Wir nehmen an, dass es eine surjektive Abbildung
-
gibt, und müssen dies zu einem Widerspruch führen. Dazu betrachten wir
-
Da dies eine Teilmenge von ist, muss es wegen der Surjektivität ein
geben mit
-
Es gibt nun zwei Fälle, nämlich
oder . Im ersten Fall ist also
,
und damit, nach der Definition von , auch
,
Widerspruch. Im zweiten Fall ist, wieder aufgrund der Definition von ,
,
und das ist ebenfalls ein Widerspruch.
Betrachte auf die
Relation
-
a) Zeige, dass eine
Äquivalenzrelation
ist.
b) Zeige, dass es zu jedem ein äquivalentes Paar mit
gibt.
c) Es sei die Menge der
Äquivalenzklassen
dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung
-
Zeige, dass
injektiv
ist.
d) Definiere auf
(aus Teil c)
eine
Verknüpfung
derart, dass
mit dieser Verknüpfung und mit als neutralem Element eine
Gruppe
wird, und dass für die Abbildung die Beziehung
-
für alle
gilt.
a) Wegen der Kommutativität der Multiplikation in
ist , woraus die
Reflexivität folgt. Zur Symmetrie sei , also . Dann ist auch
, was
bedeutet. Zur Transitivität sei
-
also
-
Aus diesen beiden Gleichungen ergibt
sich
-
Da
ist, folgt daraus
, was
bedeutet.
b) Es sei vorgegeben. Wegen ist oder .
Bei sind wir fertig, da
zu sich selbst äquivalent ist. Bei
betrachten wir . Der
zweite Eintrag ist positiv, und wegen
-
sind
und
äquivalent zueinander.
c) Es seien vorgegeben und
. Das bedeutet
bzw.
, also
-
d) Wir setzen
-
Wegen
ist auch
. Zur Wohldefiniertheit dieser
Verknüpfung sei
-
also
-
Wir behaupten
-
Dies folgt aus
Die Assoziativität folgt aus
Wegen
-
(und ebenso
in der anderen Reihenfolge) ist das neutrale Element.
Wir behaupten, dass zu das inverse Element durch gegeben ist. Dies folgt aus
-
wobei die letzte Gleichung sich aus ergibt (ebenso
in der anderen Reihenfolge).
Schließlich ist für
-
Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass für
die Beziehung
-
gilt.
Beweise durch Induktion, dass für
die Abschätzung
-
gilt.
Induktionsanfang für
.
Es ist
-
Zum Induktionsschluss sei
.
Dann ist
-
Andererseits ist nach der binomischen Formel
-
Wir müssen
-
nachweisen. Der erste Summand stimmt links und rechts überein, für die anderen Summanden zeigen wir, dass die linken, also jeweils , mindestens so groß wie die rechten sind. Dies folgt aber direkt aus
(da
), aus
,
da ja
ist, aus
und aus
.
Entscheide, ob die
Folge
-
in
konvergiert
und bestimme gegebenenfalls den
Grenzwert.
Es sei ein angeordneter Körper und sei
-
der
Vektorraum
aller
Folgen
in
(mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
a) Zeige
(ohne Sätze über konvergente Folgen zu verwenden), dass die Menge der Nullfolgen, also
-
ein
-Untervektorraum
von ist.
b) Sind die beiden Folgen
-
linear unabhängig
in ?
a) Wir müssen zeigen, dass nicht leer ist und bezüglich der Addition und der Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.
Die konstante Nullfolge, also das Nullelement von , ist offenbar eine Folge, die gegen konvergiert.
Es seien und zwei Folgen aus , also zwei Nullfolgen.
Wir müssen zeigen, dass auch die Summe gegen null konvergiert. Es sei dazu vorgegeben.
Für gibt es, da die beiden Folgen gegen
konvergieren, natürliche Zahlen
und mit
-
und
-
Aufgrund der Dreiecksungleichung für den Betrag gilt daher für die Abschätzung
-
also liegt eine Nullfolge vor.
Zum Nachweis der Abgeschlossenheit unter der skalaren Multiplikation sei konvergent und gegeben. Wir müssen zeigen, dass die Folge , gegen konvergiert. Bei
ist dies die Nullfolge, sei also . Wegen
-
können wir annehmen, dass positiv ist. Es sei vorgegeben. Dann ist ebenfalls positiv und aufgrund der
Konvergenz von gegen gibt es ein derart, dass für die Beziehung
-
gilt. Für
gilt daher wegen
der Multiplikativität des Betrags
-
so dass auch diese Folge gegen
konvergiert.
b) Die beiden Folgen sind linear unabhängig. Sie sind beide nicht die konstante Nullfolge. Sie wären also nur dann linear abhängig,
wenn die eine Folge ein skalares Vielfaches der anderen wäre. Nehmen wir also an, dass für ein die Beziehung
-
für alle
gilt. Für
bedeutet dies insbesondere
-
Dies bedeutet und , was
nicht zugleich erfüllt sein kann.
Berechne über den
komplexen Zahlen
das
Matrizenprodukt
-
Man multipliziert die erste Zeile mit der Spalte rechts und erhält
Die zweite Zeile multipliziert mit der Spalte rechts ergibt
-
Das Ergebnis ist also der Spaltenvektor
-
Es sei ein
Körper
und es seien
und
Vektorräume
über . Es sei ein
Erzeugendensystem
von und es sei eine Familie von Vektoren in .
a) Zeige, dass es maximal eine
lineare Abbildung
-
mit
für alle
geben kann.
b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Situation an, wo es keine lineare Abbildung mit
für alle gibt.
Bestimme den
Kern
der
linearen Abbildung
-
Es geht darum, das lineare Gleichungssystem
-
zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der ersten Gleichung die Variable . Das resultierende System ist
(,
)
-
Wir eliminieren nun aus
mittels
die Variable
, das ergibt
()
-
Wir können jetzt dieses System lösen, wobei
die anderen Variablen eindeutig festlegt. Es sei
.
Dann ist
.
Damit ist
-
Schließlich ist
-
Die Lösungsmenge, also der Kern, ist somit
-
a) Bestimme, ob die
komplexe
Matrix
-
invertierbar
ist.
b) Finde eine Lösung für das
inhomogene lineare Gleichungssystem
-
a) Wir berechnen die Determinante der Matrix. Diese ist
Insbesondere ist die Matrix invertierbar.
b) Es ist
Daher können wir direkt eine Lösung angeben, nämlich
-
Es ist ja
Der Produktraum besitzt die Dimension . Um dies zu beweisen sei eine
Basis von und eine Basis von . Wir behaupten, dass die Elemente
-
eine Basis von bilden.
Es sei
.
Dann gibt es Darstellungen
-
Daher ist
d.h., es liegt ein Erzeugendensystem vor.
Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei
-
angenommen. Die gleiche Rechnung rückwärts ergibt
-
und das bedeutet
-
Da es sich jeweils um Basen handelt, folgt
für alle und
für alle .
Es sei ein
Körper
und es seien
und
Vektorräume
über . Es sei der
-
Vektorraum
der
linearen Abbildungen
von nach und es sei ein fixierter Vektor. Zeige, dass die Abbildung
-
-linear ist.
Zur Additivität. Es seien . Dann ist
(nach der Definition der Addition auf )
-
Zur Skalarmultiplikation. Es sei und . Dann ist
(wieder aufgrund der Definition der Skalarmultiplikation auf )
-
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