Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Vorlesung 16/latex
\setcounter{section}{16}
\zwischenueberschrift{Ableitung von Potenzreihen}
Viele wichtige Funktionen wie die Exponentialfunktion oder die trigonometrischen Funktionen werden durch eine Potenzreihe dargestellt. Der folgende Satz zeigt, dass diese Funktionen differenzierbar sind und ihre Ableitung durch diejenige Potenzreihe dargestellt wird, die sich durch gliedweises Ableiten ergibt.
{Reelle Potenzreihe/Ableitung durch formale Ableitung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ \defeq} { \sum _{ n= 0}^\infty a_n x^{ n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{,}}
\faktvoraussetzung {die auf dem
\definitionsverweis {offenen Intervall}{}{}
\mathl{]- r,r[}{}
\definitionsverweis {konvergiere}{}{}
und dort die Funktion
\maabb {f} {]-r,r[ } {\R
} {}
darstellt.}
\faktfolgerung {Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{g}(x)
}
{ \defeq} { \sum_{n = 1}^\infty n a_n x^{n-1}
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{}
auf
\mathl{]-r,r[}{} konvergent. Die Funktion $f$ ist in jedem Punkt dieses Intervalls
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(x)
}
{ =} { \tilde{ g}(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Der Beweis erfordert ein genaues Studium von Potenzreihen.
Im Satz haben wir $g$ für die Potenzreihe und $f$ für die dadurch festgelegte Funktion geschrieben, um die Rollen deutlicher zu machen. Von nun an ist diese Unterscheidung nicht mehr nötig.
\inputfaktbeweis
{Reelle_Potenzreihe/Unendlich_oft_differenzierbar/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Eine durch eine Potenzreihe gegebene Funktion}
\faktfolgerung {ist auf ihrem Konvergenzintervall unendlich oft differenzierbar.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies ergibt sich direkt aus Satz 16.1.
\inputfaktbeweis
{Reelle Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Die
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
\maabbeledisp {} { \R} {\R
} {x} { \exp x
} {,}}
\faktfolgerung {ist
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \!'( x )
}
{ =} { \exp x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund von
Satz 16.1 ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \exp \!'( x)
}
{ =} { { \left( \sum_{ n =0}^\infty \frac{ x^{ n } }{n!} \right) }'
}
{ =} { \sum_{n = 1 }^\infty { \left( \frac{ x^n}{n !} \right) }'
}
{ =} { \sum_{n = 1 }^\infty \frac{n }{n !} x^{n-1}
}
{ =} { \sum_{n = 1 }^\infty \frac{1 }{(n-1) !} x^{n-1}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{ n =0}^\infty \frac{ x^{ n } }{n!}
}
{ =} { \exp x
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
\inputfaktbeweis
{Reelle Exponentialfunktion/Basis/Ableitung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Die
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
\maabbeledisp {} { \R} {\R
} {x} { a^x
} {,}
zur Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {ist
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( a^x \right) }'
}
{ =} { { \left( \ln a \right) } a^x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Definition 12.15
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^x
}
{ =} { \exp \left( x \, \ln a \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
nach $x$ ist aufgrund von
Satz 16.3
unter Verwendung
der Kettenregel
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( a^x \right) }'
}
{ =} { { \left( \exp \left( x \, \ln a \right) \right) }'
}
{ =} { { \left( \ln a \right) } \exp' (x \, \ln a )
}
{ =} { { \left( \ln a \right) } \exp \left( x \, \ln a \right)
}
{ =} { { \left( \ln a \right) } a^x
}
}
{}{}{.}
\inputbemerkung
{}
{
Bei einer reellen Exponentialfunktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(x)
}
{ =} { a^x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt nach
Satz 16.4
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { { \left( \ln a \right) } y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
es besteht also ein proportionaler Zusammenhang zwischen der Funktion $y$ und ihrer Ableitung $y'$ mit dem Proportionalitätsfaktor $\ln a$. Dies gilt auch dann, wenn $a^x$ mit einer Konstanten multipliziert wird. Wenn man unter $y$ eine von der Zeit $x$ abhängige Größe versteht, so beschreibt
\mathl{y'(x)}{} das momentane Wachstum zu einem Zeitpunkt. Die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y'
}
{ = }{ { \left( \ln a \right) } y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bedeutet dann, dass das momentane Wachstum in jedem Zeitpunkt proportional zur momentanen Größe ist. Ein solches Wachstum
\zusatzklammer {bzw. Schrumpfung bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{a
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \ln a
}
{ < }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
kommt in der Natur bei einer Population dann vor, wenn es keine nennenswerte Nahrungskonkurrenz und vernachlässigbare Sterberaten gibt
\zusatzklammer {die Anzahl der Mäuse ist dann proportional zur Anzahl der geborenen Mäuse} {} {.}
Eine Bedingung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {b y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist ein Beispiel für eine \stichwort {Differentialgleichung} {.} Dies ist eine Gleichung für eine Funktion, die Bedingungen an die Ableitung der Funktion ausdrückt. Eine Lösung einer solchen Differentialgleichung ist eine differenzierbare Funktion, die diese Ableitungsbedingung erfüllt. Die Lösungen der zuletzt formulierten Differentialgleichung sind die Funktionen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y(x)
}
{ =} {ce^{bx}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Wir werden uns im zweiten Semester mit Differentialgleichungen intensiv beschäftigen.
