Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 18

Der Satz von Arzelà-Ascoli

Wir betrachten einen kompakten topologischen Raum ${}X$ und darauf den ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}C(X,{\mathbb {K} })$ der stetigen Funktionen von ${}X$ nach ${}{\mathbb {K} }$. Auf diesem Raum ist die Maximumsnorm wohldefiniert und eine Norm. Die Konvergenz ist die gleichmäßige Konvergenz und der Raum ist vollständig mit dieser Norm, siehe Satz 55.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) für den Fall einer kompakten Teilmenge ${}X\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ und Lemma 55.8 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).

Wir möchten verstehen, wann eine gegebene Teilmenge

${}T\subseteq C(X,{\mathbb {K} })\,$

kompakt ist. Dies wird durch den Satz von Arzelà-Ascoli beantwortet.

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, ${}Z$ ein metrischer Raum und sei ${}T\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(X,Z\right)}$ eine Menge von Abbildungen von ${}X$ nach ${}Z$. Man nennt ${}T$ gleichgradig stetig in einem Punkt ${}x\in X$, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ eine offene Umgebung ${}x\in U\subseteq X$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in U$ und alle ${}f\in T$ gilt

${}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon \,.$

Man nennt ${}T$ gleichgradig stetig, wenn ${}T$ gleichgradig stetig in jedem Punkt ${}x\in X$ ist.

Eine einzelne Abbildung ist genau dann gleichgradig stetig in ${}x$, wenn sie stetig in ${}x$ ist. Auch eine Ansammlung von endlich vielen stetigen Funktionen ist automatisch gleichgradig stetig, siehe Aufgabe 18.1. Im Allgemeinen geht es darum, ob es für eine gegebene Funktionenmenge und jede vorgegebene Zielgenauigkeit ${}\epsilon >0$ eine Startumgebung gibt, die für alle Funktionen simultan die Zielbedingung sichert. Wenn ${}X$ ein metrischer Raum ist, so wird die Startumgebung durch eine Startgenauigkeit ${}\delta >0$ beschrieben.

Beispiel

Es sei ${}[a,b]$ ein reelles Intervall und sei

${}S={\left\{cx+d\mid c,d\in \mathbb {R} \right\}}\,$

die Menge aller affin-linearen Funktionen, aufgefasst als Funktionen auf dem Intervall. Dann ist ${}S$ nicht gleichgradig stetig, da die Beziehung zwischen einer Zielgenauigkeit ${}\epsilon >0$ und einer Aufwandsgenauigkeit ${}\delta >0$ wesentlich von der Steigung ${}c$ der affin-linearen Funktion abhängt. Wenn man hingegen Schranken ${}c_{0}<c_{1}$ fixiert und

${}T={\left\{cx+d\mid c,d\in \mathbb {R} ,\,c_{0}\leq c\leq c_{1}\right\}}\subseteq S\,$

betrachtet, so liegt gleichgradige Stetigkeit vor.

Lemma

Es sei ${}X$ ein kompakter topologischer Raum und ${}T\subseteq C(X,{\mathbb {K} })$, versehen mit der Maximumsnorm. Es gelten die beiden Eigenschaften

1. ${}T$ ist gleichgradig stetig.
2. Für jeden Punkt ${}x\in X$ ist das Auswertungsbild ${}{\left\{f(x)\mid f\in T\right\}}$ beschränkt.

Dann ist ${}T$ total beschränkt.

Beweis

Es sei ${}\epsilon >0$ gegeben. Wegen der gleichgradigen Stetigkeit gibt es zu jedem ${}x\in X$ eine offene Umgebung ${}x\in U_{x}\subseteq X$ mit

${}d{\left(f(x),f(x')\right)}<{\frac {\epsilon }{4}}\,$

für alle ${}x'\in U_{x}$ und alle ${}f\in T$. Wegen der Kompaktheit von ${}X$ gibt es endlich viele Punkte ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ mit

${}X=\bigcup _{i=1}^{n}U_{x_{i}}\,.$

Es sei

${}M={\left\{f(x_{i})\mid f\in T,\,i=1,\ldots ,n\right\}}=\bigcup _{i=1}^{n}{\left\{f(x_{i})\mid f\in T\right\}}\subseteq {\mathbb {K} }\,.$

