Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 29

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion auf einem reellen Intervall. Die Funktion habe in den Punkten ${}x_{1},x_{2}\in I$, ${}x_{1}<x_{2}$, lokale Maxima. Zeige, dass die Funktion zwischen ${}x_{1}$ und ${}x_{2}$ mindestens ein lokales Minimum besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius ${}R>0$. Zeige, dass der Konvergenzradius der Reihe ${}\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}z^{n-1}$ ebenfalls ${}R$ ist.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2}\cdot \exp \left(z^{3}-4z\right).$

Aufgabe *

Bestimme die Ableitung der Funktion

$\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} .$

Aufgabe

Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich ${}2\%$. Nach welchem Zeitraum (in Jahren und Tagen) haben sich die Preise verdoppelt?

Aufgabe

Untersuche die Funktionenfolge

$f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto (\sin x)^{n},$

auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz. An welchen Punkten existiert die Grenzfunktion, an welchen ist sie stetig, an welchen differenzierbar? Wie verhält sich die abgeleitete Funktionenfolge, also ${}g_{n}(x)=f_{n}'(x)$?

Aufgabe

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

1. ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\sin x}{x}}$,
2. ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {(\sin x)^{2}}{x}}$,
3. ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\sin x}{x^{2}}}$,
4. ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {x-1}{\ln x}}$.

Aufgabe

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes für ${}x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$, ${}x\rightarrow 0$, existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

1. ${}\sin {\frac {1}{x}}$,
2. ${}x\cdot \sin {\frac {1}{x}}$,
3. ${}{\frac {1}{x}}\cdot \sin {\frac {1}{x}}$.

Aufgabe

Berechne bis auf drei Nachkommastellen den Wert von ${}e^{\mathrm {i} }$.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion über ihre Potenzreihen (Satz 29.1).

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion unter Verwendung von Satz 25.11  (4).

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin \left(\cos z\right).$

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto (\sin z)(\cos z).$

Aufgabe

Bestimme für ${}n\in \mathbb {N}$ die Ableitung der Funktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto (\sin z)^{n}.$

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$D\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \tan z={\frac {\sin z}{\cos z}}.$

Was ist die Definitionsmenge ${}D$ des Tangens?

Aufgabe *

Zeige, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion

$[-\pi /2,\pi /2]\longrightarrow [-1,1]$

induziert, und dass die reelle Kosinusfunktion eine bijektive, streng fallende Funktion

$[0,\pi ]\longrightarrow [-1,1]$

induziert.

Aufgrund von Korollar 29.10 ist die reelle Sinusfunktion und die reelle Kosinusfunktion bijektiv auf gewissen Intervallen. Die Umkehrfunktionen heißen folgendermaßen.

Die Umkehrfunktion der reellen Sinusfunktion ist

$[-1,1]\longrightarrow [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}],\,x\longmapsto \arcsin x,$

und heißt Arkussinus.

Die Umkehrfunktion der reellen Kosinusfunktion ist

$[-1,1]\longrightarrow [0,\pi ],\,x\longmapsto \arccos x,$

und heißt Arkuskosinus.

Aufgabe

Bestimme die Ableitungen von Arkussinus und Arkuskosinus.

Der Verlauf der Hyperbelfunktionen im Reellen.

Die für ${}z\in {\mathbb {C} }$ durch

$\sinh z:={\frac {1}{2}}(e^{z}-e^{-z})$

definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.

Die für ${}z\in {\mathbb {C} }$ durch

${}\cosh z={\frac {1}{2}}{\left(e^{z}+e^{-z}\right)}\,$

definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.

Aufgabe

Zeige die folgenden Eigenschaften von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus (dabei ist ${}z\in {\mathbb {C} }$.)

1. $\cosh z+\sinh z=e^{z}.$

2. $\cosh z-\sinh z=e^{-z}.$

3. $(\cosh z)^{2}-(\sinh z)^{2}=1.$

4. $\cosh {\mathrm {i} }z=\cos z{\text{ und }}\sinh {\mathrm {i} }z={\mathrm {i} }\cdot \sin z.$

Aufgabe

Bestimme die Ableitungen von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine Polynomfunktion vom Grad ${}d\geq 1$. Es sei ${}m$ die Anzahl der lokalen Maxima von ${}f$ und ${}n$ die Anzahl der lokalen Minima von ${}f$. Zeige, dass bei ${}d$ ungerade ${}m=n$ und bei ${}d$ gerade ${}\vert {m-n}\vert =1$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{x}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }$, ${}b\in \mathbb {R} _{+}$ und

$f\colon B\left(P,b\right)\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine stetige Funktion. Zeige, dass es eine stetige Fortsetzung

${\tilde {f}}\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

von ${}f$ gibt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

$f(x)={\begin{cases}x\sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\in {]0,1]},\\0{\text{ für }}x=0,\end{cases}}$

stetig ist und unendlich viele Nullstellen besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

$f(x)={\begin{cases}x\sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\in {]0,1]},\\0{\text{ für }}x=0,\end{cases}}$

unendlich viele isolierte lokale Maxima und unendlich viele isolierte lokale Minima besitzt.

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine stetige Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

die unendlich viele Nullstellen und unendlich viele isolierte lokale Maxima besitzt, deren Funktionswert ${}\geq 1$ ist.

Aufgabe (7 Punkte)

Zeige, dass es keine stetige Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

gibt, die unendlich viele Nullstellen besitzt derart, dass zwischen je zwei Nullstellen ein lokales Maximum existiert, dessen Funktionswert ${}\geq 1$ ist.