Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Arbeitsblatt 43



Übungsaufgaben

Aufgabe

Löse das lineare Anfangswertproblem


Aufgabe

Sei eine quadratische -Matrix über . Es sei eine Lösung der linearen Differentialgleichung

und eine Lösung der linearen Differentialgleichung

Zeige, dass eine Lösung der linearen Differentialgleichung

ist.


Aufgabe

Sei

ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten, sei der Lösungsraum dieses Systems und sei . Zeige, dass die Abbildung

ein Vektorraum-Isomorphismus ist.


Aufgabe

Wie transformieren sich in Lemma 43.5 die Anfangsbedingungen?


Aufgabe *

Löse das lineare Anfangswertproblem


Aufgabe

Löse das lineare Anfangswertproblem


Aufgabe

Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem


Aufgabe *

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

b) Löse das Anfangswertproblem

mit der Anfangsbedingung


Aufgabe *

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

b) Löse das Anfangswertproblem

mit der Anfangsbedingung .


Aufgabe

Finde für das zeitunabhängige Differentialgleichungssystem

Lösungen mit und , wobei sind.


Die folgenden Aufgaben löse man mit Lemma Anhang 2.1, man spricht vom Ansatz vom Typ der rechten Seite.

Aufgabe

Löse die Differentialgleichung


Aufgabe *

Löse die Differentialgleichung


Aufgabe *

Löse die Differentialgleichung


Aufgabe

Löse die Differentialgleichung


Aufgabe *

Es sei ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten in Variablen und sei ein Punkt vorgegeben.

  1. Erstelle eine rekursive Formel für die Punkte im Polygonzugverfahren zum Startpunkt und zur Schrittweite in dieser Situation.
  2. Erstelle eine geschlossene Formel für zur Schrittweite .
  3. Erstelle eine Formel für zur Schrittweite .


In eine Potenzreihe kann man nicht zur Zahlen einsetzen, sondern auch quadratische Matrizen, wobei die Potenzen als Matrixpotenzen zu interpretieren sind, und sich fragen, ob die entstehenden Folgen im Raum der Matrizen konvergieren.

Aufgabe

Es sei eine reelle (oder komplexe) -Matrix. Zeige, dass

im Raum der Matrizen konvergiert.


Aufgabe

Es sei ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Zeige, dass die Lösung des Anfangswertproblems mit der Anfangbedingung durch

gegeben ist.

Verwende, dass die Ableitung der Abbildung

gleich ist.

Aufgabe

Begründe Lemma 43.1 mit Aufgabe 43.17.


Aufgabe

Es sei ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten in Variablen und sei . Zeige, dass die Abbildung

die einem Punkt den Ortspunkt zum Zeitpunkt der Lösung des Anfangswertproblems zuordnet, eine lineare Abbildung ist und durch die Matrix beschrieben wird.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Löse das lineare Anfangswertproblem


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem


Aufgabe (6 Punkte)

Sei . Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die allgemeine Lösung des linearen Differentialgleichungssystems


Aufgabe (4 Punkte)

Löse die Differentialgleichung



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