Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/53/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 4 | 2 | 3 | 2 | 4 | 2 | 3 | 3 | 3 | 5 | 4 | 3 | 2 | 5 | 3 | 4 | 1 | 3 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine wachsende Funktion .
- Die geometrische Reihe für .
- Ein lokales Maximum einer Funktion
( eine Teilmenge) in einem Punkt .
- Das Taylor-Polynom vom Grad zu einer -mal differenzierbaren Funktion
in einem Punkt .
- Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren in einem -Vektorraum .
- Die Determinante einer - Matrix .
- Die Funktion
heißt wachsend, wenn
- Die
Reihe
heißt die geometrische Reihe in .
- Man sagt, dass in einem Punkt
ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein
derart gibt, dass für alle
mit
die Abschätzung
gilt.
- Das Polynom
heißt das Taylor-Polynom vom Grad zu in .
- Die Vektoren heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung
nur bei für alle möglich ist.
- Zu sei diejenige -Matrix, die entsteht, wenn man in die erste Spalte und die -te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von durch
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die stetige Umkehrfunktion.
- Die Taylor-Abschätzung.
- Der Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten - Vektorraum .
- Es sei ein Intervall und
eine stetige,streng wachsende Funktion. Dann ist das Bild ebenfalls ein Intervall, und die Umkehrabbildung
- Es sei ein beschränktes abgeschlossenes Intervall,
eine -mal stetig differenzierbare Funktion, ein innerer Punkt und . Dann gilt zwischen und dem -ten Taylor-Polynom die Fehlerabschätzung
- Unter den gegebenen Bedingungen besitzt eine endliche Basis.
Aufgabe (2 Punkte)
Die Absetzmulde ist voll mit Schutt und soll durch eine leere Mulde ersetzt werden, die das Absetzkipperfahrzeug bringt, das auch die volle Mulde mitnehmen soll. Auf dem Fahrzeug und auf dem Garagenvorplatz, wo die volle Mulde steht, ist nur Platz für eine Mulde. Dafür kann die Straße als Zwischenablage genutzt werden. Wie viele Ladevorgänge sind vor Ort nötig, bis der Gesamtaustausch vollständig abgeschlossen ist?
- Leere Mulde auf dem Straßenplatz abladen.
- Volle Mulde auf Fahrzeug hochladen.
- Volle Mulde auf dem Straßenplatz abladen.
- Leere Mulde auf Fahrzeug hochladen.
- Leere Mulde auf den Garagenvorplatz abladen.
- Volle Mulde auf Fahrzeug hochladen.
Es sind also sechs Ladevorgänge nötig.
Aufgabe (4 Punkte)
Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das nacheinander die Fibonacci-Zahlen (also ) ausdruckt.
- Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die natürliche Zahlen enthalten können.
- Er kann einen Speicherinhalt in einen Speicher schreiben.
- Er kann die Summe von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen Speicher schreiben.
- Er kann Speicherinhalte ausdrucken und vorgegebene Texte ausdrucken.
- Es gibt einen Haltebefehl.
Die Anfangskonfiguration sei
Das Programm soll unendlich lange laufen und nacheinander „Die“ „-te Fibonacci-Zahl ist “ ausdrucken.
- Schreibe den Speicherinhalt des ersten Speichers in den zweiten Speicher.
- Schreibe den Speicherinhalt des ersten Speichers in den vierten Speicher.
- Drucke „Die“.
- Drucke den Inhalt des zweiten Speichers.
- Drucke „te Fibonacci-Zahl ist“.
- Drucke den Inhalt des vierten Speichers.
- Addiere den Inhalt des ersten Speichers zum Inhalt des zweiten Speichers und schreibe das Ergebnis in den zweiten Speicher.
- Addiere den dritten Speicherinhalt mit dem vierten Speicherinhalt und schreibe das Ergebnis in den fünften Speicher.
- Schreibe den Inhalt des vierten Speichers in den dritten Speicher.
- Schreibe den Inhalt des fünften Speichers in den vierten Speicher.
- Gehe zu Befehl 3.
Aufgabe (2 (1+1) Punkte)
Ist die Abbildung
- injektiv?
- surjektiv?
- Wegen
ist die Abbildung nicht injektiv.
