Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/23/Klausur mit Lösungen



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 6 1 5 3 4 3 2 5 5 8 4 3 1 3 1 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Körper.
  2. Die bestimmte Divergenz einer reellen Folge gegen .
  3. Der Kosinus hyperbolicus.
  4. Eine obere Treppenfunktion zu einer Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .

  5. Eine -Matrix über einem Körper .
  6. Die geometrische Vielfachheit von einem Eigenwert zu einer linearen Abbildung

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .


Lösung

  1. Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

    und zwei verschiedene Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

    1. Axiome der Addition
      1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
      2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
      3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
      4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
    2. Axiome der Multiplikation
      1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
      2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
      3. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
      4. Existenz des Inversen: Zu jedem mit gibt es ein Element mit .
    3. Distributivgesetz: Für alle gilt .
  2. Die Folge in heißt bestimmt divergent gegen , wenn es zu jedem ein mit

    gibt.

  3. Die für durch

    definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.

  4. Eine Treppenfunktion

    heißt eine obere Treppenfunktion zu , wenn für alle ist.

  5. Eine -Matrix über ist ein Schema der Form

    wobei die aus sind.

  6. Man nennt

    die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über wachsende, nach oben beschränkte Folgen in .
  2. Die Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen.
  3. Der Satz über die Ableitung einer reellen Potenzreihe.


Lösung

  1. Eine nach oben beschränkte, wachsende Folge in konvergiert.
  2. Für die trigonometrischen Funktionen

    und

    gelten die Additionstheoreme

    und

  3. Es sei

    eine Potenzreihe, die auf dem offenen Intervall konvergiere und dort die Funktion darstellt. Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe

    auf konvergent. Die Funktion ist in jedem Punkt dieses Intervalls differenzierbar mit


Aufgabe (6 (2+1+3) Punkte)

Professor Knopfloch kommt gelegentlich mit verschiedenen Socken und/oder mit verschiedenen Schuhen in die Universität. Er legt folgende Definitionen fest.

  1. Ein Tag heißt sockenzerstreut, wenn er verschiedene Socken anhat.
  2. Ein Tag heißt schuhzerstreut, wenn er verschiedene Schuhe anhat.
  3. Ein Tag heißt zerstreut, wenn er sockenzerstreut oder schuhzerstreut ist.
  4. Ein Tag heißt total zerstreut, wenn er sowohl sockenzerstreut als auch schuhzerstreut ist.

a) Vom Jahr weiß man, dass Tage sockenzerstreut und Tage schuhzerstreut waren. Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal zerstreut und wie viele Tage waren minimal zerstreut? Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal total zerstreut und wie viele Tage waren minimal total zerstreut?

b) Vom Jahr weiß man, dass Tage sockenzerstreut und Tage schuhzerstreut waren. Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal zerstreut und wie viele Tage waren minimal total zerstreut?

c) Erstelle eine Formel, die die Anzahl der sockenzerstreuten, der schuhzerstreuten, der zerstreuten und der total zerstreuten Tage in einem Jahr miteinander in Verbindung bringt.


Lösung

a) Zerstreutheit: Die sockenzerstreuten Tage sind jedenfalls zerstreut. Das Minimum ergibt sich, wenn alle schuhzerstreuten Tage auch sockenzerstreut waren, das sind . Das Maximum ergibt sich, wenn kein Tag gleichzeitig sockenzerstreut und schuhzerstreut war, das ergibt Tage.

Totale Zerstreutheit: Die total zerstreuten Tage sind insbesondere schuhzerstreut. Das Maximum ergibt sich, wenn alle schuhzerstreuten Tage auch sockenzerstreut waren, das sind Tage. Das Minimum ergibt sich, wenn kein Tag gleichzeitig schuh- und sockenzerstreut war, also .

b) Wegen

können alle Jahre des Tages zerstreut gewesen sein, also . Minimal waren Tage total zerstreut.

c) Sei die Anzahl der sockenzerstreuten Tage, die Anzahl der schuhzerstreuten Tage, die Anzahl der zerstreuten Tage und die Anzahl der total zerstreuten Tage. Dann gilt die Formel

Beide Seiten der Formel sind additiv in den Tagen, sie muss also nur für einen Tag nachgewiesen werden. Wenn der Tag nicht zerstreut ist, steht beidseitig . Wenn der Tag sockenzerstreut ist, aber nicht schuhzerstreut (oder umgekehrt), so ist der Tag zerstreut, aber nicht total zerstreut, und beidseitig steht . Wenn der Tag total zerstreut ist, so steht beidseitig .


