Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/24/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 3 2 5 3 3 4 3 6 5 9 3 2 4 3 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die leere Menge.
  2. Eine Folge reeller Zahlen.
  3. Das Minimum der Funktion

    wird im Punkt angenommen.

  4. Der Sinus hyperbolicus.
  5. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

    auf einem kompakten Intervall .

  6. Ein Eigenwert zu einer linearen Abbildung

    auf einem -Vektorraum .


Lösung

  1. Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt.
  2. Eine reelle Folge ist eine Abbildung
  3. Man sagt, dass in einem Punkt das Minimum annimmt, wenn
  4. Die für durch

    definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.

  5. Die Funktion heißt Riemann-integrierbar auf , wenn Ober- und Unterintegral von existieren und übereinstimmen.
  6. Ein Element heißt ein Eigenwert zu , wenn es einen von verschiedenen Vektor mit

    gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die allgemeine binomische Formel für .
  2. Die Beziehung zwischen differenzierbar und stetig.
  3. Der Satz über partielle Integration.


Lösung

  1. Für in einem Körper gilt
  2. Sei eine Teilmenge, ein Punkt und
    eine Funktion, die im Punkt differenzierbar sei. Dann ist stetig in .
  3. Es seien
    stetig differenzierbare Funktionen.

    Dann gilt


Aufgabe (3 Punkte)

In einem Hörsaal befindet sich ein Tafelgestell mit drei hintereinander liegenden, vertikal verschiebbaren Tafeln. Diese seien mit (vordere Tafel), (mittlere Tafel) und (hintere Tafel) bezeichnet. Aufgrund der Höhe des Gestells sind nur (maximal) zwei Tafeln gleichzeitig einsehbar. Die Lehrperson schreibt in der Vorlesung jede Tafel genau einmal voll. In welcher Reihenfolge (alle Möglichkeiten!) muss sie die Tafeln einsetzen, wenn beim Beschreiben einer Tafel stets die zuletzt beschriebene Tafel sichtbar sein soll.


Lösung

Die Tafeln und sind nicht gleichzeitig sichtbar, da (mindestens) eine davon durch verdeckt wird. Dagegen sind sowohl und ( wird hinter geschoben) als auch und gleichzeitig einsehbar. Eine Beschreibungsreihenfolge erfüllt also genau dann die angegebene Bedingung, wenn und nicht direkt hintereinander beschrieben werden. Dies wird genau dann erreicht, wenn als zweite Tafel beschrieben wird. Erlaubt sind also die beiden Reihenfolgen und .


Aufgabe (2 Punkte)

Die Biologin Hertha McGillen ist eine renommierte Forscherin über fliegende Fische. Zur Beobachtung hat ihr Team eine Drohne entwickelt, die sowohl oberhalb als auch unterhalb des Meeresspiegels fliegen kann. Bei einem Einsatz startet die Drohne vom Ausgangspunkt auf dem Schiff, der vier Meter oberhalb des Meeresspiegels liegt. Sie steigt zunächst drei Meter in die Höhe, fliegt dann elf Meter nach unten, dann einen Meter nach oben, dann zwei Meter nach unten, dann sechs Meter nach oben, dann fünf Meter nach unten, dann drei Meter nach oben, dann vier Meter nach unten, dann reißt der Funkkontakt ab.

Wie hoch bzw. tief ist die Drohne insgesamt von ihrem Ausgangspunkt aus geflogen und auf welcher Höhe unter- oder oberhalb des Meeresspiegels brach der Kontakt ab? Wie oft ist die Drohne ein- und wie oft aufgetaucht?


Lösung

Die Höhenpositionen der Drohne sind bezogen auf den Meeresspiegel der Reihe nach

Der Kontakt brach also Meter unterhalb des Meeresspiegels ab und insgesamt ist die Drohne Meter tief geflogen. Sie ist zweimal eingetaucht und einmal aufgetaucht.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige mittels vollständiger Induktion für die Formel


Lösung

Bei besteht die Summe links aus dem einzigen Summanden , die Summe ist also . Da ungerade ist, steht rechts , der Induktionsanfang ist also gesichert.

