Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 8/kontrolle
- Die Pausenaufgabe
Bestimme die Dimension des Raumes der -Matrizen.
- Übungsaufgaben
Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Menge der Diagonalmatrizen ein Untervektorraum im Raum aller - Matrizen über ist und bestimme seine Dimension.
Zeige, dass die Menge der symmetrischen - Matrizen einen Untervektorraum im Raum aller -Matrizen bildet und bestimme dessen Dimension.
Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Menge der oberen Dreiecksmatrizen ein Untervektorraum im Raum aller - Matrizen über ist und bestimme seine Dimension.
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum mit endlicher Dimension
Es seien Vektoren in gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
- bilden eine Basis von .
- bilden ein Erzeugendensystem von .
- sind linear unabhängig.
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum mit endlicher Dimension. Es sei ein Untervektorraum mit . Zeige, dass dann ist.
Es seien reelle Zahlen. Wir betrachten die drei Vektoren
Man gebe Beispiele für derart, dass der von diesen Vektoren erzeugte Untervektorraum die Dimension besitzt.
Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale - Vektorräume mit und . Welche Dimension besitzt der Produktraum ?
Es sei ein -dimensionaler - Vektorraum ( ein Körper) und seien Untervektorräume der Dimension und . Es gelte . Zeige, dass ist.
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei . Zeige, dass die Menge aller Polynome vom Grad ein endlichdimensionaler Untervektorraum von ist. Was ist seine Dimension?
![{\displaystyle {}K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7861df9df3d7463835d927c4d0d4c27f5e2f8416)
Zeige, dass die Menge aller reellen Polynome vom Grad , für die und Nullstellen sind, ein endlichdimensionaler Untervektorraum in ist. Bestimme die Dimension von diesem Vektorraum.
![{\displaystyle {}\mathbb {R} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52a170b822ae65cbe9d1cb122f493fcd88305b7f)
Es sei ein endlichdimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, und sei eine Basis von . Zeige, dass die Vektorenfamilie
eine Basis von , aufgefasst als reeller Vektorraum, ist.
Es sei die Standardbasis im gegeben und die drei Vektoren
Zeige, dass diese Vektoren linear unabhängig sind und ergänze sie mit einem geeigneten Standardvektor gemäß Satz 8.2 zu einer Basis. Kann man jeden Standardvektor nehmen?
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Zeige, dass nicht zugleich eine endliche Basis und eine unendliche Basis besitzen kann.
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Eine - Matrix über einem Körper heißt magisches Quadrat (oder linear-magisches Quadrat über ), wenn jede Spaltensumme und jede Zeilensumme in der Matrix gleich einer bestimmen Zahl ist.
In diesem Sinne ist
für jedes ein magisches Quadrat.
Zeige, dass die Menge aller linear-magischen Quadrate der Länge über einen Untervektorraum im Raum aller - Matrizen bildet.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Es sei eine Familie von Vektoren in und sei
der davon aufgespannte Untervektorraum. Zeige, dass die Familie genau dann linear unabhängig ist, wenn die Dimension von gleich ist.
Aufgabe (4 (3+1) Punkte)Referenznummer erstellen
a) Bestimme die Dimension des Lösungsraumes des linearen Gleichungssystems
in den Variablen .
b) Was ist die Dimension des Lösungsraumes, wenn man dieses System in den Variablen auffasst?
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Menge aller reellen Polynome vom Grad , für die , und Nullstellen sind, ein endlichdimensionaler Untervektorraum in ist. Bestimme die Dimension von diesem Vektorraum.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und . Bestimme die Dimension des Raumes aller linear-magischen Quadrate der Länge über .
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