Da die einzelnen Auswertungsbilder ${}{\left\{f(x_{i})\mid f\in T\right\}}$ beschränkt sind, ist auch ${}M$ beschränkt und daher gibt es endlich viele Punkte ${}z_{1},\ldots ,z_{m}$ in ${}{\mathbb {K} }$ mit

${}M\subseteq \bigcup _{j=1}^{m}U{\left(z_{j},{\frac {\epsilon }{4}}\right)}\,.$

Zu einem Tupel ${}{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}\in \{1,\ldots ,m\}^{n}$ definieren wir

$T_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}={\left\{f\in T\mid f(x_{i})\in U{\left(z_{j_{i}},{\frac {\epsilon }{4}}\right)}{\text{ für }}i=1,\ldots ,n\right\}}\,.$

Es ist

${}T=\bigcup _{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}T_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}\,.$

Für ${}f,g\in T_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}$ und ${}x\in X$ gibt es ein ${}i$ mit ${}x\in U_{x_{i}}$ und somit ist

${}{\begin{aligned}d{\left(f(x),g(x)\right)}&\leq d{\left(f(x),f(x_{i})\right)}+d{\left(f(x_{i}),g(x_{i})\right)}+d{\left(g(x_{i}),g(x)\right)}\\&<d{\left(f(x),f(x_{i})\right)}+d{\left(f(x_{i}),z_{j_{i}}\right)}+d{\left(z_{j_{i}},g(x_{i})\right)}+d{\left(g(x_{i}),g(x)\right)}\\&\leq 4{\frac {\epsilon }{4}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Also ist

${}T_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}\subseteq U{\left(f,\epsilon \right)}\,$

für jedes ${}f\in T_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}$. Wir wählen zu jedem Tupel ${}{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}$ eine Funktion ${}f_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}\in T_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}$. Dann wird ${}T$ von den endlich vielen offenen Bällen ${}U{\left(f_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)},\epsilon \right)}$ überdeckt.

$\Box$

In Beispiel 18.2 sind die Auswertungsbilder nicht beschränkt, da ${}d$ in ganz ${}\mathbb {R}$ variieren kann. Wenn man das Intervall kompakt wählt und sowohl für ${}c$ als auch für ${}d$ einem beschränkten Bereich feslegt, so erhält man mit Lemma 18.3 eine total beschränkte Menge an affin-linearen Funktionen. Der folgende Satz heißt Satz von Arzelà-Ascoli.

Satz

Es sei ${}X$ ein kompakter topologischer Raum und ${}T\subseteq C(X,{\mathbb {K} })$, versehen mit der Maximumsnorm.

Dann ist ${}T$ genau dann kompakt, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. ${}T$ ist abgeschlossen.
2. ${}T$ ist gleichgradig stetig.
3. Für jeden Punkt ${}x\in X$ ist das Auswertungsbild ${}{\left\{f(x)\mid f\in T\right\}}$ beschränkt.

Beweis

Es sei zuerst ${}T$ kompakt. Die Eigenschaft (1) folgt aus Lemma 17.2. Die Eigenschaft (3) folgt wegen der Stetigkeit der Auswertung (siehe Aufgabe 15.8)

$C(X,{\mathbb {K} })\longrightarrow {\mathbb {K} },\,f\longmapsto f(x),$

aus Lemma 17.6 und aus Satz 17.5. Zum Nachweis der gleichgradigen Stetigkeit sei ein Punkt ${}x\in X$ und ein ${}\epsilon >0$ fixiert. Aufgrund der totalen Beschränktheit von ${}T$ gemäß Satz 17.12 gibt es endlich viele Funktionen ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in T$ derart, dass

${}T\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}U{\left(f_{i},{\frac {\epsilon }{3}}\right)}\,$

ist. Für diese endlich vielen Funktionen ${}f_{i}$ finden wir eine gemeinsame offene Umgebung ${}x\in U\subseteq X$ mit

${}d{\left(f_{i}(x),f_{i}(x')\right)}\leq {\frac {\epsilon }{3}}\,$

für alle ${}x'\in U$ und alle ${}i=1,\ldots ,n$. Für ein beliebiges ${}f\in T$ ist ${}f\in U{\left(f_{i},{\frac {\epsilon }{3}}\right)}$ für ein ${}i$ und daher ist (für ${}x'\in U$)

${}{\begin{aligned}d{\left(f(x),f(x')\right)}&\leq d{\left(f(x),f_{i}(x)\right)}+d{\left(f_{i}(x),f_{i}(x')\right)}+d{\left(f_{i}(x'),f(x')\right)}\\&\leq {\frac {\epsilon }{3}}+{\frac {\epsilon }{3}}+{\frac {\epsilon }{3}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Es seien nun umgekehrt die drei Bedingungen erfüllt, wir zeigen die Kompaktheit gemäß Satz 17.12. Nach Aufgabe 36.22 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist wegen der Abgeschlossenheit von ${}T$ in ${}C(X,{\mathbb {K} })$ auch ${}T$ vollständig und nach Lemma 18.3 ist ${}T$ total beschränkt.