Sei die Aussage nun für bewiesen, und es ist die Gültigkeit der Aussage für zu zeigen. Die Summe links ist

Bei gerade (also ungerade) ist dies nach Induktionsvoraussetzung gleich

was mit der rechten Seite übereinstimmt. Bei ungerade (also gerade) ist die Summe nach Induktionsvoraussetzung gleich

was ebenfalls mit der rechten Seite übereinstimmt.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten die rekursive Beziehung

erfüllen.


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine rationale Zahl. Zeige, dass genau dann ganzzahlig ist, wenn

gilt.


Lösung

Wenn ganzzahlig ist, so ist auch das Negative davon ganzzahlig und die Gaußklammer gibt einfach die Zahl aus. Wenn umgekehrt nicht ganzzahlig ist, so ist

mit einer ganzen Zahl und

Dann ist

da echt zwischen und liegt.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper.


Lösung

Wir führen Induktion über . Bei steht beidseitig , so dass die Aussage gilt. Sei nun die Aussage für bereits bewiesen. Dann ist

da Quadrate (und positive Vielfache davon) in einem angeordneten Körper nichtnegativ sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und verschiedene normierte Polynome vom Grad über einem Körper . Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?


Lösung

Ein Schnittpunkt liegt vor, wenn

ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn eine Nullstelle von ist. Da beide Polynome normiert sind und den gleichen Grad besitzen, hebt sich bei der Subtraktion der Leitterm weg und es ergibt sich ein Polynom vom Grad maximal . Da ist, ist die Differenz nicht das Nullpolynom. Nach Korollar 6.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) besitzt somit maximal Nullstellen, und daher gibt es maximal Schnittpunkte.


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Zwischenwertsatz.


Lösung

Wir beschränken uns auf die Situation und zeigen die Existenz von einem solchen mit Hilfe einer Intervallhalbierung. Dazu setzt man und , betrachtet die Intervallmitte und berechnet

Bei setzt man

und bei setzt man

In jedem Fall hat das neue Intervall die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer Intervallschachtelung. Sei die durch diese Intervallschachtelung definierte reelle Zahl. Für die unteren Intervallgrenzen gilt und das überträgt sich wegen der Stetigkeit nach dem Folgenkriterium auf den Grenzwert , also . Für die oberen Intervallgrenzen gilt und das überträgt sich ebenfalls auf , also .  Also ist .


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion


Lösung

Die Ableitung der Funktion ist

Man sieht direkt, dass eine Nullstelle der Ableitung ist, und es ergibt sich die Faktorzerlegung

weshalb bei eine weitere Nullstelle vorliegt. Die zweite Ableitung ist

Diese hat bei einen positiven Wert, so dass dort ein lokales isoliertes Minimum mit dem Wert

vorliegt. Wegen

liegt in ein isoliertes lokales Maximum mit dem Wert

An den Intervallgrenzen hat die Funktion die Werte

bzw.

Daher liegt am linken Rand das absolute Minimum und am rechten Rand das absolute Maximum vor.


Aufgabe (9 (1+2+3+3) Punkte)

In der folgenden Aufgabe sollen Personen in der Ebene so platziert werden, dass je zwei Personen zueinander einen Abstand von zumindest haben (alle Angaben beziehen sich auf Meter). Die Personen bzw. ihre Platzierung sind dabei durch einen Punkt gegeben.

  1. Zeige, dass man auf einem quadratischen -Platz Leute platzieren kann (Randpunkte sind erlaubt).
  2. Was ist falsch am folgenden Argument: „Auf einem -Platz kann man höchstens Leute platzieren. Zu jeder Person gehört nämlich ein Umkreis mit Radius , und zu verschiedenen Personen sind diese Kreise zueinander disjunkt. Zu jeder Person gehört also eine Fläche mit Flächeninhalt . Diese Flächen liegen ganz in der Gesamtfläche der Größe . Wegen

    ist dies nicht möglich.“

  3. Zeige, dass man auf einem -Platz definitiv nicht Leute platzieren kann.
  4. Zeige, dass man auf einem -Platz Leute platzieren kann.


