Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/55/Klausur mit Lösungen



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Punkte 3 3 1 2 3 4 5 3 2 2 2 4 2 3 5 3 4 5 4 1 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine surjektive Abbildung
  2. Die bestimmte Divergenz einer reellen Folge gegen .
  3. Der Tangens.
  4. Die Taylor-Reihe im Punkt zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion .
  5. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion
  6. Die Matrizenmultiplikation.


Lösung

  1. Die Abbildung heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit gibt.
  2. Die Folge in heißt bestimmt divergent gegen , wenn es zu jedem ein mit

    gibt.

  3. Die Funktion

    heißt Tangens.

  4. Die Taylor-Reihe zu im Entwicklungspunkt ist
  5. Die Funktion heißt Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von auf jedes kompakte Intervall Riemann-integrierbar ist.
  6. Es sei ein Körper und es sei eine -Matrix und eine -Matrix über . Dann ist das Matrixprodukt

    diejenige -Matrix, deren Einträge durch

    gegeben sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Quotientenkriterium für eine reelle Reihe .
  2. Die Beziehung zwischen differenzierbar und stetig.
  3. Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.


Lösung

  1. Es gebe eine reelle Zahl mit und ein mit
    für alle . Dann konvergiert die Reihe absolut.
  2. Sei eine Teilmenge, ein Punkt und
    eine Funktion, die im Punkt differenzierbar sei. Dann ist stetig in .
  3. Es sei ein Körper und ein -Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann besitzen je zwei Basen von die gleiche Anzahl von Basisvektoren.


Aufgabe (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

w w w
w f w
f w w
f f f


Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Begründe das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.


Lösung

Wegen der ersten Voraussetzung gilt . Wegen der zweiten Voraussetzung gilt auch . Deshalb gilt auch . Deshalb gilt auch . Da man so beliebig weitergehen kann und dabei jede natürliche Zahl erhält, gilt die Aussage für jede natürliche Zahl .


Aufgabe (3 Punkte)

Heidi Gonzales bringt eine Schokolade der Größe Teilstücke mit zum Treffen ihrer Abgabegruppen, wo Andreas, Peter und Sabine schon hungrig warten. Deshalb soll die Schokolade so schnell wie möglich in die Teilstücke zerlegt werden. Ein Teilungsvorgang ist die Teilung der Schokolade oder einer in einem Zwischenschritt schon entstandenen Teilschokolade längs einer Quer- oder einer Längsrille. Jede Person kann an einer Teilschokolade eine Teilung durchführen. Ein Teilungsvorgang dauert eine Sekunde. Wie lange dauert es im schnellsten Fall, bis die Schokolade in die Einzelstücke vollständig zerlegt ist?


Lösung

Am Anfang gibt es nur die eine Schokolade, es kann also in der ersten Sekunde nur ein Teilungsvorgang stattfinden. Danach gibt es zwei Stücke und es können auch zwei Teilungsvorgänge stattfinden. Danach gibt es vier Stücke und ab da können alle vier Personen sich am Teilungsprozess beteiligen. Da man insgesamt Teilungsprozesse braucht, braucht man wegen

zumindest Sekunden. Eine solche Teilungsstrategie ist auch durchführbar, da man beispielsweise nach den ersten beiden Schritten vier Teilschokoladen haben kann, die dann jeder in Sekunden jeweils aufteilt.


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten das kommutative Diagramm

von Mengen und Abbildungen, d.h. es gilt

Es seien und bijektiv.

  1. Zeige, dass genau dann injektiv ist, wenn injektiv ist.
  2. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn surjektiv ist.


Lösung

  1. Sei injektiv, es ist zu zeigen, dass auch injektiv ist. Aufgrund der Kommutativität des Diagramms und der Bijektivität von ist

    Somit ist als Verknüpfung von drei injektiven Abbildungen wieder injektiv. Wenn man im Diagramm und durch ihre Umkehrabbildungen ersetzt, so sieht man, dass auch die andere Implikation gilt.

  2. Sei surjektiv, es ist zu zeigen, dass auch surjektiv ist. Aufgrund der Kommutativität des Diagramms und der Bijektivität von ist

    Somit ist als Verknüpfung von drei surjektiven Abbildungen wieder surjektiv. Wenn man im Diagramm und durch ihre Umkehrabbildungen ersetzt, so sieht man, dass auch die andere Implikation gilt.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass für die Abschätzung

gilt.


Lösung

Es ist

und

Hier stehen Summanden, wobei der allerletzte gleich ist. Wir vergleichen die Summanden mit . Die ersten beiden Summanden sind gleich , für ist

Bei

sind somit insbesondere die letzten beiden Summanden zusammengenommen kleinergleich und die Summe rechts ist somit .


Aufgabe (3 Punkte)

Man bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms

und man gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in und in an.


Lösung

Zunächst ist eine Nullstelle und daher ist ein Linearfaktor. Division mit Rest ergibt

Wir müssen also noch die komplexen Nullstellen von bestimmen. Dazu ist

Damit ist

und somit sind die weiteren Nullstellen


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion


Lösung

Es ist

Da der quadratische Term links stets ist, ist der minimale Wert der Funktion.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine nichtnegative reelle Zahl. Für jedes , gelte . Zeige .


