Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 27
- Aufwärmaufgaben
Die folgende Aufgabe löse man sowohl direkt als auch mittels der Ableitungsregeln.
Zeige, dass die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.
Es sei und . Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung direkt und mittels der Kettenregel.
Es sei und . Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung direkt und mittels der Kettenregel.
Bei der „linearen Approximation“ von differenzierbaren Abbildungen kommen sogenannte affin-lineare Abbildungen vor.
Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Eine Abbildung
wobei eine lineare Abbildung und ein Vektor ist, heißt affin-linear.
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Zeige, dass es zu zwei Vektoren genau eine affin-lineare Abbildung
gibt mit und .
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei und sei für jedes eine konvergente Folge
in gegeben, deren Limes mit bezeichnet sei. Wir betrachten die Folge von Polynomen vom Grad , die durch
definiert sind. Zeige, dass diese Funktionenfolge auf jeder abgeschlossenen Kreisscheibe gleichmäßig gegen
konvergiert.
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein Polynom, und . Zeige, dass genau dann ein Vielfaches von ist, wenn eine Nullstelle sämtlicher Ableitungen ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei
eine rationale Funktion. Zeige, dass genau dann ein Polynom ist, wenn es eine (höhere) Ableitung mit gibt.
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