Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 19

Summierbarkeit

Wir fragen uns, inwiefern man in einem normierten Vektorraum eine Vektorenfamilie zu einer unendlichen Indexmenge sinnvoll aufsummieren kann und schließen dabei an den Summierbarkeitsbegriff von komplexen Zahlen an. Die Familie sei als ${}v_{i}$ , ${}i\in I$, gegeben. Für jede endliche Teilmenge ${}E\subseteq I$ kann man die zugehörigen Glieder aufsummieren, und wir setzen

${}v_{E}=\sum _{i\in E}v_{i}\,.$

Eine sinnvolle Aufsummierung der gesamten Familie muss auf diese endlichen Teilsummen ${}v_{E}$ Bezug nehmen.

Definition

Es sei ${}V$ ein normierter ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum, ${}I$ eine Indexmenge und ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren aus ${}V$. Diese Familie heißt summierbar, wenn es ein ${}w\in V$ mit folgender Eigenschaft gibt: Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ derart, dass für alle endlichen Teilmengen ${}E\subseteq I$ mit ${}E_{0}\subseteq E$ die Beziehung

${}\Vert {v_{E}-w}\Vert \leq \epsilon \,$

gilt. Dabei ist ${}v_{E}=\sum _{i\in E}v_{i}$. Im summierbaren Fall heißt ${}w$ die Summe der Familie.

Definition

Es sei ${}V$ ein normierter ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum, ${}I$ eine Indexmenge und ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren aus ${}V$. Diese Familie heißt eine Cauchy-Familie, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ derart gibt, dass für jede endliche Teilmenge ${}D\subseteq I$ mit ${}E_{0}\cap D=\emptyset$ die Beziehung

${}\Vert {v_{D}}\Vert \leq \epsilon \,$

gilt.

Lemma

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Banachraum, ${}I$ eine Indexmenge und ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren aus ${}V$.

Dann ist die Familie genau dann summierbar, wenn sie eine Cauchy-Familie ist.

Beweis

Es sei zunächst die Familie summierbar mit der Summe ${}s$, und sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Zu ${}\epsilon /2$ gibt es eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ derart, dass für alle endlichen Mengen ${}E\subseteq I$ mit ${}E_{0}\subseteq E$ die Abschätzung ${}\Vert {v_{E}-s}\Vert \leq \epsilon /2$ gilt. Für jede zu ${}E_{0}$ disjunkte endliche Teilmenge ${}D$ gilt dann

${}{\begin{aligned}\Vert {v_{D}}\Vert &=\Vert {v_{D}+v_{E_{0}}-s-v_{E_{0}}+s}\Vert \\&\leq \Vert {v_{D}+v_{E_{0}}-s}\Vert +\Vert {v_{E_{0}}-s}\Vert \\&=\Vert {v_{E_{0}\cup D}-s}\Vert +\Vert {v_{E_{0}}-s}\Vert \\&\leq \epsilon /2+\epsilon /2\\&=\epsilon ,\end{aligned}}$

sodass die Cauchy-Bedingung erfüllt ist.
Es sei nun ${}v_{i}$ , ${}i\in I$, eine Cauchy-Familie. Wir brauchen zunächst einen Kandidaten für die Summe. Für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es eine endliche Teilmenge ${}E_{n}\subseteq I$ derart, dass für jede endliche Teilmenge ${}D\subseteq I$ mit ${}E_{n}\cap D=\emptyset$ die Abschätzung ${}\Vert {v_{D}}\Vert \leq 1/n$ gilt. Wir können annehmen, dass ${}E_{n}\subseteq E_{n+1}$ für alle ${}n$ gilt. Wir setzen