Lösung

Wir nehmen an. Dann ist . Dann ist auch und die Voraussetzung, angewandt auf , ergibt , woraus sich durch beidseitige Subtraktion von der Widerspruch ergibt.


Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten die Folgen (für )

und

Konvergiert die Folge

in ? Falls ja, was ist der Grenzwert?


Lösung

Es ist

die Folge konvergiert also gegen .


Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

Karl möchte mit seinem programmierbaren Taschenrechner den Wert der Reihe annähernd berechnen. Die Anzeige des Rechners besitzt Nachkommastellen. Der Rechner schafft pro Sekunde eine Addition (also ein Reihenglied wird zur bisherigen Summe draufaddiert) der Reihe und zeigt das neue Ergebnis direkt an. Karl hat richtig programmiert und denkt sich folgende Strategie aus: „Wenn die Anzeige eine ganze Stunde lang immer das gleiche anzeigt, so wird das wohl ziemlich nah am Ergebnis sein, so dass ich das als eine gute Annäherung nehmen kann. Der Rechner soll dann aufhören“.

  1. Was ist ungefähr das letzte Reihenglied, das aufaddiert wird?
  2. Was ist von der Strategie zu halten?


Lösung

  1. Die .te Nachkommastelle bezieht sich auf . Die Bedingung, dass sich innerhalb einer Stunde, also bei Aufsummierungen, an dieser Stelle nichts ändert, führt zu der Bedingung

    für , und zwar suchen wir das kleinste mit dieser Eigenschaft. In dieser Größenordnung ist der Unterschied zwischen und vernachlässigbar und wir können die Bedingung als Gleichung ansetzen. Dies führt auf die Bedingung

    bzw.

    also Milliarden. Das letzte aufaddierte Glied ist also ungefähr .

  2. Es handelt sich um die divergente harmonische Reihe, die Strategie ist also sinnlos.


Aufgabe (2 Punkte)

Drücke

mit einer einzigen Wurzel aus.


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Kreis mit Mittelpunkt und Radius und ein gegeben. Für welches verläuft die Tangente zu an den oberen Kreisbogen durch den Punkt ?


Lösung

Der obere Kreisbogen wird (für ) durch die Funktion

beschrieben. Die Ableitung davon ist

Die Steigung der Geraden durch und wird durch
beschrieben. Dies führt auf die Bedingung

bzw. auf

Daher ist


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Quotientenregel für differenzierbare Funktionen.


Lösung

Wir betrachten zuerst den Fall und behaupten

Für einen Punkt ist

Da nach Korollar 14.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) stetig in ist, konvergiert für der linke Faktor gegen und wegen der Differenzierbarkeit von in konvergiert der rechte Faktor gegen . Somit ist mit der Produktregel


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Betragsfunktion


Lösung

Für ist

und dort ist eine Stammfunktion. Für ist

und dort ist eine Stammfunktion. Diese beiden Funktionen kann man im Nullpunkt durch den Wert stetig zusammensetzen. Es ist dann noch zu zeigen, dass die zusammengesetzte Funktion auch im Nullpunkt differenzierbar ist mit der Ableitung . Dazu betrachten wir den Differenzenquotienten

Der Limes hiervon für ist in der Tat .


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable , indem wir die zweite Gleichung von der ersten Gleichung subtrahieren. Dies führt auf

Nun eliminieren wir die Variable , indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) und ausrechnen. Dies führt auf

Mit ergibt sich

und

Rückwärts gelesen ergibt sich

und


Aufgabe (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Es sei eine Basis eines -Vektorraumes . Es seien von verschiedene Elemente.


a) Zeige, dass ebenfalls eine Basis von ist.

b) Bestimme die Übergangsmatrix .

c) Bestimme die Übergangsmatrix .

d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt.

e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt.


Lösung

a) Es ist

für alle . Daher ist ebenfalls ein Erzeugendensystem von und somit eine Basis, da die Dimension ist und Vektoren vorliegen.

b) In den Spalten von müssen die Koordinaten der Vektoren bezüglich der Basis stehen, also ist

c) Es ist

d) Die Koordinaten ergeben sich aus

e) Die Koordinaten ergeben sich aus


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.


Lösung

Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben keinen weiteren Vektor mit geben. Also ist .
Sei umgekehrt und seien gegeben mit . Dann ist wegen der Linearität

Daher ist und damit .


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Determinante zur Matrix


Lösung

Die Determinante ist , da eine obere Dreiecksmatrix vorliegt, deren Hauptdiagonalelemente sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

trigonalisierbar ist oder nicht.


Lösung

Das charakteristische Polynom der Matrix ist

Der rechte Faktor ist

stets positiv und besitzt daher in keine Nullstelle. Also zerfällt das charakteristische Polynom nicht vollständig in Linearfaktoren und nach [[Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierungen/1/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierungen/1/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))]] ist die Matrix nicht trigonalisierbar.