Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 28



Aufwärmaufgaben

Zeige, dass die Funktion

differenzierbar ist, aber nicht zweimal differenzierbar.



Betrachte die Funktion

die durch

definiert ist. Untersuche in Hinblick auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Extrema.



Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion



Betrachte die Funktion

Finde die Punkte derart, dass die Steigung der Funktion in gleich der Durchschnittssteigung zwischen und ist.



Zeige, dass eine reelle Polynomfunktion

vom Grad maximal lokale Extrema besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd streng wachsend oder streng fallend ist.



Führe die Details im Beweis zu Satz 28.7 aus.



Bestimme den Grenzwert

mittels Polynomdivision (vergleiche Beispiel 28.9).



Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

im Punkt .



Es sei ein Intervall und es sei

die Menge der differenzierbaren Funktionen. Zeige, dass ein reeller Vektorraum ist und dass die Ableitung

eine lineare Abbildung ist. Bestimme den Kern dieser Abbildung und seine Dimension.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion



Aufgabe (4 Punkte)

Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion

hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.



Aufgabe (4 Punkte)

Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion

hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.



Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass eine nichtkonstante rationale Funktion der Form

(mit , ), keine lokalen Extrema besitzt.



Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass Lipschitz-stetig ist.



Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

im Punkt .



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