Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 9/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$- lineare Abbildung. Zeige, dass für beliebige Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ und Koeffizienten ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in K$ die Beziehung

${}\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}s_{i}\varphi {\left(v_{i}\right)}\,$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass zu ${}a\in K$ die Abbildung

$V\longrightarrow V,\,v\longmapsto av,$

linear ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Interpretiere die folgenden physikalischen Gesetze als lineare Abbildungen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$. Was sind die messbaren Größen, was ist der Proportionalitätsfaktor und wodurch ist dieser festgelegt?

1. Die zurückgelegte Strecke ist Geschwindigkeit mal Zeit.
2. Masse ist Volumen mal Dichte.
3. Energie ist Masse mal Brennwert.
4. Kraft ist Masse mal Beschleunigung.
5. Energie ist Kraft mal Weg.
6. Energie ist Leistung mal Zeit.
7. Spannung ist Widerstand mal Stromstärke.
8. Ladung ist Stromstärke mal Zeit.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Um die Erde wird entlang des Äquators ein Band gelegt. Das Band ist jedoch einen Meter zu lang, sodass es ringsherum gleichmäßig angehoben wird, um straff zu werden. Welche der folgenden Lebewesen können drunter durch laufen/schwimmen/fliegen/tanzen?

1. Eine Amöbe.
2. Eine Ameise.
3. Eine Meise.
4. Eine Flunder.
5. Eine Boa constrictor.
6. Ein Meerschweinchen.
7. Eine Boa constrictor, die ein Meerschweinchen verschluckt hat.
8. Ein sehr guter Limbotänzer.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine lineare Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ mit

$\varphi {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}=5{\text{ und }}\varphi {\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}=4$

gegeben. Berechne

$\varphi {\begin{pmatrix}7\\6\end{pmatrix}}.$

Aufgabe Aufgabe 9.6 ändern

Ergänze den Beweis zu Satz 9.5 um die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation.

Aufgabe * Aufgabe 9.7 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}U,V,W$ Vektorräume über ${}K$. Es seien

$\varphi \colon U\rightarrow V{\text{ und }}\psi \colon V\rightarrow W$

lineare Abbildungen. Zeige, dass dann auch die Verknüpfung

$\psi \circ \varphi \colon U\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in ${}V$. Zeige, dass für die Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow V,\,(s_{1},\ldots ,s_{n})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i},$

die folgenden Beziehungen gelten.

1. ${}\varphi$ ist injektiv genau dann, wenn ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängig sind.
2. ${}\varphi$ ist surjektiv genau dann, wenn ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ ein Erzeugendensystem von ${}V$ ist.
3. ${}\varphi$ ist bijektiv genau dann, wenn ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Abbildungen

${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \operatorname {Re} \,{\left(z\right)},$

und

${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \operatorname {Im} \,{\left(z\right)},$

${}\mathbb {R}$-lineare Abbildungen sind. Zeige ferner, dass die komplexe Konjugation ${}\mathbb {R}$-linear, aber nicht ${}{\mathbb {C} }$-linear ist. Ist der Betrag

${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \vert {z}\vert ,$

${}\mathbb {R}$-linear?

Aufgabe * Aufgabe 9.10 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$- lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen gelten.

1. Für einen Untervektorraum ${}S\subseteq V$ ist auch das Bild ${}\varphi (S)$ ein Untervektorraum von ${}W$.
2. Insbesondere ist das Bild ${}\operatorname {bild} \varphi =\varphi (V)$ der Abbildung ein Untervektorraum von ${}W$.
3. Für einen Unterraum ${}T\subseteq W$ ist das Urbild ${}\varphi ^{-1}(T)$ ein Untervektorraum von ${}V$.
4. Insbesondere ist ${}\varphi ^{-1}(0)$ ein Untervektorraum von ${}V$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme den Kern der linearen Abbildung

$\mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}2&1&5&2\\3&-2&7&-1\\2&-1&-4&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme den Kern der durch die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2&3&0&-1\\4&2&2&5\end{pmatrix}}\,$

gegebenen linearen Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die eine Drehung um ${}45$ Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

die eine rationale Zahl ${}q\in \mathbb {Q}$ auf ${}q$ schickt und die alle irrationalen Zahlen auf ${}0$ schickt. Ist dies eine lineare Abbildung? Ist sie mit Skalierung verträglich?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

mit

$\varphi {\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\7\end{pmatrix}},\,\varphi {\begin{pmatrix}0\\4\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}{\text{ und }}\varphi {\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}}$

gegeben. Berechne

$\varphi {\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die (bezüglich der Standardbasis) eine Drehung um ${}30$ Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das Bild und den Kern der linearen Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{4},\,{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}1&3&4&-1\\2&5&7&-1\\-1&2&3&-2\\-2&0&0&-2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}E\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ die durch die lineare Gleichung ${}5x+7y-4z=0$ gegebene Ebene. Bestimme eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

derart, dass das Bild von ${}\varphi$ gleich ${}E$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Auf dem reellen Vektorraum

${}G=\mathbb {R} ^{4}\,$

der Glühweine betrachten wir die beiden linearen Abbildungen

$\pi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ,\,{\begin{pmatrix}z\\n\\r\\s\end{pmatrix}}\longmapsto 8z+9n+5r+s,$

und

$\kappa \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ,\,{\begin{pmatrix}z\\n\\r\\s\end{pmatrix}}\longmapsto 2z+n+4r+8s.$

Wir stellen uns ${}\pi$ als Preisfunktion und ${}\kappa$ als Kalorienfunktion vor. Man bestimme Basen für ${}\operatorname {kern} \pi$, für ${}\operatorname {kern} \kappa$ und für ${}\operatorname {kern} (\pi \times \kappa )$.

Fußnoten

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