Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/52/Klausur mit Lösungen/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 2 | 4 | 2 | 5 | 2 | 3 | 2 | 5 | 4 | 5 | 7 | 1 | 5 | 1 | 3 | 5 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
- Die Funktion
heißt streng wachsend, wenn
- Unter der Reihe versteht man die Folge der Partialsummen
- Der natürliche Logarithmus
ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.
- Man sagt, dass stetig differenzierbar ist, wenn differenzierbar ist und die Ableitung stetig ist.
- Das Oberintegral ist definiert als das Infimum von sämtlichen Treppenintegralen zu oberen Treppenfunktionen von .
- Die Abbildung werde bezüglich einer Basis durch die
Matrix
beschrieben. Dann nennt man
die Determinante der linearen Abbildung .
Aufgabe (3 Punkte)
- Die komplexen Zahlen bilden einen Körper.
- Seien
Teilmengen und seien
und
Funktionen mit . Es sei in differenzierbar und sei in differenzierbar. Dann ist auch die Hintereinanderschaltung
in differenzierbar mit der Ableitung
- Die Menge aller Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems
über einem Körper ist ein Untervektorraum des
(mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
Aufgabe (2 Punkte)
Ein Flugzeug soll von Osnabrück aus zu einem Zielort auf der Südhalbkugel fliegen. Kann es kürzer sein, in Richtung Norden zu fliegen?
Lösung Flugzeug/Osnabrück/Südhalbkugel/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (2 (1+1) Punkte)
Wir betrachten auf der Menge
die durch die Tabelle
gegebene Verknüpfung .
- Berechne
- Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element?
- Es ist
- Es gibt kein neutrales Element, da dann eine Zeile eine Wiederholung der Leitzeile sein müsste, was nicht der Fall ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei eine -elementige Menge. Zeige durch Induktion über , dass die Anzahl der -elementigen Teilmengen von gleich dem Binomialkoeffizienten
ist.
Es sei fixiert. Bei gibt es nur die leere Menge, was mit dem Binomialkoeffizienten
übereinstimmt. Es sei die Aussage also für ein zwischen und schon bewiesen. Jeder -elementigen Teilmenge von und jedem der Elemente aus kann man die -elementige Menge
zuordnen. Dabei wird jede -elementige Menge erreicht, und zwar -fach, da man ja aus jedes der Elemente herausnehmen kann. Zwischen der Anzahl der -elementigen Teilmengen von und der Anzahl der -elementigen Teilmengen von besteht also der Zusammenhang
Unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung ist daher
Aufgabe (2 Punkte)
Schreibe die Menge
als eine Vereinigung von möglichst wenigen disjunkten Intervallen.
Der rechte Klammerausdruck ist leer und der linke Klammerausdruck ist
Somit ist die Gesamtmenge gleich
Aufgabe (5 Punkte)
Vergleiche
Wir fragen uns, ob
ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu
Dies ist durch Subtraktion mit äquivalent zu
Durch Quadrieren ist dies äquivalent zu
Dies ist äquivalent zu
Quadrieren liefert
was stimmt. Also ist
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei eine komplexe Zahl mit . Zeige, dass
eine Quadratwurzel von ist.
Es ist
Aufgabe (3 (1+2) Punkte)
- Berechne das Produkt
im Polynomring .
- Berechne das Produkt
in auf zwei verschiedene Arten.
- Es ist
- Es ist einerseits direkt
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion
Wir schreiben
Daher ist die durch gegebene Gerade eine Spiegelungsachse für den Graphen.
Aufgabe (5 Punkte)
Es seien und drei reelle Folgen. Es gelte und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Zeige, dass dann auch gegen konvergiert.
Es ist
Bei ist somit
und bei ist
Daher ist stets
Für ein vorgegebenes gibt es aufgrund der Konvergenz der beiden äußeren Folgen gegen natürliche Zahlen und derart, dass
für und
für gilt. Für gilt daher
Dies bedeutet die Konvergenz von gegen .
Aufgabe (4 Punkte)
Man gebe ein quadratisches Polynom an, dessen Graph die Diagonale und die Gegendiagonale bei jeweils tangential schneidet.
