Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 18

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, ${}Z$ ein metrischer Raum und seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ stetige Abbildungen von ${}X$ nach ${}Z$. Zeige, dass diese Familie gleichgradig stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ stetige reellwertige Funktionen auf ${}X$. Es sei ${}c\geq 0$. Zeige, dass die Menge

${}T={\left\{c_{1}f_{1}+\cdots +c_{n}f_{n}\mid \vert {c_{i}}\vert \leq c\right\}}\,$

gleichgradig stetig ist.

Aufgabe

Wir betrachten die Menge von linearen reellen Polynomen

${}T={\left\{cx+d\mid \vert {c}\vert ,\vert {d}\vert \leq 1\right\}}\,$

als Funktionen auf dem Einheitsintervall ${}[0,1]$. Man gebe für ${}\epsilon ={\frac {1}{2}}$ explizit endlich viele offene Bälle ${}U{\left(f,\epsilon \right)}$ mit ${}f\in T$ an, die ${}T$ überdecken.

Aufgabe

Es seien ${}X$ und ${}Y$ metrische Räume und sei ${}L\in \mathbb {R} _{\geq 0}$. Zeige, dass die Funktionenmenge

${\left\{f:X\rightarrow Y\mid f{\text{ ist Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante }}L\right\}}$

gleichgradig stetig ist.

Aufgabe

Es seien ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in [a,b]$ verschiedene Punkte aus einem reellen Intervall und ${}y_{1},\ldots ,y_{n}\in \mathbb {R}$.

1. Zeige, dass die Funktionenmenge

   ${}T={\left\{f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} {\text{ stetig }}\mid f(x_{i})=y_{i}{\text{ für alle }}i\right\}}\,$

   nicht gleichgradig stetig ist.

2. Wie sieht es aus, wenn man nur die Polynome aus ${}T$ betrachtet?
3. Wie sieht es aus, wenn man nur die Polynome aus ${}T$ vom Grad ${}\leq n$ betrachtet?

Aufgabe

Es sei

${}M={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{0\}\subseteq \mathbb {R} \,$

und es sei

${}T:={\left\{f:M\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig und }}f(0)=0\right\}}\subseteq C^{0}(M,\mathbb {R} )\,,$

versehen mit der Maximumsnorm.

1. Ist ${}T$ abgeschlossen in ${}C^{0}(M,\mathbb {R} )$?
2. Ist ${}T$ gleichgradig stetig?
3. Für welche Punkte ${}x\in M$ ist das Auswertungsbild zu

   $T\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto f(x),$

   beschränkt?

Wir verallgemeinern den Satz von Arzelà-Ascoli auf einen lokal kompkaten Raum.

Ein Hausdorffraum ${}X$ heißt lokal kompakt, wenn jeder Punkt eine kompakte Umgebung besitzt.

Es sei ${}T$ ein topologischer Raum und sei

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge kompakt konvergiert, wenn sie auf jeder kompakten Teilmenge ${}K\subseteq T$ gleichmäßig konvergiert.

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum mit einer kompakten Ausschöpfung ${}A_{n}\subseteq X$. Dann versteht man unter der Topologie der kompakten Konvergenz auf ${}C(X,{\mathbb {K} })$ die induzierte Topologie unter der natürlichen Abbildung

$C(X,{\mathbb {K} })\longrightarrow \prod _{n\in \mathbb {N} }C(A_{n},{\mathbb {K} }),\,f\longmapsto {\left(f{|}_{A_{n}}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$

wobei die ${}C(A_{n},{\mathbb {K} })$ mit der Maximumsnorm versehen sind und der Produktraum mit der Produkttopologie versehen ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum mit einer kompakten Ausschöpfung. Zeige, dass die Topologie der kompakten Konvergenz unabhängig von der gewählten kompakten Ausschöpfung ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum mit einer kompakten Ausschöpfung und sei

$f_{n}\colon X\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Folge von stetigen Funktionen. Zeige, dass die Folge genau dann in der Topologie der kompakten Konvergenz konvergiert, wenn sie kompakt konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein lokal kompakter topologischer Raum, der eine kompakte Ausschöpfung besitze, und sei ${}T\subseteq C(X,{\mathbb {K} })$, versehen mit der Topologie der kompakten Konvergenz. Zeige, dass ${}T$ genau dann kompakt ist, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. ${}T$ ist abgeschlossen.
2. ${}T$ ist gleichgradig stetig.
3. Für jeden Punkt ${}x\in X$ ist das Auswertungsbild ${}{\left\{f(x)\mid f\in T\right\}}$ beschränkt.