$\Box$

Der Approximationssatz von Stone-Weierstrass

Unter einer ${}{\mathbb {K} }$-Algebra versteht man einen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum, auf dem zugleich eine Multiplikation mit einem neutralen Element ${}1$ für die Multiplikation erklärt ist. Speziell interessieren wir uns für Unteralgebren der Algebra aller ${}{\mathbb {K} }$-wertigen Funktionen auf einem topologischen Raum ${}X$ mit der punktweisen Multiplikation.

Definition

Es sei ${}X$ eine Menge und sei ${}T\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(X,{\mathbb {K} }\right)}$ eine Menge von auf ${}X$ definierten ${}{\mathbb {K} }$-wertigen Funktionen. Man sagt, dass ${}T$ die Punkte von ${}X$ trennt, wenn es zu je zwei Punkten ${}x,y\in X$ eine Funktion ${}f\in T$ mit ${}f(x)\neq f(y)$ gibt.

Hier wird ${}X$ stets eine topologischer Raum und ${}T$ wird eine Teilmenge von stetigen Funktionen auf ${}X$ sein. Ein wichtiges Beispiel ist ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$, ${}X=[a,b]$ und ${}T$ die Menge der polynomialen Funktionen auf dem Intervall.

Lemma

Es sei ${}X$ eine Menge und sei ${}T\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(X,{\mathbb {K} }\right)}$ eine ${}\mathbb {R}$- Unteralgebra, die die Punkte aus ${}X$ trennt.

Dann gibt es zu Punkten ${}x\neq y$ aus ${}X$ und zu vorgegebenen Werten ${}a,b\in \mathbb {R}$ ein ${}g\in T$ mit ${}g(x)=a$ und ${}g(y)=b$.

Beweis

Siehe Aufgabe 18.7.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}X$ ein kompakter topologischer Raum und ${}T\subseteq C(X,\mathbb {R} )$ eine abgeschlossene ${}\mathbb {R}$- Unteralgebra.

Dann gehört mit ${}f$ auch ${}\vert {f}\vert$ zu ${}T$.

Beweis

Es sei ${}f$ gegeben. Wegen

${}\vert {f}\vert ={\sqrt {f^{2}}}\,$

genügt es zu zeigen, dass mit einer nichtnegativen Funktion ${}g$ auch deren Quadratwurzel zu ${}T$ gehört. Durch Multiplikation mit einer Konstanten können wir nach Lemma 17.7 davon ausgehen, dass ${}\vert {g}\vert \leq 1$ ist. Es gibt nach Aufgabe 18.9 eine Folge von Polynomen ${}P_{n}(t)$, die auf ${}[0,1]$ gleichmäßig gegen ${}{\sqrt {t}}$ konvergiert. Dann konvergiert in ${}C(X,\mathbb {R} )$ auch ${}P_{n}\circ g$ gegen ${}{\sqrt {g}}$, die polynomialen Ausdrücke ${}P_{n}\circ g$ in ${}g$ gehören zu ${}T$ und wegen der Abgeschlossenheit von ${}T$ ist auch ${}{\sqrt {g}}\in T$.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}X$ ein kompakter topologischer Raum und ${}T\subseteq C(X,\mathbb {R} )$ eine abgeschlossene ${}\mathbb {R}$- Unteralgebra.

Dann gehören mit ${}f$ und ${}g$ auch ${}\operatorname {max} \left(f,\,g\right)$ und ${}\operatorname {min} \left(f,\,g\right)$ zu ${}T$.

Beweis

Dies folgt wegen

${}\operatorname {max} \left(f,\,g\right)={\frac {1}{2}}(f+g+\vert {f-g}\vert )\,$

aus Lemma 18.7.

