Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 16
- Übungsaufgaben
Aufgabe
Bestimme die Ableitungen von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus.
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe *
Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion über ihre Potenzreihen (Satz 16.1).
Aufgabe
Bestimme die -te Ableitung der Sinusfunktion.
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Es sei eine konvergente Potenzreihe. Bestimme die Ableitungen .
Aufgabe *
Zeige, dass die Funktion
streng wachsend ist.
Aufgabe *
Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.
a)
b)
c)
Aufgabe *
Zeige, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion
induziert, und dass die reelle Kosinusfunktion eine bijektive, streng fallende Funktion
induziert.
Aufgabe
Zeige, dass die reelle Tangensfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion
und die reelle Kotangensfunktion eine bijektive streng fallende Funktion
induziert.
Aufgabe
Es sei
eine periodische Funktion und
eine beliebige Funktion.
a) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung wieder periodisch ist.
b) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung nicht periodisch sein muss.
Aufgabe
Es sei eine stetige periodische Funktion. Zeige, dass beschränkt ist.
Aufgabe
Bestimme die Ableitungen von Arkussinus und Arkuskosinus.
Aufgabe *
Wir betrachten die Funktion
a) Zeige, dass eine stetige Bijektion zwischen und definiert.
b) Bestimme das Urbild von unter sowie und . Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion an.
Aufgabe *
Bestimme die Ableitung der Funktion
Aufgabe *
Wir betrachten die Funktion
- Untersuche das Monotonieverhalten dieser Funktion.
- Zeige, dass diese Funktion injektiv ist.
- Bestimme das Bild von .
- Man gebe die Umkehrfunktion auf dem Bild zu dieser Funktion an.
- Skizziere den Funktionsgraphen von .
Aufgabe *
Betrachte die Funktion
Bestimme die Nullstellen und die lokalen (globalen) Extrema von . Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.
Aufgabe
Diskutiere den Funktionsverlauf von
Bestimme insbesondere das Monotonieverhalten, Extrema von , und ebenso für die Ableitung .
Aufgabe
Skizziere die Funktion
Aufgabe
Aufgabe
Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.
- ,
- ,
- ,
- .
Aufgabe
Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes für , , existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.
- ,
- ,
- .
Aufgabe *
Zu einem Startwert sei eine Folge rekursiv durch
definiert. Entscheide, ob konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
Aufgabe
Zeige, dass die Folge
nicht konvergiert.
- Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie
Aufgabe
Welches Bildungsgesetz liegt der Folge
(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.)
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme die linearen Funktionen, die tangential zur Exponentialfunktion sind.
Aufgabe (2 Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
Es seien
periodische Funktionen mit den Periodenlängen bzw. . Der Quotient sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch eine periodische Funktion ist.
Die folgende Aufgabe soll ohne Bezug auf die zweite Ableitung gelöst werden.
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme die Extrema der Funktion
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme den Grenzwert .
Aufgabe (4 Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 16.28 entspricht (die natürlichen Zahlen sind dabei als endliche Ziffernfolgen im Zehnersystem zu verstehen).
- Ist wachsend?
- Ist surjektiv?
- Ist injektiv?
- Besitzt einen Fixpunkt?
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