\inputfaktbeweis
{Natürlicher Logarithmus/Ableitung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
des
\definitionsverweis {natürlichen Logarithmus}{}{}
\maabbeledisp {\ln} {\R_+} {\R
} {x} { \ln x
} {,}}
\faktfolgerung {ist
\maabbeledisp {\ln \!'} {\R_+} {\R
} {x} { \frac{1}{x}
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Da der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, können wir
Satz 14.9
anwenden und erhalten mit
Satz 16.3
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \ln' (x)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \exp' ( \ln x) } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \exp ( \ln x) } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Potenzfunktion/Positive Basis/Reeller Exponent/Ableitung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R_+} {\R_+
} {x} {x^\alpha
} {,}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
und ihre
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(x)
}
{ =} { \alpha x^{\alpha -1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Definition 12.15
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^\alpha
}
{ =} { \exp \left( \alpha \, \ln x \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
nach $x$ ist aufgrund von
Satz 16.3
und
Korollar 16.6
unter Verwendung
der Kettenregel
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( x^\alpha \right) }'
}
{ =} { { \left( \exp \left( \alpha \, \ln x \right) \right) }'
}
{ =} { \frac{\alpha}{x} \cdot \exp \left( \alpha\, \ln x \right)
}
{ =} { \frac{\alpha}{x} x^\alpha
}
{ =} { \alpha x^{\alpha -1}
}
}
{}{}{.}
{Reelle Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Die
\definitionsverweis {Sinusfunktion}{}{}
\maabbeledisp {} { \R} {\R
} {x} { \sin x
} {,}
ist
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin \!'( x)
}
{ =} { \cos x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die
\definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{}\maabbeledisp {} { \R} {\R
} {x} { \cos x
} {,}
ist differenzierbar mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos \!'( x )
}
{ =} { - \sin x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 16.4. }
\inputfaktbeweis
{Tangens/Kotangens/Ableitung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Die
\definitionsverweis {Tangensfunktion}{}{}
\maabbeledisp {} {\R \setminus { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } + \Z \pi \right) }} {\R
} {x} { \tan x
} {,}
ist
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tan \!'( x)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \cos^{ 2 } x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die
\definitionsverweis {Kotangensfunktion}{}{}
\maabbeledisp {} { \R \setminus \Z \pi } {\R
} {x} { \cot x
} {,}
ist differenzierbar mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cot \!'( x )
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ \sin^{ 2 } x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund
der Quotientenregel,
Satz 16.8
und
der Kreisgleichung
ergibt sich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{(\tan x )^\prime
}
{ =} { { \left( { \frac{ \sin x }{ \cos x } } \right) }^\prime
}
{ =} { { \frac{ (\cos x)( \cos x ) - ( \sin x )(- \sin x ) }{ \cos^{ 2 } x } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \cos^{ 2 } x } }
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
Das Argument für die Ableitung des Kotangens ist entsprechend.