Aufgabe (1 Punkt)

Wie sinnvoll ist die Gleichungskette


Lösung Gleichungskette/Pythagoras/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 (1+1+1+2) Punkte)

Ein Zug ist Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von Metern pro Sekunde von ganz hinten nach ganz vorne.

  1. Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
  2. Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
  3. Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
  4. Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.


Lösung

  1. Lucy benötigt Sekunden für den Meter langen Zug.
  2. In Meter pro Sekunde hat der Zug eine Geschwindigkeit von

    Da die beiden Bewegungen sich überlagern, ist die Gesamtgeschwindigkeit von Lucy gleich Meter pro Sekunde.

  3. In den Sekunden legt der Zug

    Meter zurück.

  4. Man kann die vom Zug und die von Lucy im Zug zurückgelegte Strecke addieren, dies ergibt

    Meter. Ebenso kann man mit ihrer Geschwindigkeit bezogen auf die Umgebung rechnen, und erhält ebenfalls

    Meter.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper .


Lösung

 Nehmen wir an, dass und beide von verschieden sind. Dann gibt es dazu inverse Elemente und und daher ist . Andererseits ist aber nach Voraussetzung und daher ist nach Fakt *****  (1)

 so dass sich der Widerspruch ergibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass eine irrationale Zahl ist.


Lösung

Wir machen die Annahme, dass es eine rationale Zahl gibt, deren Quadrat gleich ist, und führen das zu einem Widerspruch. Sei also angenommen, dass

die Eigenschaft besitzt, dass

ist. Eine rationale Zahl hat die Beschreibung als ein Bruch, wobei Zähler und Nenner ganze Zahlen sind. Die rationale Zahl können wir somit als

ansetzen. Ferner können wir annehmen (dieses Annehmen ist eine Vereinfachung der Situation und hat nichts mit der zum Widerspruch zu führenden Annahme zu tun), dass dieser Bruch gekürzt ist, dass also und keinen echten gemeinsamen Teiler haben. In der Tat brauchen wir lediglich, dass wir annehmen dürfen, dass zumindest eine Zahl, oder ungerade ist (wenn beide gerade sind, so können wir mit kürzen, u.s.w.) Die Eigenschaft

bedeutet ausgeschrieben

Multiplikation mit ergibt die Gleichung

(dies ist eine Gleichung in bzw. sogar in ). Diese Gleichung besagt, dass gerade ist, da ja ein Vielfaches der ist. Daraus ergibt sich aber auch, dass selbst gerade ist, da ja das Quadrat einer ungeraden Zahl wieder ungerade ist. Deshalb können wir den Ansatz

mit einer ganzen Zahl machen. Dies setzen wir in die obige Gleichung ein und erhalten

Wir können mit kürzen und erhalten

Also ist auch und damit selbst gerade. Dies ist ein Widerspruch dazu, dass nicht sowohl als auch gerade sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und konvergente Folgen in . Zeige, dass die Summenfolge ebenfalls konvergent mit

ist.


Lösung

Es seien bzw. die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei vorgegeben. Wegen der Konvergenz der ersten Folge gibt es zu

ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Ebenso gibt es wegen der Konvergenz der zweiten Folge zu ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Sei

Dann gilt für alle (unter Verwendung der Dreiecksungleichung) die Abschätzung


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine reelle Zahl, . Beweise für durch Induktion die Beziehung


Lösung Endliche geometrische Reihe/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine reelle Zahl. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. Es gibt ein Polynom , , mit ganzzahligen Koeffizienten und mit .
  2. Es gibt ein Polynom , , mit .
  3. Es gibt ein normiertes Polynom mit .