- Da alle Quadrate sind, werden negative Zahlen durch die Abbildung nicht erreicht. Die Abbildung ist also nicht surjektiv.
Aufgabe (3 Punkte)
Wenn man die Gesamtgoldmenge der Welt auf alle Menschen aufteilt, so erhält jeder Mensch einen Goldwürfel, dessen Seitenlänge Zentimeter beträgt. Gold wiegt Gramm pro Kubikzentimeter. Der Wert von einem Kilogramm Gold beträgt ca. Euro im Jahr . Wie viel Euro besitzt jeder Mensch in Gold?
Es ist
das ist die Goldmenge pro Person in Kubikzentimetern. In Gramm ist dies
Ein Gramm ist Euro wert, also besitzt jede Person
Euro in Gold.
Aufgabe (2 Punkte)
Lucy Sonnenschein befindet sich in Position (die Koordinaten seien mit und bezeichnet) und schaut in die positive -Richtung. Alle folgenden Angaben beziehen sich auf ihre jeweilige Position und ihre Ausrichtung, der Uhrzeigersinn bezieht sich auf die Draufsicht. Lucy führt hintereinander folgende Bewegungen aus. Sie macht einen Schritt nach rechts, dann zwei Schritte nach hinten, sie dreht sich um Grad, macht drei Schritte nach links, macht eine Vierteldrehung im Uhrzeigersinn, macht vier Schritte nach rechts und zwei Schritte nach hinten, dreht sich um Grad und macht einen Schritt nach links.
Wo befindet sie sich nach der Gesamtbewegung und in welche Richtung schaut sie?
Sie befindet sich in Position und schaut in die positive -Richtung.
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme die Lösungsintervalle für die Ungleichung
in einem angeordneten Körper. Skizziere die Graphen der Funktionen und .
Entscheidend sind die beiden Grenzen und mit
Wenn
ist, so muss man für beide Beträge das Negative nehmen. Dies führt zur Bedingung
und damit zu
und zu
also
Das Intervall gehört also zur Lösungsmenge. Es sei nun
Dann ist der linke Betrag negativ und der rechte positiv zu nehmen. Dies führt zur Bedingung
und damit zu
und zu
also
Es ist
und somit gehört das Intervall zur Lösungsmenge. Es sei nun
Dann sind beide Beträge positiv zu nehmen. Die Bedingung
führt auf
was in diesem Fall nicht erfüllbar ist. Die gesamte Lösungsmenge ist also das Intervall
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei
Bestimme .
Es ist
Aufgabe (3 Punkte)
Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem
führt auf
also
In eingesetzt ergibt sich
Das gesuchte Polynom ist also
Aufgabe (3 Punkte)
Vergleiche
Wir fragen uns, ob
ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu
Dies ist durch Subtraktion mit äquivalent zu
bzw. zu
Mit erneutem Quadrieren ist dies äquivalent zu
was stimmt. Also ist
Aufgabe (3 Punkte)
Es seien bzw. die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei vorgegeben. Wegen der Konvergenz der ersten Folge gibt es zu
ein derart, dass für alle die Abschätzung
gilt. Ebenso gibt es wegen der Konvergenz der zweiten Folge zu ein derart, dass für alle die Abschätzung
gilt. Sei
Dann gilt für alle (unter Verwendung der Dreiecksungleichung) die Abschätzung
Aufgabe (5 Punkte)
Man gebe explizit ein mit der Eigenschaft an, dass für alle die Abschätzung
gilt.
Mit dem allgemeinen binomischen Lehrsatz ist
Dies soll werden, was man dadurch erreichen kann, dass der Klammerausdruck rechts wird. Dieser Ausdruck ist
Die Bedingung
wird zu
was jedenfalls bei
erfüllt ist. Man kann also beispielsweise
nehmen.
Aufgabe (4 Punkte)
Beweise den Satz von Rolle.
Wenn konstant ist, so ist die Aussage richtig. Es sei also nicht konstant. Dann gibt es ein mit . Sagen wir, dass größer als dieser Wert ist. Aufgrund von Satz 11.13 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) gibt es ein , wo die Funktion ihr Maximum annimmt, und dieser Punkt kann kein Randpunkt sein. Für dieses ist dann nach Satz 15.3 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)).
