Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/55/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 3 | 4 | 5 | 3 | 2 | 2 | 2 | 4 | 2 | 4 | 5 | 3 | 4 | 5 | 4 | 1 | 3 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine surjektive Abbildung
- Die bestimmte Divergenz einer reellen Folge gegen .
- Der Tangens.
- Die Taylor-Reihe im Punkt zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion .
- Die
Riemann-Integrierbarkeit
einer Funktion
- Die Matrizenmultiplikation.
- Die Abbildung heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit gibt.
- Die
Folge
in heißt bestimmt divergent gegen , wenn es zu jedem
ein
mit
gibt.
- Die Funktion
heißt Tangens.
- Die Taylor-Reihe zu im Entwicklungspunkt ist
- Die Funktion heißt Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von auf jedes kompakte Intervall Riemann-integrierbar ist.
- Es sei ein
Körper und es sei eine
-
Matrix
und eine -Matrix über . Dann ist das Matrixprodukt
diejenige -Matrix, deren Einträge durch
gegeben sind.
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Das Quotientenkriterium für eine reelle Reihe .
- Die Beziehung zwischen differenzierbar und stetig.
- Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.
- Es gebe eine reelle Zahl mit und ein mit
- Sei
eine Teilmenge,
ein Punkt und
- Es sei ein Körper und ein -Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann besitzen je zwei Basen von die gleiche Anzahl von Basisvektoren.
Aufgabe (2 Punkte)
Begründe das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.
Wegen der ersten Voraussetzung gilt . Wegen der zweiten Voraussetzung gilt auch . Deshalb gilt auch . Deshalb gilt auch . Da man so beliebig weitergehen kann und dabei jede natürliche Zahl erhält, gilt die Aussage für jede natürliche Zahl .
Aufgabe (3 Punkte)
Heidi Gonzales bringt eine Schokolade der Größe Teilstücke mit zum Treffen ihrer Abgabegruppen, wo Andreas, Peter und Sabine schon hungrig warten. Deshalb soll die Schokolade so schnell wie möglich in die Teilstücke zerlegt werden. Ein Teilungsvorgang ist die Teilung der Schokolade oder einer in einem Zwischenschritt schon entstandenen Teilschokolade längs einer Quer- oder einer Längsrille. Jede Person kann an einer Teilschokolade eine Teilung durchführen. Ein Teilungsvorgang dauert eine Sekunde. Wie lange dauert es im schnellsten Fall, bis die Schokolade in die Einzelstücke vollständig zerlegt ist?
Am Anfang gibt es nur die eine Schokolade, es kann also in der ersten Sekunde nur ein Teilungsvorgang stattfinden. Danach gibt es zwei Stücke und es können auch zwei Teilungsvorgänge stattfinden. Danach gibt es vier Stücke und ab da können alle vier Personen sich am Teilungsprozess beteiligen. Da man insgesamt Teilungsprozesse braucht, braucht man wegen
zumindest Sekunden. Eine solche Teilungsstrategie ist auch durchführbar, da man beispielsweise nach den ersten beiden Schritten vier Teilschokoladen haben kann, die dann jeder in Sekunden jeweils aufteilt.
Aufgabe (4 (2+2) Punkte)
Wir betrachten das kommutative Diagramm
von Mengen und Abbildungen, d.h. es gilt
Es seien und bijektiv.
- Es sei injektiv, es ist zu zeigen, dass auch injektiv ist. Aufgrund der Kommutativität des Diagramms und der Bijektivität von ist
Somit ist als Verknüpfung von drei injektiven Abbildungen wieder injektiv. Wenn man im Diagramm und durch ihre Umkehrabbildungen ersetzt, so sieht man, dass auch die andere Implikation gilt.
- Es sei surjektiv, es ist zu zeigen, dass auch surjektiv ist. Aufgrund der Kommutativität des Diagramms und der Bijektivität von ist
Somit ist als Verknüpfung von drei surjektiven Abbildungen wieder surjektiv. Wenn man im Diagramm und durch ihre Umkehrabbildungen ersetzt, so sieht man, dass auch die andere Implikation gilt.
Aufgabe (5 Punkte)
Zeige, dass für die Abschätzung
gilt.
Es ist
und
Hier stehen Summanden, wobei der allerletzte gleich ist. Wir vergleichen die Summanden mit . Die ersten beiden Summanden sind gleich , für ist
Bei
sind somit insbesondere die letzten beiden Summanden zusammengenommen kleinergleich und die Summe rechts ist somit .
Aufgabe (3 Punkte)
Man bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms
und man gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in und in an.
Zunächst ist eine Nullstelle und daher ist ein Linearfaktor. Division mit Rest ergibt
Wir müssen also noch die komplexen Nullstellen von bestimmen. Dazu ist
Damit ist
und somit sind die weiteren Nullstellen
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion
Es ist
Da der quadratische Term links stets ist, ist der minimale Wert der Funktion.
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei eine nichtnegative reelle Zahl. Für jedes , gelte . Zeige .
Wir nehmen an. Dann ist . Dann ist auch und die Voraussetzung, angewandt auf , ergibt , woraus sich durch beidseitige Subtraktion von der Widerspruch ergibt.
Aufgabe (2 Punkte)
Wir betrachten die Folgen (für )
und
Konvergiert die Folge
in ? Falls ja, was ist der Grenzwert?
