Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorlesung 32

Der Mittelwertsatz der Integralrechnung

Zu einer Riemann-integrierbaren Funktion ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ kann man

${\frac {\int _{a}^{b}f(t)\,dt}{b-a}}$

als die Durchschnittshöhe der Funktion ansehen, da dieser Wert mit der Länge ${}b-a$ des Grundintervalls multipliziert den Flächeninhalt unterhalb des Graphen zu ${}f$ ergibt. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung besagt, dass für eine stetige Funktion dieser Durchschnittswert (oder Mittelwert) von der Funktion auch angenommen wird.

Satz

Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion.

Dann gibt es ein ${}c\in [a,b]$ mit

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=f(c)(b-a)\,.$

Beweis

Über dem kompakten Intervall ist die Funktion ${}f$ nach oben und nach unten beschränkt, es seien ${}m$ und ${}M$ das Minimum bzw. das Maximum der Funktion, die aufgrund von Fakt ***** angenommen werden. Dann ist insbesondere ${}m\leq f(x)\leq M$ für alle ${}x\in [a,b]$ und

${}m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq M(b-a)\,.$

Daher ist ${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=d(b-a)$ mit einem ${}d\in [m,M]$ und aufgrund des Zwischenwertsatzes gibt es ein ${}c\in [a,b]$ mit ${}f(c)=d$.

$\Box$

Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung

Es ist geschickt auch Integralgrenzen zuzulassen, bei denen die untere Integralgrenze die obere Intervallgrenze und die obere Integralgrenze die untere Intervallgrenze ist. Dazu definieren wir für ${}a<b$ und eine integrierbare Funktion ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$

$\int _{b}^{a}f(t)\,dt:=-\int _{a}^{b}f(t)\,dt.$

Definition

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Riemann-integrierbare Funktion und ${}a\in I$. Dann heißt die Funktion

$I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt,$

die Integralfunktion zu ${}f$ zum Startpunkt ${}a$.

Man spricht auch von der Flächenfunktion oder einem unbestimmten Integral.

Das ${}x$ im Satz ist das ${}x_{0}$ in der Animation, und ${}x+h$ im Satz ist das wandernde ${}x$ in der Animation. Der wandernde Punkt ${}z$ in der Animation ist ein Punkt, wie er im Mittelwertsatz der Integralrechnung auftritt.

Die folgende Aussage heißt Hauptsatz der Infinitesimalrechnung.

Satz

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Es sei ${}a\in I$ und es sei

${}F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,$

die zugehörige Integralfunktion.

Dann ist ${}F$ differenzierbar und es gilt

${}F'(x)=f(x)\,$

für alle ${}x\in I$.

Beweis

Es sei ${}x$ fixiert. Der Differenzenquotient ist

${}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\frac {1}{h}}{\left(\int _{a}^{x+h}f(t)\,dt-\int _{a}^{x}f(t)\,dt\right)}={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(t)\,dt\,.$

Wir müssen zeigen, dass für ${}h\rightarrow 0$ der Limes existiert und gleich ${}f(x)$ ist. Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gibt es zu jedem ${}h$ ein ${}c_{h}\in [x,x+h]$ mit

${}f(c_{h})\cdot h=\int _{x}^{x+h}f(t)dt\,$

und damit ist

${}f(c_{h})={\frac {\int _{x}^{x+h}f(t)dt}{h}}\,.$

Für ${}h\rightarrow 0$ konvergiert ${}c_{h}$ gegen ${}x$ und wegen der Stetigkeit von ${}f$ konvergiert ${}f(c_{h})$ gegen ${}f(x)$.

$\Box$

Stammfunktion

Zur Definition von Stammfunktionen setzen wir wieder ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R} {\text{ oder }}={\mathbb {C} }$. Wir werden uns aber weitgehend auf den reellen Fall beschränken.

Definition

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und sei

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Eine Funktion

$F\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

heißt Stammfunktion zu ${}f$, wenn ${}F$ auf ${}D$ differenzierbar ist und ${}F'(x)=f(x)$ für alle ${}x\in D$ gilt.

Den Hauptsatz der Infinitesimalrechnung kann man zusammen mit Satz 31.14 als einen Existenzsatz für Stammfunktionen interpretieren.

Korollar

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion.

Dann besitzt ${}f$ eine Stammfunktion.