Aufgabe (3 (2+1) Punkte)
Wir betrachten das Polynom
- Zeige, dass bijektiv ist.
- Bestimme die Ableitung der Umkehrfunktion im Nullpunkt.
- Es ist
Dies ist überall positiv und damit ist nach Satz 15.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) streng wachsend und damit injektiv. Da ein Polynom ungeraden Grades voliegt ist aufgrund des Zwischenwertsatzes auch surjektiv.
- Nach
Satz 14.9 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
ist
Somit ist insbesondere
Aufgabe (2 Punkte)
Finde den oder die Fehler im folgenden „Beweis“ für die Aussage, dass man zu zwei stetigen Funktionen
eine Stammfunktion zu finden kann, indem man (geeignete) Stammfunktionen zu und zu miteinander multipliziert.
„Es sei eine Stammfunktion zu und eine Stammfunktion zu , die wir beide positiv wählen, was wegen der Positivität von und möglich ist. Für positive Zahlen ist der natürliche Logarithmus definiert, sodass man diese Funktionen mit dem Logarithmus verknüpfen kann. Dann ist eine Stammfunktion von und eine Stammfunktion von . Nach der Additionsregel für Stammfunktionen ist somit eine Stammfunktion von . Wir wenden auf diese Situation die Umkehrfunktion des Logarithmus, also die Exponentialfunktion an, und erhalten mit Hilfe der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion, dass
eine Stammfunktion von
ist.“
Es gibt zwei Fehler: Wenn eine Stammfunktion zu ist, so muss keine Stammfunktion zu sein (dies wird für und für verwendet), und wenn eine Stammfunktion zu ist, so muss keine Stammfunktion zu sein (im falschen Beweis ist ).
Aufgabe (5 Punkte)
Wir betrachten die drei Ebenen im , die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden.
Bestimme sämtliche Punkte .
Wir betrachten das lineare Gleichungssystem
Die Lösungsmenge dieses linearen Gleichungssystems ist . Es ist gleich
und gleich
Subtraktion dieser beiden Gleichungen ergibt
also
Somit ist
und
Es ist also
Der Durchschnitt wird durch das lineare Gleichungssystem
beschrieben. Die Lösungsmenge ist
Für
ergibt sich dabei der einzige Punkt aus . Somit ist insgesamt
Aufgabe (3 Punkte)
Man gebe ein Beispiel für einen Körper , eine kommutative Gruppe und eine Abbildung
derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer
erfüllt.
Es sei der Körper der reellen Zahlen. Wir betrachten die „Skalarmultiplikation“
die jedes Paar auf abbildet, also
Dann ist (für )
und somit ist diese Skalarmultiplikation nicht distributiv in den Skalaren. Alle anderen Vektorraumaxiome sind hingegen erfüllt. Es ist ja
und
Ferner ist natürlich auch
Aufgabe (4 Punkte)
Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.
Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben
keinen weiteren Vektor
mit
geben. Also ist
.
Es sei umgekehrt
und seien
gegeben mit
.
Dann ist wegen der Linearität
Daher ist
und damit
.
Aufgabe (1 Punkt)
Berechne die Determinante der Matrix
Es ist
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme, welche der folgenden elementargeormetrischen Abbildungen linear, welche trigonalisierbar und welche diagonalisierbar sind.
- Die Achsenspiegelung durch die durch gegebene Achse.
- Die Scherung, die durch die Matrix gegeben ist.
- Die Punktspiegelung mit dem Ursprung als Zentrum.
- Die Streckung mit dem Faktor .
- Da die Gerade nicht durch den Nullpunkt geht, wird dieser bei dieser Achsenspiegelung bewegt, daher ist die Abbildung nicht linear.
- Eine solche Scherung ist linear und trigonalisierbar, da sie bereits in oberer Dreiecksform vorliegt. Sie ist nicht diagonalisierbar, da der einzige Eigenwert die geometrische Vielfachheit besitzt.
- Die Punktspiegelung am Ursprung ist die Abbildung , sie ist also linear und diagonalisierbar und insbesondere trigonalisierbar.
- Jede Streckung ist linear und diagonalisierbar.