Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 30
- Die Pausenaufgabe
Bestimme zeichnerisch den Bildpunkt von unter der affinen Abbildung , die durch festgelegt ist.
- Übungsaufgaben
Es sei ein affiner Raum über einem - Vektorraum und es sei
eine endliche Familie von Punkten aus . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
- Die Punkte sind affin unabhängig.
- Für jedes ist die Vektorfamilie
- Es gibt ein derart, dass die Vektorfamilie
linear unabhängig ist.
- Die Punkte bilden in dem von ihnen erzeugten affinen Unterraum eine affine Basis.
Es sei ein affiner Raum über einem - Vektorraum und es sei eine endliche Familie von Punkten aus . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
- Die Punkte bilden eine affine Basis von .
- Die Punkte bilden ein minimales affines Erzeugendensystem von .
- Die Punkte sind maximal affin unabhängig.
Es sei ein affiner Raum über einem - Vektorraum und es sei eine endliche Familie von Punkten aus . Zeige, dass diese Punkte genau dann eine affine Basis von bilden, wenn sie sowohl affin unabhängig sind als auch ein affines Erzeugendensystem von bilden.
Bestimme zeichnerisch den Bildpunkt von unter der affinen Abbildung , die durch festgelegt ist.
Es seien und affine Räume über dem Körper . Zeige, dass die Projektionen
und
affine Abbildungen sind.
Es seien und affine Räume über dem Körper . Zeige, dass die Räume genau dann isomorph sind, wenn ihre Dimension übereinstimmt.
Es sei ein affiner Raum und es sei eine endliche Familie von Punkten aus . Es sei
Zeige, dass durch die Zuordnung
eine wohldefinierte affin-lineare Abbildung von nach gegeben ist.
Es sei
eine affin-lineare Abbildung zwischen den affinen Räumen und über . Zeige, dass zu jedem affinen Unterraum das Bild ein affiner Unterraum von ist.
Es sei
eine affine Abbildung auf einem affinen Raum . Zeige, dass der lineare Anteil genau dann die Identität ist, wenn eine Translation ist.
Es sei ein affiner Raum über dem - Vektorraum . Zeige, dass die Abbildung, die einer affinen Abbildung
ihren linearen Anteil zuordnet, folgende Eigenschaften erfüllt.
Es seien und affine Räume über dem Körper , es sei eine affine Basis von und seien Punkte. Es sei
die zugehörige affin-lineare Abbildung mit
Zeige die folgenden Aussagen.
a) ist genau dann bijektiv, wenn eine affine Basis von ist.
b) ist genau dann
injektiv,
wenn
affin unabhängig
ist.
c) ist genau dann
surjektiv,
wenn ein
affines Erzeugendensystem
von ist.
Es sei
eine affin-lineare Abbildung zwischen den affinen Räumen und über . Zeige, dass die Urbilder zu allen zueinander parallel sind.
Vergleiche verschiedene Konzepte für Vektorräume und affine Räume einschließlich ihrer Abbildungen.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei
eine affin-lineare Abbildung zwischen den affinen Räumen und über . Zeige, dass zu jedem affinen Unterraum das Urbild ein affiner Unterraum von ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei ein affiner Raum der Dimension und
eine affine Abbildung. Es seien affin unabhängige Punkte, die zugleich Fixpunkte von seien. Zeige, dass die Identität ist.
Aufgabe (6 (3+2+1) Punkte)
Es sei
eine
affin-lineare Abbildung
zwischen den
affinen Räumen
und
über .
a) Zeige, dass der Graph von ein affiner Unterraum des Produktraumes ist.
b) Zeige, dass die Abbildung
ein Isomorphismus von affinen Räumen ist.
c) Zeige
wobei die Projektion auf bezeichne.
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