\zwischenueberschrift{Die Zahl $\pi$ }
Die Zahl $\pi$ ist der Flächeninhalt bzw. der halbe Kreisumfang eines Kreises mit Radius $1$. Um darauf eine präzise Definition dieser Zahl aufzubauen müsste man zuerst die Maßtheorie \zusatzklammer {bzw. die Länge von \anfuehrung{krummen Kurven}{}} {} {} entwickeln. Auch die trigonometrischen Funktionen haben eine intuitive Interpretation am Einheitskreis, doch auch diese setzt das Konzept der Bogenlänge voraus. Ein alternativer Zugang ist es, die Zahl $\pi$ über analytische Eigenschaften der durch ihre Potenzreihen definierten Funktionen Sinus und Kosinus zu definieren und dann erst nach und nach die Beziehung zum Kreis herzustellen \zusatzklammer {siehe Beispiel 20.10 und Beispiel *****} {} {.}
\inputfaktbeweis
{Reelle Kosinusfunktion/Genau eine Nullstelle zwischen 0 und 2/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Die
\definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{}}
\faktfolgerung {besitzt im
\definitionsverweis {reellen}{}{}
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mathl{[0,2]}{} genau eine
\definitionsverweis {Nullstelle}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Wir betrachten die
\definitionsverweis {Kosinusreihe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos x
}
{ =} { \sum_{ n = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ n } x^{2n} }{(2n)!}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos 0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man geschickt klammern und erhält
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \cos 2
}
{ =} { 1- \frac{2^2}{2!} + \frac{2^4}{4!} - \frac{2^6}{6!} + \frac{2^8}{8!} - \ldots
}
{ =} { 1- \frac{2^2}{2!} { \left( 1 - \frac{ 4}{3 \cdot 4} \right) } - \frac{2^6}{6!} { \left( 1- \frac{4}{7 \cdot 8} \right) } - \ldots
}
{ =} { 1 - 2 ( 2/3) - \ldots
}
{ \leq} { - 1/3
}
}
{}
{}{.}
Nach dem
Zwischenwertsatz
gibt es also mindestens eine Nullstelle im angegebenen Intervall.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Zum Beweis der Eindeutigkeit betrachten wir die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
des Kosinus, diese ist nach
Satz 16.8
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos ' x
}
{ =} { - \sin x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es genügt zu zeigen, dass der Sinus im Intervall
\mathl{]0,2[}{} positiv ist, denn dann ist das Negative davon stets negativ und der Kosinus ist dann nach
Satz 15.7
im angegebenen Intervall
\definitionsverweis {streng fallend}{}{,}
sodass es nur eine Nullstelle gibt. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ {]0,2]}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sin x
}
{ =} { x- \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots
}
{ =} { x { \left( 1- \frac{x^2}{3!} \right) } + \frac{x^5}{5!} { \left( 1- \frac{x^2}{6 \cdot 7} \right) } + \ldots
}
{ \geq} { x { \left( 1- \frac{4}{3!} \right) } + \frac{x^5}{5!} { \left( 1- \frac{4}{6 \cdot 7} \right) } + \ldots
}
{ \geq} { x/3
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ >} {0
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}}
{}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Pi pie2.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Eine rationale Approximation der Zahl $\pi$ auf einem $\pi$-Pie.} }
\bildlizenz { Pi pie2.jpg } {Pi_pie2} {GJ} {engl. Wikipedia} {PD} {}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $s$ die
eindeutig bestimmte
\definitionsverweis {reelle}{}{}
\definitionsverweis {Nullstelle}{}{}
der
\definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{}
aus dem
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mathl{[0,2]}{.} Die \definitionswort {Kreiszahl}{} $\pi$ ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi
}
{ \defeq} { 2s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
}
\inputfaktbeweis
{Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in $\R$ folgende
\betonung{Periodizitätseigenschaften}{.}}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \left( x +2 \pi \right)
}
{ = }{ \cos x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \left( x +2 \pi \right)
}
{ = }{ \sin x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \left( x + \pi \right)
}
{ = }{ - \cos x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \left( x + \pi \right)
}
{ = }{ - \sin x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \left( x + \pi/2 \right)
}
{ = }{ - \sin x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \left( x + \pi/2 \right)
}
{ = }{ \cos x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos 0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \pi/2
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \pi
}
{ = }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos 3\pi/2
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos 2 \pi
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin 0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \pi/2
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \pi
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin 3\pi/2
}
{ = }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin 2 \pi
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund der
Kreisgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\cos x )^2 + ( \sin x)^2
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( \sin \frac{\pi}{2} \right) }^2
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \frac{\pi}{2}
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wegen der Überlegung im Beweis zu
Lemma 16.10.