$\Box$

Der folgende Satz heißt Approximationssatz von Stone-Weierstrass.

Satz

Es sei ${}X$ ein kompakter topologischer Raum und ${}T\subseteq C(X,\mathbb {R} )$ eine ${}\mathbb {R}$- Unteralgebra, die die Punkte aus ${}X$ trennt.

Dann ist

${}{\overline {T}}=C(X,\mathbb {R} )\,.$

D.h. jede stetige Funktion ${}f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ lässt sich beliebig gut durch Funktionen aus ${}T$ approximieren.

Beweis

Es sei die stetige Funktion

$f\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

und ein ${}\epsilon >0$ gegeben. Wegen der Trennungseigenschaft gibt es für je zwei Punkte ${}x,y$ nach Lemma 18.6 eine Funktion ${}g_{xy}\in T$ mit ${}g_{xy}(x)=f(x)$ und ${}g_{xy}(y)=f(y)$. Diese seien für jedes Punktepaar gewählt. Wir betrachten zu ${}x\in X$ die offenen Mengen

${}U_{y}={\left\{z\in X\mid g_{xy}(z)<f(z)+\epsilon \right\}}\,,$

die ${}y$ enthalten. Wegen ${}X=\bigcup _{y\in X}U_{y}$ und der Kompaktheit von ${}X$ gibt es endlich viele Punkte ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ mit ${}X=\bigcup _{i=1}^{n}U_{y_{i}}$. Wir setzen

${}g_{x}:=\operatorname {min} \left(g_{xy_{i}}{|}i=1,\ldots ,n\right)\,,$

diese Funktionen gehören nach Korollar 18.8 zu ${}T$. Nach Konstruktion ist

${}g_{x}<f+\epsilon \,$

auf ganz ${}X$. Ferner ist ${}g_{x}(x)=f(x)$, da dies für jedes der beteiligten ${}g_{xy_{i}}$ gilt. Deshalb gibt es wiederum eine offene Umgebung ${}x\in V_{x}$, auf der

${}f-\epsilon <g_{x}\,$

gilt. Es gibt wieder endliche viele Punkte ${}x_{1},\ldots ,x_{m}$ derart, dass die ${}V_{x_{j}}$ bereits ${}X$ überdecken. Daher gehört wegen Korollar 18.8

${}h:=\operatorname {max} \left(g_{x_{j}}{|}j=1,\ldots ,m\right)\,$

zu ${}T$. Es gilt

${}f-\epsilon <h<f+\epsilon \,$

und somit hat man ein ${}h\in T$ aus der ${}\epsilon$-Umgebung von ${}f$ gefunden.

$\Box$

Wir erwähnen die folgenden Spezialfälle.

Satz

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und sei ${}f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion.

Dann gibt es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein reelles Polynom ${}p$ in ${}n$ Variablen mit

${}\vert {f(z)-p(z)}\vert \leq \epsilon \,$

für alle ${}z\in T$.

Die Polynomalgebra ${}\mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ ist dicht in ${}C(T,\mathbb {R} )$.

Beweis

Dies folgt aus Satz 18.9, da Polynome Punkte trennen.

$\Box$

Satz

Es sei ${}[a,b]$ ein abgeschlossenes Intervall und ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion.

Dann gibt es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein reelles Polynom ${}p$ mit

${}\vert {f(t)-p(t)}\vert \leq \epsilon \,$

für alle ${}t\in [a,b]$.

Die Polynomalgebra ${}\mathbb {R} [t]$ ist dicht in ${}C([a,b],\mathbb {R} )$.

Beweis

Dies folgt aus Satz 18.9, da ${}[a,b]$ kompakt ist und Polynome Punkte trennen.

$\Box$

Wir erwähnen noch die folgende komplexe Variante.

Satz

Es sei ${}X$ ein kompakter topologischer Raum und ${}T\subseteq C(X,{\mathbb {C} })$ eine ${}{\mathbb {C} }$- Unteralgebra, die die Punkte aus ${}X$ trennt und die mit jeder Funktion auch ihre komplex-konjugierte Funktion enthält.

Dann ist

${}{\overline {T}}=C(X,{\mathbb {C} })\,.$

D.h. jede stetige Funktion ${}f\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$ lässt sich beliebig gut durch Funktionen aus ${}T$ approximieren.

Beweis

Siehe Aufgabe 18.14.

$\Box$

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