Beweis

Es sei ${}a\in I$ ein beliebiger Punkt. Aufgrund von Satz 31.14 existiert das Riemann-Integral

${}F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,,$

und aufgrund des Hauptsatzes ist ${}F'(x)=f(x)$, d.h. ${}F$ ist eine Stammfunktion von ${}f$.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Es seien ${}F$ und ${}G$ zwei Stammfunktionen von ${}f$.

Dann ist ${}F-G$ eine konstante Funktion.

Beweis

Es ist

${}(F-G)'=F'-G'=f-f=0\,.$

Daher ist nach Korollar 28.4 die Differenz ${}F-G$ konstant.

$\Box$

Isaac Newton (1643-1727)

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

Die folgende Aussage ist ebenfalls eine Version des Hauptsatzes, der darin ausgedrückte Zusammenhang heißt auch Newton-Leibniz-Formel.

Korollar

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion, für die ${}F$ eine Stammfunktion sei.

Dann gilt für ${}a,b\in I$ die Gleichheit

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a)\,.$

Beweis

Aufgrund von Satz 31.14 existiert das Integral. Mit der Integralfunktion

${}G(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,$

gilt die Beziehung

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=G(b)=G(b)-G(a)\,.$

Aufgrund von Satz 32.3 ist ${}G$ differenzierbar mit

${}G'(x)=f(x)\,,$

d.h. ${}G$ ist eine Stammfunktion von ${}f$. Wegen Lemma 32.6 ist ${}F(x)=G(x)+c$. Daher ist

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=G(b)-G(a)=F(b)-c-F(a)+c=F(b)-F(a)\,.$

$\Box$

Da eine Stammfunktion nur bis auf eine additive Konstante bestimmt ist, schreibt man manchmal

${}\int _{}^{}f(t)\,dt=F+c\,,$

und nennt ${}c$ eine Integrationskonstante. In gewissen Situationen, insbesondere im Zusammenhang mit Differentialgleichungen, wird diese Konstante durch zusätzliche Bedingungen festgelegt.

Notation

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und ${}F\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine Stammfunktion zu ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$. Es seien ${}a,b\in I$. Dann setzt man

${}F|_{a}^{b}:=F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(t)\,dt\,.$

Diese Notation wird hauptsächlich bei Rechnungen verwendet, vor allem beim Ermitteln von bestimmten Integralen.

Mit den schon im ersten Semester bestimmten Ableitungen von differenzierbaren Funktionen erhält man sofort eine Liste von Stammfunktionen zu einigen wichtigen Funktionen. In der nächsten Vorlesung werden wir weitere Regeln zum Auffinden von Stammfunktionen kennenlernen, die auf Ableitungsregeln beruhen. Im Allgemeinen ist das Auffinden von Stammfunktionen schwierig.

Die Stammfunktion zu ${}x^{a}$, wobei ${}x\in \mathbb {R} _{+}$ und ${}a\in \mathbb {R}$, ${}a\neq -1$, ist, ist ${}{\frac {1}{a+1}}x^{a+1}$.

Die Stammfunktion der Funktion ${}{\frac {1}{x}}$ ist der natürliche Logarithmus.

Die Stammfunktion der Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion selbst.

Die Stammfunktion von ${}\sin x$ ist ${}-\cos x$, die Stammfunktion von ${}\cos x$ ist ${}\sin x$.

Die Stammfunktion von ${}{\frac {1}{1+x^{2}}}$ ist ${}\arctan x$, es ist ja

${}{\begin{aligned}(\arctan x)^{\prime }&={\frac {1}{\frac {1}{\cos ^{2}(\arctan x)}}}\\&={\frac {1}{\frac {\cos ^{2}(\arctan x)+\sin ^{2}(\arctan x)}{\cos ^{2}(\arctan x)}}}\\&={\frac {1}{1+\tan ^{2}(\arctan x)}}\\&={\frac {1}{1+x^{2}}}.\end{aligned}}$

Die Stammfunktion von ${}{\frac {1}{1-x^{2}}}$ ist ${}{\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}$, es ist ja

${}{\begin{aligned}{\left({\frac {1}{2}}\cdot \ln {\frac {1+x}{1-x}}\right)}^{\prime }&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {(1-x)+(1+x)}{(1-x)^{2}}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2}{(1+x)(1-x)}}\\&={\frac {1}{(1-x^{2})}}.\end{aligned}}$

In der übernächsten Vorlesung werden wir eine Verfahren angeben, wie man zu einer beliebigen rationalen Funktion (also einem Quotienten aus zwei Polynomen) eine Stammfunktion finden kann.

