Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/Arbeitsblatt 27
- Übungsaufgaben
Überprüfe, ob der Vektor ein Eigenvektor zur Matrix
ist und bestimme, falls ein Eigenvektor vorliegt, den zugehörigen Eigenwert.
Bestimme die Eigenvektoren und die Eigenwerte zu einer linearen Abbildung
die durch eine Matrix der Form gegeben ist.
Zeige, dass der erste Standardvektor ein Eigenvektor zu einer jeden oberen Dreiecksmatrix ist. Was ist der Eigenwert?
Es seien
Endomorphismen auf einem - Vektorraum und es sei ein Eigenvektor von und von . Zeige, dass auch ein Eigenvektor von ist. Was ist der Eigenwert?
Es sei ein Isomorphismus auf einem - Vektorraum mit der Umkehrabbildung . Zeige, dass genau dann ein Eigenwert von ist, wenn ein Eigenwert von ist.
Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung
derart, dass keine Eigenwerte besitzt, dass aber eine gewisse Potenz , , Eigenwerte besitzt.
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und
eine lineare Abbildung mit
für ein gewisses .[1] Zeige, dass jeder Eigenwert von die Eigenschaft besitzt.
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und
eine lineare Abbildung. Es sei ein Eigenwert von und ein Polynom. Zeige, dass ein Eigenwert von[2] ist.
Es sei eine quadratische Matrix, die man als Blockmatrix
mit quadratischen Matrizen und schreiben kann. Zeige, dass eine Zahl genau dann ein Eigenwert von ist, wenn ein Eigenwert von oder von ist.
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum
eine lineare Abbildung und . Zeige folgende Aussagen.
- Der
Eigenraum
ist ein Untervektorraum von .
- ist genau dann ein Eigenwert zu , wenn der Eigenraum nicht der Nullraum ist.
- Ein Vektor , ist genau dann ein Eigenvektor zu , wenn ist.
Es bezeichne die Menge aller reellen Polynome vom Grad . Bestimme die Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume zum Ableitungsoperator
Der Begriff des Eigenvektors ist auch für unendlichdimensionale Vektorräume definiert und wichtig, wie die folgende Aufgabe zeigt.
Es sei der reelle Vektorraum, der aus allen unendlich oft differenzierbaren Funktionen von nach besteht.
a) Zeige, dass die Ableitung eine lineare Abbildung von nach ist.
b) Bestimme die
Eigenwerte
der Ableitung und zu jedem Eigenwert mindestens einen
Eigenvektor.[3]
c) Bestimme zu jeder reellen Zahl die
Eigenräume
und deren
Dimension.
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und
eine lineare Abbildung. Es sei und sei
der zugehörige Eigenraum. Zeige, dass sich zu einer linearen Abbildung
einschränken lässt, und dass diese Abbildung die Streckung um den Streckungsfaktor ist.
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und
eine lineare Abbildung und seien Elemente in . Zeige, dass
ist.
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung. Zeige, dass es maximal viele Eigenwerte zu gibt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und
eine lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann eine Streckung ist, wenn jeder Vektor ein Eigenvektor von ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Betrachte die Matrix
Zeige, dass als reelle Matrix keine Eigenwerte besitzt. Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume von als komplexer Matrix.
Aufgabe (6 Punkte)
Betrachte die reellen Matrizen
Man charakterisiere in Abhängigkeit von , wann eine solche Matrix
- zwei verschiedene Eigenwerte,
- einen Eigenwert mit einem zweidimensionalen Eigenraum,
- einen Eigenwert mit einem eindimensionalen Eigenraum,
- keinen Eigenwert,
besitzt.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein Körper und es sei ein - dimensionaler Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung. Es sei ein Eigenwert von und ein zugehöriger Eigenvektor. Zeige, dass es zu einer gegebenen Basis von eine Basis gibt mit und mit
für alle .
Zeige ebenso, dass dies bei nicht möglich ist.
- Fußnoten
- ↑ Der Wert ist hier erlaubt, aber aussagelos.
- ↑ Der Ausdruck bedeutet, dass man die lineare Abbildung in das Polynom einsetzt. Dabei muss man als , also als die -fache Hintereinanderschaltung von mit sich selbst, interpretieren, die Addition wird zur Addition von linearen Abbildungen, u.s.w.
- ↑ In diesem Zusammenhang spricht man auch von Eigenfunktionen.
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