Es seien
und
zwei Punkte im . Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in
a) der euklidischen Metrik,
b) der Summenmetrik,
c) der Maximumsmetrik.
d) Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.
Die Abstände der einzelnen Koordinaten sind
-
und
-
a) Der euklidische Abstand ist somit
-
b) In der Summenmetrik ist der Abstand
-
c) Es ist
-
daher ist der Abstand in der Maximumsmetrik gleich .
d) Wir behaupten, dass der Maximumsabstand kleiner dem euklidischen Abstand und dass dieser kleiner dem Summenabstand ist. Um dies zu sehen bringt man die drei Zahlen auf den Hauptnenner
und muss dann für die Zähler
-
zeigen. Wegen und ist das klar.
Zeige, dass die Funktion
-
mit
-
nur im Nullpunkt stetig ist.
Es sei zunächst
und
vorgegeben. Dann kann man
setzen, denn aus
folgt wegen
oder
auch
.
Es sei nun
Wir zeigen, dass man für
kein
mit der Abschätzungseigenschaft für die Stetigkeit finden kann. Es sei hierzu
vorgegeben und sei
.
Wenn rational ist, so wählen wir eine irrationale Zahl
,
wenn irrational ist, so wählen wir eine rationale Zahl
Im ersten Fall gilt
-
im zweiten Fall gilt
-
so dass in beiden Fällen die -Umgebung von nicht in die -Umgebung von abgebildet wird.
Zeige, dass der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen von nach nicht gelten muss.
Die Funktion
-
ist stetig und es ist
und
.
Wenn der Zwischenwertsatz auch rational gelten würde, müsste es im rationalen Intervall eine Nullstelle geben, also ein
mit
.
Dies kann es aber nicht geben, da die Quadratwurzel aus irrational ist.
Beweise die folgende Aussage: Jede beschränkte Folge von reellen Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge
(Satz von Bolzano-Weierstraß).
Die Folge sei durch
-
beschränkt. Wir definieren zuerst induktiv eine
Intervallhalbierung
derart, dass in den Intervallen unendlich viele Folgenglieder liegen. Das Startintervall ist
.
Es sei das -te Intervall bereits konstruiert. Wir betrachten die beiden Hälften
-
In mindestens einer der Hälften liegen unendlich viele Folgenglieder, und wir wählen als Intervall eine Hälfte mit unendlich vielen Gliedern. Da sich bei diesem Verfahren die Intervalllängen mit jedem Schritt halbieren, liegt eine Intervallschachtelung vor. Als Teilfolge wählen wir nun ein beliebiges Element
-
mit
.
Dies ist möglich, da es in diesen Intervallen unendlich viele Folgenglieder gibt. Diese Teilfolge konvergiert nach
Aufgabe *****
gegen die durch die
Intervallschachtelung bestimmte Zahl
.
Betrachte die Funktion
-
Bestimme die
Nullstellen
und die lokalen (globalen)
Extrema
von . Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.
Da die Exponentialfunktion keine Nullstelle besitzt, liegt nur bei
,
also bei
eine Nullstelle vor. Unterhalb davon ist die Funktion negativ, oberhalb davon positiv.
Zur Bestimmung der lokalen Extrema leiten wir ab, was zu
-
führt. Die Nullstellenbestimmung der Ableitung führt auf
-
Quadratisches Ergänzen führt zu
-
bzw.
-
Also ist
-
und somit
-
Für
ist die Ableitung negativ, für mit
ist sie positiv und für
wieder negativ. Daher ist die Funktion unterhalb von streng fallend, zwischen
und
streng wachsend und oberhalb von wieder streng fallend. Daher liegt in ein isoliertes lokales Minimum und in ein isoliertes lokales Maximum vor. Da es sonst keine lokalen Extrema gibt, und die Funktion für wächst, aber negativ bleibt, und für fällt, aber positiv bleibt, sind dies auch globale Extrema.
a) Nach der Produkt- und Kettenregel ist
-
b) Wir berechnen zuerst . Es ist
Die Ableitung ist daher
-
Andererseits ist
-
und daher nach Teil a)
Es sei
-
a) Zeige, dass die Funktion im reellen Intervall genau eine Nullstelle besitzt.
b) Berechne die erste Nachkommastelle im Zehnersystem
dieser Nullstelle.
c) Man gebe eine rationale Zahl
derart an, dass
ist.
a) Es ist
und
,
daher besitzt die stetige Funktion aufgrund des Zwischenwertsatzes mindestens eine Nullstelle in . Die Ableitung ist
und dies ist in diesem Intervall positiv, so dass die Funktion dort streng wachsend ist. Also kann sie nicht mehr als eine Nullstelle besitzen.
b) Für
-
ist
-
die Nullstelle muss also in der rechten Intervallhälfte liegen. Für ergibt sich
-
so dass dieser Wert zu groß ist. Für ergibt sich
-
was immer noch zu groß ist. Für
ergibt sich
-
Die Nullstelle liegt also im offenen Intervall zwischen und und die erste Nachkommastelle ist .
c) Wie unter b) berechnet ist
,
so dass man
nehmen kann.
Bestimme direkt
(ohne Verwendung von Ableitungsregeln)
die
Ableitung
der
Funktion
-
in einem beliebigen Punkt
.
Die
komplexe Exponentialfunktion
ist wegen
für alle
nicht
injektiv,
daher gibt es überhaupt keine Umkehrfunktion.
Bestimme den Grenzwert von
-
im Punkt , und zwar
a) mittels Polynomdivision,
b) mittels der Regel von l'Hospital.
Bestimme, für welche komplexe Zahlen die
Reihe
-
konvergiert.
Bestimme, ob die Familie
-
summierbar
ist oder nicht.
Wir zeigen,
dass diese Familie nicht summierbar ist. Es genügt zu zeigen, dass die endlichen Teilsummen der Familie unbeschränkt sind. Es sei dazu
gegeben. Aufgrund des
Archimedesprinzip
gibt es ein
mit
-
Zwischen
und
gibt es unendlich viele
rationale Zahlen,
so dass wir verschiedene rationale Zahlen in diesem Intervall wählen können. Für die zugehörige endliche Teilsumme gilt
dann
-
so dass überschritten wird.
Man gebe ein Beispiel einer
Funktionenfolge
-
derart, dass sämtliche nicht
stetig
sind, die Funktionenfolge aber
gleichmäßig
gegen eine stetige
Grenzfunktion
konvergiert.
Wir betrachten für
die Funktionenfolge
-
die durch
-
gegeben ist. Diese Funktionen sind nicht stetig, da der Limes für gegen stets
ist. Wir behaupten, dass diese Folge gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert, die als konstante Funktion stetig ist. Dazu sei
vorgegeben. Es gibt dann ein
mit
.
Für alle
und alle
gilt dann
-
Die erste Ableitung ist
-
Die zweite Ableitung
ist
-
Die dritte Ableitung ist
-
Die vierte Ableitung ist
-
Das Taylor-Polynom vom Grad ist demnach
-
bzw.
-
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