Siehe hier für eine Tabelle von wichtigen Stammfunktionen.

Achtung! Integrationsregeln sind nur anwendbar auf Funktionen, die im gesamten Intervall definiert sind. Z.B. gilt nicht

${}\int _{-a}^{a}()\,dCheckmeplease=-{\frac {1}{x}}|_{-a}^{a}=-{\frac {1}{a}}-{\frac {1}{a}}=-{\frac {2}{a}}\,,$

da hier über eine Definitionslücke hinweg integriert wird.

Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$

mit

${}f(t):={\begin{cases}0{\text{ für }}t=0,\\{\frac {1}{t}}\sin {\frac {1}{t^{2}}}{\text{ für }}t\neq 0\,.\end{cases}}\,$

Diese Funktion ist nicht Riemann-integrierbar, da sie weder nach oben noch nach unten beschränkt ist. Es existieren also weder untere noch obere Treppenfunktionen für ${}f$. Trotzdem besitzt ${}f$ eine Stammfunktion. Dazu betrachten wir die Funktion

${}H(t):={\begin{cases}0{\text{ für }}t=0,\\{\frac {t^{2}}{2}}\cos {\frac {1}{t^{2}}}{\text{ für }}t\neq 0\,.\end{cases}}\,$

Diese Funktion ist differenzierbar. Für ${}t\neq 0$ ergibt sich die Ableitung

${}H'(t)=t\cos {\frac {1}{t^{2}}}+{\frac {1}{t}}\sin {\frac {1}{t^{2}}}\,.$

Für ${}t=0$ ist der Differenzenquotient gleich

${}{\frac {{\frac {h^{2}}{2}}\cos {\frac {1}{h^{2}}}}{h}}={\frac {h}{2}}\cos {\frac {1}{h^{2}}}\,.$

Für ${}h\mapsto 0$ existiert der Grenzwert und ist gleich ${}0$, sodass ${}H$ überall differenzierbar ist (aber nicht stetig differenzierbar). Der erste Summand in ${}H'$ ist stetig und besitzt daher nach Korollar 32.5 eine Stammfunktion ${}G$. Daher ist ${}H-G$ eine Stammfunktion von ${}f$. Dies ergibt sich für ${}t\neq 0$ aus der expliziten Ableitung und für ${}t=0$ aus

${}H'(0)-G'(0)=0-0=0\,.$

Stammfunktionen zu Potenzreihen

Wir erinnern daran, dass die Ableitung einer konvergenten Potenzreihe gliedweise gewonnen werden kann, siehe Vorlesung 29.

Lemma

Es sei

${}f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\,$

eine in ${}U{\left(0,r\right)}$ konvergente Potenzreihe.

Dann ist die Potenzreihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}$

ebenfalls in ${}U{\left(0,r\right)}$ konvergent und stellt dort eine Stammfunktion für ${}f$ dar.

Beweis

Es sei ${}x\in U{\left(0,r\right)}$. Nach Voraussetzung und nach Lemma 26.7 ist dann auch die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }\vert {a_{n}x^{n}}\vert$

konvergent. Für jedes ${}n\geq \vert {x}\vert$ gelten die Abschätzungen

${}\vert {{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}}\vert \leq \vert {a_{n-1}x^{n-1}}\vert \vert {\frac {x}{n}}\vert \leq \vert {a_{n-1}x^{n-1}}\vert \,.$

Daher gilt für ein ${}k\geq \vert {x}\vert$ die Abschätzung

${}\sum _{n=k}^{\infty }\vert {{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}}\vert \leq \sum _{n=k}^{\infty }\vert {a_{n-1}x^{n-1}}\vert \,.$

Die rechte Reihe konvergiert nach Voraussetzung und ist daher eine konvergente Majorante für die linke Reihe. Daher konvergiert auch ${}\sum _{n=1}^{\infty }\vert {{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}}\vert$ und nach Satz 24.8 auch ${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}$. Die Stammfunktionseigenschaft folgt aus Satz 29.1.

$\Box$

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