${}x_{n}:=v_{E_{n}}=\sum _{i\in E_{n}}v_{i}\,.$

Für ${}k\geq m\geq n$ gilt

${}\Vert {x_{k}-x_{m}}\Vert =\Vert {\sum _{i\in E_{k}}v_{i}-\sum _{i\in E_{m}}v_{i}}\Vert =\Vert {v_{E_{k}\setminus E_{m}}}\Vert \leq 1/m\leq 1/n\,,$

da die Menge ${}E_{k}\setminus E_{m}$ disjunkt zu ${}E_{m}$ ist. Daher ist ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge und somit wegen der Vollständigkeit von ${}V$ konvergent gegen ein ${}s\in V$.
Wir behaupten, dass die Familie summierbar ist mit der Summe ${}s$. Es sei dazu ein ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Es gibt ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}1/n\leq \epsilon /2$. Dann ist wegen der Folgenkonvergenz und der Abschätzung von eben ${}\Vert {x_{n}-s}\Vert \leq \epsilon /2$. Für jedes endliche ${}E\supseteq E_{n}$ schreiben wir ${}E=E_{n}\cup D$ mit ${}E_{n}\cap D=\emptyset$. Damit gelten die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}\Vert {v_{E}-s}\Vert &=\Vert {v_{E_{n}}+v_{D}-s}\Vert \\&\leq \Vert {v_{E_{n}}-s}\Vert +\Vert {v_{D}}\Vert \\&\leq \epsilon /2+\epsilon /2\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

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Lemma

Es sei ${}V$ ein normierter ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum, ${}I$ eine Indexmenge und ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine summierbare Familie von Vektoren aus ${}V$ mit der Summe ${}w\in V$.

Dann gehört ${}w$ zum Abschluss des von den ${}v_{i}$ erzeugten Untervektorraumes.

Beweis

Es folgt unmittelbar aus der Definition, dass es in jeder ${}\epsilon$-Umgebung von ${}w$ Elemente aus dem von den ${}v_{i}$ erzeugten Untervektorraum gibt.

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Korollar

Es sei ${}v_{i}$ , ${}i\in I$, eine summierbare Familie in einem ${}{\mathbb {K} }$- Banachraum und sei ${}J\subseteq I$ eine Teilmenge.

Dann ist auch ${}v_{i}$ , ${}i\in J$, summierbar.

Beweis

Siehe Aufgabe *****.

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Kompakte Operatoren

Definition

Eine Teilmenge ${}T\subseteq X$ eines topologischen Raumes ${}X$ heißt relativ kompakt, wenn der Abschluss ${}{\overline {T}}$ kompakt ist.

Definition

Eine stetige Abbildung ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ zwischen metrischen Räumen ${}M$ und ${}N$ heißt kompakt, wenn für jede beschränkte Teilmenge ${}T\subseteq M$ das Bild ${}\varphi (T)$ relativ kompakt in ${}N$ ist.

Lemma

Es seien ${}V,W$ normierte ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume und sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist kompakt.
2. Das Bild der (offenen oder abgeschlossenen) Einheitskugel von ${}V$ ist relativ kompakt in ${}W$.
3. Jede beschränkte Folge in ${}V$ besitzt eine Teilfolge, deren Bildfolge in ${}W$ konvergiert.

Beweis

Von (1) nach (2) ist eine Einschränkung. Es sei (2) erfüllt. Dann ist die Eigenschaft überhaupt für jede offene oder abgeschlossene Kugel erfüllt. Eine beliebige beschränkte Teilmenge ${}T$ ist in einer Kugel enthalten und damit ist der Abschluss ihres Bildes nach Lemma 17.3 ebenfalls kompakt, es gilt also (1).

Es sei (1) erfüllt und eine beschränkte Folge in ${}V$ gegeben. Dann liegt die Bildfolge in einer kompakten Teilmenge von ${}W$ und besitzt nach Lemma 17.4 (für diese Richtung braucht man keine abzählbare Basis der Topologie) eine konvergente Teilfolge. Also gilt (3).

Es sei nun (3) erfüllt und ${}T\subseteq V$ beschränkt. Es ist die Kompaktheit von ${}\varphi (T)$ zu zeigen. Es sei ${}w_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Folge in ${}\varphi (T)$. Es gibt dann eine Folge ${}v_{n}\in T$ mit

${}d{\left(\varphi (v_{n}),w_{n}\right)}\leq {\frac {1}{n}}\,.$

Aufgrund der Eigenschaft (3) gibt es eine Teilfolge ${}v_{n_{k}}$ derart, dass ${}\varphi (v_{n_{k}})$ gegen ein Element ${}w\in {\overline {\varphi (T)}}$ konvergiert. Doch dann konvergiert auch die Teilfolge ${}w_{n_{k}}$ gegen ${}w$.

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