Lösung

Die Implikation (1) (2) ist unmittelbar klar, da ganze Zahlen rational sind und man somit nehmen kann.

Sei (2) erfüllt und sei

mit , und . Wegen ist auch eine rationale Zahl. Wir multiplizieren mit und erhalten

Dies ist ein normiertes Polynom, die Koeffizienten sind nach wie vor rational und es ist auch

Sei nun (3) erfüllt, und

mit und . Es ist

mit , . Wir setzen

Dieses Polynom hat ganzzahlige Koeffizienten, ist nicht das Nullpolynom und es ist nach wie vor


Aufgabe (5 (1+3+1) Punkte)

Es sei

a) Zeige, dass die Funktion im reellen Intervall genau eine Nullstelle besitzt.

b) Berechne die erste Nachkommastelle im Zehnersystem dieser Nullstelle.

c) Man gebe eine rationale Zahl derart an, dass ist.


Lösung

a) Es ist und , daher besitzt die stetige Funktion aufgrund des Zwischenwertsatzes mindestens eine Nullstelle in . Die Ableitung ist und dies ist in diesem Intervall positiv, so dass die Funktion dort streng wachsend ist. Also kann sie nicht mehr als eine Nullstelle besitzen.

b) Für ist
die Nullstelle muss also in der rechten Intervallhälfte liegen. Für ergibt sich

so dass dieser Wert zu groß ist. Für ergibt sich

was immer noch zu groß ist. Für ergibt sich

Die Nullstelle liegt also im offenen Intervall zwischen und und die erste Nachkommastelle ist .

c) Wie unter b) berechnet ist , so dass man nehmen kann.


Aufgabe (8 (1+4+3) Punkte)

Es sei . Bestimme Polynome vom Grad , die jeweils folgende Bedingungen erfüllen.

(a) stimmt mit an den Stellen überein.

(b) stimmt mit in und in bis zur ersten Ableitung überein.

(c) stimmt mit in bis zur dritten Ableitung überein.


Lösung

a) Die Sinusfunktion hat an den angegebenen Stellen den Wert , daher ist

b) Es ist

Das gesuchte Polynom

besitzt die Ableitung

Somit müssen die Koeffizienten von die Bedingungen ,

also

und

erfüllen. Die beiden zuletzt genannten Gleichungen liefern

also

und damit ist

Das gesuchte Polynom ist also

c) Das gesuchte Polynom ist das Taylor-Polynom der Ordnung zu an der Stelle . Die Ableitungen an dieser Stelle sind

Das Taylor-Polynom der Ordnung ist daher


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Polynom der Form

mit . Zeige, dass sowohl in als auch in die Tangente zu beschreibt. Skizziere die Situation.


Lösung

Die Tangente an ist durch die Steigung und einen Punkt festgelegt. Es ist

Daher ist

Ferner ist

d.h. hat die richtige Steigung und an den richtigen Wert, es handelt sich also um die Tangente. Wegen der Symmetrie der Situation gilt die entsprechende Aussage auch für .


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion

über .


Lösung

Eine Stammfunktion von ist

Somit ist das gesuchte bestimmte Integral gleich


Aufgabe (1 Punkt)

Bei einem linearen Gleichungssystem führe das Eliminationsverfahren auf die Gleichung

Welche Folgerung kann man daraus schließen?


Lösung

Daraus kann man nichts schließen.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Lösung


Aufgabe (1 Punkt)

Berechne die Determinante der Matrix


Lösung

Die Determinante ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und seien lineare Abbildungen, von denen die charakteristischen Polynome bekannt seien. Kann man daraus das charakteristische Polynom von bestimmen?


Lösung

Das kann man nicht. Wir betrachten die beiden nilpotenten -Matrizen

Ihr charakteristisches Polynom ist jeweils . Ihr Produkt ist

und das charakteristische Polynom davon ist . Wenn man dagegen zweimal nimmt, also , so ist das charakteristische Polynom .