Das gesuchte Polynom sei
Dann ist
Die Bedingung, dass der Graph zu die Diagonale und die Gegendiagonale bei schneidet, bedeutet
Die Steigung der Diagonale ist . Da der Schnitt tangential sein soll, bedeutet dies
Die Steigung der Gegendiagonale ist . Dies bedeutet somit
Die Summe der beiden letzten Gleichungen ergibt direkt
und somit
Daraus ergibt sich mit der ersten (oder der zweiten) Gleichung
Das gesuchte Polynom ist also
Aufgabe (5 Punkte)
Beweise den Satz über die Ableitung in einem Extremum.
Wir können annehmen, dass ein lokales Maximum in besitzt. Es gibt also ein mit für alle . Es sei eine Folge mit , die gegen („von unten“) konvergiere. Dann ist und und somit ist der Differenzenquotient
was sich dann nach Lemma 7.12 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) auf den Limes, also den Differentialquotienten, überträgt. Also ist . Für eine Folge mit gilt andererseits
Daher ist auch und somit ist insgesamt .
Aufgabe (7 (2+2+3) Punkte)
Die sogenannten Bernoulli-Polynome für sind Polynome vom Grad , die rekursiv definiert werden: ist das konstante Polynom mit dem Wert . Das Polynom berechnet sich aus dem Polynom über die beiden Bedingungen: ist eine Stammfunktion von und es ist
- Berechne .
- Berechne .
- Berechne .
- Die Stammfunktionen von
sind mit einer Konstanten . Die Bedingung
führt auf
und daher
- Die Stammfunktionen von
sind mit einer Konstanten . Die Bedingung
und daher
- Die Stammfunktionen von
sind mit einer Konstanten . Die Bedingung
und daher
Aufgabe (1 Punkt)
Bestimme (ohne Begründung), welche der folgenden skizzierten geometrischen Objekte im als Lösungsmenge eines linearen (inhomogenen) Gleichungssystems auftreten können (man denke sich die Objekte ins Unendliche fortgesetzt).
2 (Gerade) und 5 (Punkt) können als Lösungsmenge eines Gleichungssystems auftreten, die anderen nicht.
Aufgabe (5 (1+1+1+1+1) Punkte)
Es sei eine Basis eines dreidimensionalen - Vektorraumes .
a) Zeige, dass ebenfalls eine Basis von ist.
b) Bestimme die Übergangsmatrix .
c) Bestimme die Übergangsmatrix .
d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt.
e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt.
a) Es ist
und
Daher ist ebenfalls ein Erzeugendensystem von und somit eine Basis, da die Dimension ist.
b) In den Spalten von müssen die Koordinaten der Vektoren bezüglich der Basis stehen, also ist
c) Nach a) ist
d) Die Koordinaten ergeben sich aus
e) Die Koordinaten ergeben sich aus
Aufgabe (1 Punkt)
Bestimme den Rang der Matrix
zu .
Die zweite Zeile ergibt sich aus der ersten Zeile durch Multiplikation mit , die dritte Zeile ergibt sich aus der ersten Zeile durch Multiplikation mit . Somit ist der Rang maximal . Wegen der links oben ist der Rang genau .
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme die inverse Matrix zu
Aufgabe (5 (4+1) Punkte)
Es seien quadratische Matrizen über einem Körper , die zueinander in der Beziehung
mit einer invertierbaren Matrix stehen. Zeige, dass die Eigenwerte von mit den Eigenwerten zu übereinstimmen, und zwar
- direkt,
- mit Hilfe des charakteristischen Polynoms.
- Es sei ein Eigenwert zu . Dann gibt es ein von verschiedenes
Koordinatentupel mit
Es sei
was ebenfalls nicht ist. Dann ist
d.h. ist auch ein Eigenwert von . Wegen
ist die Situation symmetrisch, daher sind Eigenwerte von auch Eigenwerte von .
- Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes besitzen und das gleiche charakteristische Polynom. Da die Eigenwerte genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, stimmen die Eigenwerte überein.