Es ist
die Folge konvergiert also gegen .
Aufgabe (4 (3+1) Punkte)
Karl möchte mit seinem programmierbaren Taschenrechner den Wert der Reihe annähernd berechnen. Die Anzeige des Rechners besitzt Nachkommastellen. Der Rechner schafft pro Sekunde eine Addition (also ein Reihenglied wird zur bisherigen Summe draufaddiert) der Reihe und zeigt das neue Ergebnis direkt an. Karl hat richtig programmiert und denkt sich folgende Strategie aus: „Wenn die Anzeige eine ganze Stunde lang immer das gleiche anzeigt, so wird das wohl ziemlich nah am Ergebnis sein, sodass ich das als eine gute Annäherung nehmen kann. Der Rechner soll dann aufhören“.
- Was ist ungefähr das letzte Reihenglied, das aufaddiert wird?
- Was ist von der Strategie zu halten?
- Die .te Nachkommastelle bezieht sich auf . Die Bedingung, dass sich innerhalb einer Stunde, also bei Aufsummierungen, an dieser Stelle nichts ändert, führt zu der Bedingung
für , und zwar suchen wir das kleinste mit dieser Eigenschaft. In dieser Größenordnung ist der Unterschied zwischen und vernachlässigbar und wir können die Bedingung als Gleichung ansetzen. Dies führt auf die Bedingung
bzw.
also Milliarden. Das letzte aufaddierte Glied ist also ungefähr .
- Es handelt sich um die divergente harmonische Reihe, die Strategie ist also sinnlos.
Aufgabe (2 Punkte)
Drücke
mit einer einzigen Wurzel aus.
Es ist
Aufgabe (4 (1+2+1) Punkte)
- Bestimme die Tangente der Exponentialfunktion durch den Punkt .
- Bestimme die Gerade durch den Nullpunkt, die tangential an den Graphen der Exponentialfunktion ist.
- Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden aus (1) und (2).
- Die Ableitung der Exponentialfunktion an der Stelle besitzt den Wert und somit ist die Tangente durch gleich .
- Die Geraden durch den Nullpunkt haben die Form . Da es eine Tangente der Exponentialfunktion in einem Punkt sein soll, ist einerseits
und andererseits, da die Steigung der Tangente die Ableitung ist,
Also ist
und daher und die Tangente ist durch gegeben.
- Bie Bedingung
führt auf
und
Der Schnittpunkt ist also
Aufgabe (5 Punkte)
Beweise die Quotientenregel für differenzierbare Funktionen.
Wir betrachten zuerst den Fall und behaupten
Für einen Punkt ist
Da nach Korollar 14.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) stetig in ist, konvergiert für der linke Faktor gegen und wegen der Differenzierbarkeit von in konvergiert der rechte Faktor gegen . Somit ist mit der Produktregel
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme eine Stammfunktion für die Betragsfunktion
Für ist
und dort ist eine Stammfunktion. Für ist
und dort ist eine Stammfunktion. Diese beiden Funktionen kann man im Nullpunkt durch den Wert stetig zusammensetzen. Es ist dann noch zu zeigen, dass die zusammengesetzte Funktion auch im Nullpunkt differenzierbar ist mit der Ableitung . Dazu betrachten wir den Differenzenquotienten
Der Limes hiervon für ist in der Tat .
Aufgabe (4 Punkte)
Löse das inhomogene Gleichungssystem
Wir eliminieren zuerst die Variable , indem wir die zweite Gleichung von der ersten Gleichung subtrahieren. Dies führt auf
Nun eliminieren wir die Variable , indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) und ausrechnen. Dies führt auf
Mit ergibt sich
und
Rückwärts gelesen ergibt sich
und
Aufgabe (5 (1+1+1+1+1) Punkte)
Es sei eine Basis eines - Vektorraumes . Es seien von verschiedene Elemente.
a) Zeige, dass ebenfalls eine Basis von ist.
b) Bestimme die Übergangsmatrix .
c) Bestimme die Übergangsmatrix .
d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt.
e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt.
a) Es ist
für alle . Daher ist ebenfalls ein Erzeugendensystem von und somit eine Basis, da die Dimension ist und Vektoren vorliegen.
b) In den Spalten von müssen die Koordinaten der Vektoren bezüglich der Basis stehen, also ist
c) Es ist
d) Die Koordinaten ergeben sich aus
e) Die Koordinaten ergeben sich aus
Aufgabe (4 Punkte)
Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.
Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben
keinen weiteren Vektor
mit
geben. Also ist
.
Es sei umgekehrt
und seien
gegeben mit
.
Dann ist wegen der Linearität
Daher ist
und damit
.
Aufgabe (1 Punkt)
Bestimme die Determinante zur Matrix
Die Determinante ist , da eine obere Dreiecksmatrix vorliegt, deren Hauptdiagonalelemente sind.
Aufgabe (3 Punkte)
Das charakteristische Polynom der Matrix ist
Der rechte Faktor ist
stets positiv und besitzt daher in keine Nullstelle. Also zerfällt das charakteristische Polynom nicht vollständig in Linearfaktoren und nach [[Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierungen/1/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierungen/1/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]] ist die Matrix nicht trigonalisierbar.