Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 18



Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum, ein metrischer Raum und seien stetige Abbildungen von nach . Zeige, dass diese Familie gleichgradig stetig ist.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und seien stetige reellwertige Funktionen auf . Es sei . Zeige, dass die Menge

gleichgradig stetig ist.


Aufgabe

Wir betrachten die Menge von linearen reellen Polynomen

als Funktionen auf dem Einheitsintervall . Man gebe für explizit endlich viele offene Bälle mit an, die überdecken.


Aufgabe

Es seien und metrische Räume und sei . Zeige, dass die Funktionenmenge

gleichgradig stetig ist.


Aufgabe

Es seien verschiedene Punkte aus einem reellen Intervall und .

  1. Zeige, dass die Funktionenmenge

    nicht gleichgradig stetig ist.

  2. Wie sieht es aus, wenn man nur die Polynome aus betrachtet?
  3. Wie sieht es aus, wenn man nur die Polynome aus vom Grad betrachtet?


Aufgabe

Es sei

und es sei

versehen mit der Maximumsnorm.

  1. Ist abgeschlossen in ?
  2. Ist gleichgradig stetig?
  3. Für welche Punkte ist das Auswertungsbild zu

    beschränkt?


Wir verallgemeinern den Satz von Arzelà-Ascoli auf einen lokal kompkaten Raum.


Ein Hausdorffraum heißt lokal kompakt, wenn jeder Punkt eine kompakte Umgebung besitzt.


Es sei ein topologischer Raum und sei

() eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge kompakt konvergiert, wenn sie auf jeder kompakten Teilmenge gleichmäßig konvergiert.


Es sei ein topologischer Raum mit einer kompakten Ausschöpfung . Dann versteht man unter der Topologie der kompakten Konvergenz auf die induzierte Topologie unter der natürlichen Abbildung

wobei die mit der Maximumsnorm versehen sind und der Produktraum mit der Produkttopologie versehen ist.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum mit einer kompakten Ausschöpfung. Zeige, dass die Topologie der kompakten Konvergenz unabhängig von der gewählten kompakten Ausschöpfung ist.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum mit einer kompakten Ausschöpfung und sei

eine Folge von stetigen Funktionen. Zeige, dass die Folge genau dann in der Topologie der kompakten Konvergenz konvergiert, wenn sie kompakt konvergiert.


Aufgabe

Es sei ein lokal kompakter topologischer Raum, der eine kompakte Ausschöpfung besitze, und sei , versehen mit der Topologie der kompakten Konvergenz. Zeige, dass genau dann kompakt ist, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind.

  1. ist abgeschlossen.
  2. ist gleichgradig stetig.
  3. Für jeden Punkt ist das Auswertungsbild beschränkt.


Aufgabe *

Es sei ein lokal kompakter topologischer Raum, der eine kompakte Ausschöpfung besitze, und sei , versehen mit der Topologie der kompakten Konvergenz. Es seien die beiden Eigenschaften

  1. ist gleichgradig stetig,
  2. Für jeden Punkt ist das Auswertungsbild beschränkt,

erfüllt. Zeige, dass jede Folge in eine kompakt konvergente Teilfolge besitzt.


Aufgabe

Es sei eine Menge und sei eine - Unteralgebra, die die Punkte aus trennt. Zeige, dass es zu Punkten aus und zu vorgegebenen Werten ein mit und gibt.


Aufgabe *

Wir definieren rekursiv eine Folge von reellen Polynomen durch und

Zeige, dass diese Folge auf punktweise gegen konvergiert.


Aufgabe

Wir definieren rekursiv eine Folge von reellen Polynomen durch und

Zeige, dass diese Folge auf gleichmäßig gegen konvergiert.


Aufgabe

Es sei eine stetige Funktion und es sei ein Stift gegeben, der einen Strich mit der Dicke zeichnet. Zeige, dass es ein reelles Polynom derart gibt, dass wenn man seinen Graphen mit dem Stift nachfährt, auch den Graphen von vollständig überdeckt.


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Funktion. Diskutiere Beziehungen zwischen den polynomialen Interpolationen von , den Approximationen durch Taylor-Polynome und dem Satz von Weierstrass.


Aufgabe

Zeige, dass der Approximationssatz von Weierstrass nicht für stetige Funktionen auf gilt.


Aufgabe

Zeige, dass der Approximationssatz von Weierstrass nicht für stetige Funktionen auf gilt.


Aufgabe

Es sei ein kompakter topologischer Raum und eine - Unteralgebra, die die Punkte aus trennt und die mit jeder Funktion auf ihre komplex-konjugierte Funktion enthält. Zeige




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die Menge von quadratischen reellen Polynomen

als Funktionen auf dem Einheitsintervall . Man gebe für explizit endlich viele offene Bälle mit an, die überdecken.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein topologischer Raum und

eine Unteralgebra der Algebra der beschränkten und stetigen Funktionen auf . Zeige, dass der Abschluss ebenfalls eine Unteralgebra von ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe explizit ein reelles Polynom an, das auf dem Intervall zur Betragsfunktion den maximalen Abstand besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass der Approximationssatz von Weierstrass nicht für beschränkte stetige Funktionen auf gilt.


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