Daraus folgen mit den
Additionstheoremen die in (3) angegebenen Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus, beispielsweise ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos \left( z + { \frac{ \pi }{ 2 } } \right)
}
{ =} { \cos \left( z \right) \cos \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) - \sin \left( z \right) \sin \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right)
}
{ =} { - \sin \left( z \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es genügt daher, die Aussagen für den Kosinus zu beweisen. Alle Aussagen folgen dann aus der Definition von $\pi$ und aus (3).
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabb {f} {\R} {\R
} {} heißt \definitionswort {periodisch}{} mit \definitionswort {Periode}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { f(x+L)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
Die beiden trigonometrischen Funktionen sind also periodische Funktionen mit der Periodenlänge $2 \pi$.
\zwischenueberschrift{Die inversen trigonometrischen Funktionen}
{Sinus und Kosinus/Monotonieeigenschaften/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Die
\definitionsverweis {reelle Sinusfunktion}{}{}}
\faktfolgerung {induziert eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{,}
\definitionsverweis {streng wachsende}{}{}
Funktion
\maabbdisp {} {[- \pi/2, \pi/2]} {[-1,1]
} {,}
und die
\definitionsverweis {reelle Kosinusfunktion}{}{}
induziert eine bijektive streng fallende Funktion
\maabbdisp {} {[0,\pi]} {[-1,1]
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 16.12. }
{Tangens und Kotangens/Monotonieeigenschaften/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Die
\definitionsverweis {reelle Tangensfunktion}{}{}
induziert eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{,}
\definitionsverweis {streng wachsende}{}{}
Funktion
\maabbdisp {} {]- \pi/2, \pi/2[ } { \R
} {,}
und die
\definitionsverweis {reelle Kotangensfunktion}{}{}
induziert eine bijektive streng fallende Funktion
\maabbdisp {} { ]0,\pi[ } {\R
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 16.13. }
Aufgrund der Bijektivität von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens auf geeigneten Intervallen gibt es die folgenden Umkehrfunktionen.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Arcsine.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Arcsine.svg } {} {Geek3} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\inputdefinition
{}
{
Die \definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{} der reellen \definitionsverweis {Sinusfunktion}{}{} ist \maabbeledisp {} { [-1,1]} {[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] } {x} { \arcsin x } {,} und heißt \definitionswort {Arkussinus}{.}
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Arccosine.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Arccosine.svg } {} {Geek3} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\inputdefinition
{}
{
Die \definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{} der reellen \definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{} ist \maabbeledisp {} {[-1,1]} {[0, \pi] } {x} { \arccos x } {,} und heißt \definitionswort {Arkuskosinus}{.}
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Arctangent.svg} }
\end{center}
\bildtext {Der Arkustangens} }
\bildlizenz { Arctangent.svg } {} {Geek3} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\inputdefinition
{}
{
Die \definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{} der reellen \definitionsverweis {Tangensfunktion}{}{} ist \maabbeledisp {} {\R} {] - { \frac{ \pi }{ 2 } } , { \frac{ \pi }{ 2 } } [ } {x} { \arctan x } {,} und heißt \definitionswort {Arkustangens}{.}
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Arccotangent.svg} }
\end{center}
\bildtext {Der Arkuskotangens} }
\bildlizenz { Arccotangent.svg } {} {Geek3} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\inputdefinition
{}
{
Die \definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{} der reellen \definitionsverweis {Kotangensfunktion}{}{} ist \maabbeledisp {} {\R} {] 0 , \pi [ } {x} { \arccot x } {,} und heißt \definitionswort {Arkuskotangens}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Inverse trigonometrische Funktionen/Ableitung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Die inversen trigonometrischen Funktionen besitzen die folgenden
\definitionsverweis {Ableitungen}{}{.}}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \arcsin x \right) }'
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{1-x^2} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \arccos x \right) }'
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ \sqrt{1-x^2} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \arctan x \right) }'
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 1+x^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \arccot x \right) }'
}
{ =} {- { \frac{ 1 }{ 1+x^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Für den Arkustangens gilt beispielsweise nach
Satz 14.9
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{(\arctan x )^\prime
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ { \frac{ 1 }{ \cos^{ 2 } (\arctan x) } } } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ { \frac{ \cos^{ 2 } (\arctan x) + \sin^{ 2 } (\arctan x) }{ \cos^{ 2 } (\arctan x) } } } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 1 + \tan^{ 2 } (\arctan x ) } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 1 + x^2 } }
}
}
{}
{}{.}