+d\right)}+b=acX+ad+b=X{\frac {acX+ad+b}{X}}\,$

   und da der Einsetzungsprozess mit Addition und Multiplikation verträglich ist auch

   ${}R=Q{\frac {cX+d}{X}}={\left(P{\frac {aX+b}{X}}\right)}{\frac {cX+d}{X}}=P{\frac {acX+ad+b}{X}}\,,$

   also ${}P\sim R$, da ja wegen ${}ac\neq 0$ rechts wieder eine Linearform eingesetzt wird. Die Relation ist also transitiv. Es sei nun

   ${}Q=P{\frac {aX+b}{X}}\,.$

   Dann sind wegen

   ${}{\begin{aligned}{\left(X{\frac {aX+b}{X}}\right)}{\frac {{\frac {1}{a}}X-{\frac {b}{a}}}{X}}&={\left(aX+b\right)}{\frac {{\frac {1}{a}}X-{\frac {b}{a}}}{X}}\\&=a{\left({\frac {1}{a}}X-{\frac {b}{a}}\right)}+b\\&=X\end{aligned}}$

   die Einsetzungen durch ${}aX+b$ und durch ${}{\frac {1}{a}}X-{\frac {b}{a}}$ invers zueinander und somit ist

   ${}P={\left(P{\frac {aX+b}{X}}\right)}{\frac {{\frac {1}{a}}X-{\frac {b}{a}}}{X}}=Q{\frac {{\frac {1}{a}}X-{\frac {b}{a}}}{X}}\,$

   und die Relation ist symmetrisch.

3. Sei

   ${}P=a_{n}X^{n}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,.$

   Bei

   ${}a_{0}=0\,$

   können wir

   ${}Q=P\,$

   nehmen. Es sei also ${}P$ insbesondere nicht das Nullpolynom. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gibt es ein ${}c\in {\mathbb {C} }$ mit

   ${}P(c)=0\,.$

   Dann ist

   ${}Q:=P{\frac {X+c}{X}}=a_{n}(X+c)^{n}+\cdots +a_{1}(X+c)+a_{0}=XH+a_{n}c^{n}+\cdots +a_{1}c+a_{0}=XH\,$

   mit einem Polynom ${}H$. Offenbar ist ${}Q(0)=0$.

4. Es sei wieder

   ${}P=a_{n}X^{n}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,$

   mit ${}a_{n}\neq 0$. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gibt es ein ${}d\in {\mathbb {C} }$ mit ${}d^{n}=a_{n}$. Dann ist

   ${}P{\frac {{\frac {1}{d}}X}{X}}=a_{n}{\left({\frac {1}{d}}X\right)}^{n}+\cdots +a_{1}\cdot {\frac {1}{d}}X+a_{0}\,$

   ein normiertes und zu ${}P$ äquivalentes Polynom.

5. Es sei

   ${}P=(X-\lambda _{1})^{n_{1}}\cdots (X-\lambda _{r})^{n_{r}}S\,$

   mit verschiedenen Nullstellen ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r}$ und einem nullstellenfreien Polynom ${}S$. Dann ist

   ${}P{\frac {aX+b}{X}}=(aX+b-\lambda _{1})^{n_{1}}\cdots (aX+b-\lambda _{r})^{n_{r}}{\left(S{\frac {aX+b}{X}}\right)}\,$

   und dieses besitzt zumindest die ${}r$ verschiedenen Nullstellen ${}{\frac {\lambda _{1}-b}{a}},\ldots ,{\frac {\lambda _{r}-b}{a}}$. Wegen der Symmetrie der Situation sind es genau ${}r$ Nullstellen.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz von Lagrange.

Lösung

Betrachte die Linksnebenklassen ${}gH:={\left\{gh\mid h\in H\right\}}$ für sämtliche ${}g\in G$. Es ist

$H\longrightarrow gH,\,h\longmapsto gh,$

eine Bijektion zwischen ${}H$ und ${}gH$, sodass alle Nebenklassen gleich groß sind (und zwar ${}{\#\left(H\right)}$ Elemente haben). Die Nebenklassen bilden (als Äquivalenzklassen) zusammen eine Zerlegung von ${}G$, sodass ${}{\#\left(G\right)}$ ein Vielfaches von ${}{\#\left(H\right)}$ sein muss.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ideal in ${}R$ ist.

Lösung

Es sei

${}I:=\varphi ^{-1}(0)\,.$

Wegen ${}\varphi (0)=0$. ist ${}0\in I$. Es seien ${}a,b\in I$. Das bedeutet ${}\varphi (a)=0$ und ${}\varphi (b)=0$. Dann ist

${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)=0+0=0\,$

und daher ${}a+b\in I$.

Es sei nun ${}a\in I$ und ${}r\in R$ beliebig. Dann ist

${}\varphi (ra)=\varphi (r)\varphi (a)=\varphi (r)\cdot 0=0\,,$

also ist ${}ra\in I$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}P\in M$ ein Punkt. Zeige, dass ${}\{P\}$ abgeschlossen ist.

Lösung

Es ist zu zeigen, dass ${}M\setminus \{P\}$ offen ist. Es sei dazu ${}Q\in M\setminus \{P\}$, also ${}Q\neq P$. Dann ist

${}d(Q,P)=r>0\,$

und somit ist

${}Q\in U{\left(Q,r\right)}\subseteq M\setminus \{P\}\,,$

da ja ${}P$ nicht zu diesem offenen Ball gehört. Also gibt es zu jedem Punkt aus ${}M\setminus \{P\}$ eine offene Ballumgebung, die ganz in ${}M\setminus \{P\}$ drinliegt und daher ist diese Menge offen.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die spaltenstochastische Matrix

${}M={\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {2}{3}}&{\frac {3}{4}}\end{pmatrix}}\,.$

Bestimme das minimale ${}n$ derart, dass in der ${}n$-ten Potenz ${}M^{n}$ die Differenz der ersten zur zweiten Spalte ${}\leq {\frac {1}{1000}}$ bezüglich der Maximumsnorm des ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist.

Lösung

Wir schreiben

${}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {2}{3}}&{\frac {3}{4}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{12}}{\begin{pmatrix}4&3\\8&9\end{pmatrix}}\,.$

Es ist

${}{\begin{pmatrix}4&3\\8&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&3\\8&9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}16+24&12+27\\32+72&24+81\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}40&39\\104&105\end{pmatrix}}\,$

und

${}M^{2}={\frac {1}{144}}{\begin{pmatrix}40&39\\104&105\end{pmatrix}}\,,$

die Differenz der Einträge ist ${}{\frac {1}{144}}$ und somit größer als ${}{\frac {1}{1000}}$ in der Maximumsnorm (die erste Differenz ist gleich der zweiten Differenz wegen der stochastischen Eigenschaft).

Es ist

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}4&3\\8&9\end{pmatrix}}^{3}&={\begin{pmatrix}40&39\\104&105\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&3\\8&9\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}160+312&120+351\\416+840&312+945\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}472&471\\1256&1257\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

und

${}M^{3}={\frac {1}{1728}}{\begin{pmatrix}472&471\\1256&1257\end{pmatrix}}\,,$

die Differenz der Einträge ist

${}{\frac {1}{1728}}\leq {\frac {1}{1000}}\,.$

Somit muss man bis zur dritten Potenz gehen.

Aufgabe (3 Punkte)

Was versteht man in der Mathematik unter Modellierung? Welche Ansätze der linearen Algebra kann man als Modellierungen (und wofür) auffassen?

Lösung Modellierung/Erläuterung/Lineare Algebra/Beispiel/Aufgabe/Lösung