Aufgabe *

Es sei ${}X$ ein lokal kompakter topologischer Raum, der eine kompakte Ausschöpfung besitze, und sei ${}T\subseteq C(X,{\mathbb {K} })$, versehen mit der Topologie der kompakten Konvergenz. Es seien die beiden Eigenschaften

1. ${}T$ ist gleichgradig stetig,
2. Für jeden Punkt ${}x\in X$ ist das Auswertungsbild ${}{\left\{f(x)\mid f\in T\right\}}$ beschränkt,

erfüllt. Zeige, dass jede Folge in ${}T$ eine kompakt konvergente Teilfolge besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine Menge und sei ${}T\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(X,{\mathbb {K} }\right)}$ eine ${}\mathbb {R}$- Unteralgebra, die die Punkte aus ${}X$ trennt. Zeige, dass es zu Punkten ${}x\neq y$ aus ${}X$ und zu vorgegebenen Werten ${}a,b\in \mathbb {R}$ ein ${}g\in T$ mit ${}g(x)=a$ und ${}g(y)=b$ gibt.

Aufgabe *

Wir definieren rekursiv eine Folge von reellen Polynomen ${}P_{n}$ durch ${}P_{0}=0$ und

${}P_{n+1}(t)=P_{n}(t)+{\frac {1}{2}}{\left(t-P_{n}(t)^{2}\right)}\,.$

Zeige, dass diese Folge auf ${}[0,1]$ punktweise gegen ${}{\sqrt {t}}$ konvergiert.

Aufgabe

Wir definieren rekursiv eine Folge von reellen Polynomen ${}P_{n}$ durch ${}P_{0}=0$ und

${}P_{n+1}(t)=P_{n}(t)+{\frac {1}{2}}{\left(t-P_{n}(t)^{2}\right)}\,.$

Zeige, dass diese Folge auf ${}[0,1]$ gleichmäßig gegen ${}{\sqrt {t}}$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion und es sei ein Stift gegeben, der einen Strich mit der Dicke ${}\epsilon >0$ zeichnet. Zeige, dass es ein reelles Polynom derart gibt, dass wenn man seinen Graphen mit dem Stift nachfährt, auch den Graphen von ${}f$ vollständig überdeckt.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine differenzierbare Funktion. Diskutiere Beziehungen zwischen den polynomialen Interpolationen von ${}f$, den Approximationen durch Taylor-Polynome und dem Satz von Weierstrass.

Aufgabe

Zeige, dass der Approximationssatz von Weierstrass nicht für stetige Funktionen auf ${}\mathbb {R}$ gilt.

Aufgabe

Zeige, dass der Approximationssatz von Weierstrass nicht für stetige Funktionen auf ${}]0,1[$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein kompakter topologischer Raum und ${}T\subseteq C(X,{\mathbb {C} })$ eine ${}{\mathbb {C} }$- Unteralgebra, die die Punkte aus ${}X$ trennt und die mit jeder Funktion auf ihre komplex-konjugierte Funktion enthält. Zeige

${}{\overline {T}}=C(X,{\mathbb {C} })\,.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die Menge von quadratischen reellen Polynomen

${}T={\left\{ax^{2}+bx+c\mid \vert {a}\vert ,\vert {b}\vert ,\vert {c}\vert \leq 1\right\}}\,$

als Funktionen auf dem Einheitsintervall ${}[0,1]$. Man gebe für ${}\epsilon ={\frac {1}{2}}$ explizit endlich viele offene Bälle ${}U{\left(f,\epsilon \right)}$ mit ${}f\in T$ an, die ${}T$ überdecken.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und

${}A\subseteq C^{b}(X,{\mathbb {K} })\,$

eine Unteralgebra der Algebra der beschränkten und stetigen Funktionen auf ${}X$. Zeige, dass der Abschluss ${}{\overline {A}}$ ebenfalls eine Unteralgebra von ${}C^{b}(X,{\mathbb {K} })$ ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe explizit ein reelles Polynom an, das auf dem Intervall ${}[-1,1]$ zur Betragsfunktion den maximalen Abstand ${}{\frac {1}{10}}$ besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass der Approximationssatz von Weierstrass nicht für beschränkte stetige Funktionen auf ${}]0,1[$ gilt.