Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 63/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein metrischer Raum. Zeige, dass in die sogenannte Hausdorff-Eigenschaft gilt, d.h. zu je zwei verschiedenen Punkten und gibt es offene Mengen und mit
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Zeige, dass in einem Hausdorff-Raum jeder Punkt abgeschlossen ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis. Zeige, dass dann auch jeder Unterraum mit der induzierten Topologie eine abzählbare Basis besitzt.
Aufgabe Aufgabe 63.4 ändern
Es sei ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis. Zeige, dass es zu jeder Überdeckung mit offenen Mengen eine abzählbare Teilüberdeckung gibt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Maßraum. Zeige, dass die Mengen
einen Mengen-Präring, aber im Allgemeinen keine Mengen-Algebra bilden.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Maßraum und . Zeige, dass durch
ein Maß auf definiert ist.[1] Diskutiere insbesondere die Teilmengen mit .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Messraum. Wir nennen ein Maß auf explosiv, wenn es lediglich die Werte und annimmt.
a) Zeige, dass (für ) durch
ein Maß definiert ist.
b) Es sei ein Maß auf . Zeige, dass durch
ebenfalls ein Maß definiert ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass es eine abzählbare Familie von offenen Bällen im gibt, die eine Basis der Topologie bilden.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Hausdorff-Raum und es seien zwei disjunkte endliche Teilmengen. Zeige, dass es offene Mengen mit , und mit gibt.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass es auf jedem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ein wohldefiniertes Konzept von Borel-Mengen gibt.
Aufgabe (7 Punkte)Referenznummer erstellen
- Fußnoten
- ↑ Dieses Maß nennt man das mit umskalierte Maß.
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