Lösung

  1. Wir platzieren die Leute auf den Positionen

    das sind Leute.

  2. Für Leute, die am Rand platziert sind, muss nicht der volle Umkreis innerhalb der vorgegebenen Fläche liegen.
  3. Zu jeder Person gehört ein Umkreis mit Radius , und zu verschiedenen Personen sind diese Kreise zueinander disjunkt. Zu jeder Person gehört also eine Fläche mit Flächeninhalt . Diese Flächen liegen zwar nicht ganz in der Gesamtfläche der Größe , da der Mittelpunkt aber zu der quadratischen -Fläche gehört, gibt es an den Rändern höchstens einen Überstand von . D.h. dass diese Kreise ganz in der umgebenden -Fläche liegt. Wegen

    ist dies für Personen nicht möglich.

  4. Wir platzieren die Leute auf den Punkten eines Rasters, das aus gleichseitigen Dreiecken mit Seitenlänge aufgebaut ist. Die Höhe eines solchen gleichseitigen Dreieckes ist nach dem Satz von Pythagoras gleich . Wegen

    ist

    daher kann man auf dem etwas größeren Rechteck nun sieben Zeilen platzieren (die erste Zeile sei der untere Rand des Rechtecks). Auf den Zeilen haben abwechselnd bzw. Leute Platz, dies ergibt Leute.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch den Graphen zu und der Geraden durch den Nullpunkt und den Punkt eingeschlossen wird.


Lösung

Eine Stammfunktion der Wurzelfunktion ist . Somit ist der Flächeninhalt unterhalb des Graphen der Wurzelfunktion, erstreckt von bis , gleich

Davon muss man den Flächeninhalt des durch die Gerade und die angegebenen Punkte abziehen, dieser ist . Der gesuchte Flächeninhalt ist also


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt


Lösung

Man multipliziert die erste Zeile links mit der ersten Spalte rechts und erhält

Die zweite Zeile links multipliziert mit der ersten Spalte rechts ergibt

Die erste Zeile links multipliziert mit der zweiten Spalte rechts ergibt

Die zweite Zeile links multipliziert mit der zweiten Spalte rechts ergibt

Das Ergebnis ist also die Matrix


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten -Vektorraum .


Lösung

Es sei , , ein Erzeugendensystem von mit einer endlichen Indexmenge . Wir wollen mit der Charakterisierung aus Satz 23.12 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))  (2) argumentieren. Falls die Familie schon minimal ist, so liegt eine Basis vor. Andernfalls gibt es ein derart, dass die um reduzierte Familie, also , , ebenfalls ein Erzeugendensystem ist. In diesem Fall kann man mit der kleineren Indexmenge weiterargumentieren.
Mit diesem Verfahren gelangt man letztlich zu einer Teilmenge derart, dass , , ein minimales Erzeugendensystem, also eine Basis ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, welche der folgenden elementargeormetrischen Abbildungen linear, welche diagonalisierbar und welche trigonalisierbar sind.

  1. Die Achsenspiegelung durch die durch gegebene Achse.
  2. Die Verschiebung um den Vektor .
  3. Die Drehung um Grad gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung.
  4. Die Punktspiegelung mit dem Punkt als Zentrum.


Lösung

  1. Da die Gerade durch den Nullpunkt geht, ist diese Achsenspiegelung linear. Die Achse ist der Eigenraum zum Eigenwert , die dazu senkrechte Gerade durch den Nullpunkt ist der Eigenraum zum Eigenwert , mit zwei Eigenwerten ist die Abbildung diagonalisierbar und insbesondere trigonalisierbar.
  2. Bei dieser Verschiebung wird der Nullpunkt bewegt, somit ist die Abbildung nicht linear.
  3. Eine Drehung um den Ursprung ist stets linear. Da um Grad gedreht wird, wird keine Gerade auf sich selbst abgebildet. Somit gibt es keine Eigenwerte und die Abbildung ist nicht trigonalisierbar und schon gar nicht diagonalisierbar.
  4. Da der Nullpunkt bewegt wird, ist die Abbildung nicht linear.