Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Arbeitsblatt 16/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die Ableitungen von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Aufgabe 16.3 ändern
Aufgabe * Aufgabe 16.4 ändern
Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion über ihre Potenzreihen (Satz 16.1).
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die -te Ableitung der Sinusfunktion.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine konvergente Potenzreihe. Bestimme die Ableitungen .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Funktion
streng wachsend ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.
a)
b)
c)
Aufgabe * Aufgabe 16.13 ändern
Zeige, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion
induziert, und dass die reelle Kosinusfunktion eine bijektive, streng fallende Funktion
induziert.
Aufgabe Aufgabe 16.14 ändern
Zeige, dass die reelle Tangensfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion
und die reelle Kotangensfunktion eine bijektive streng fallende Funktion
induziert.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei
eine periodische Funktion und
eine beliebige Funktion.
a) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung wieder periodisch ist.
b) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung nicht periodisch sein muss.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine stetige periodische Funktion. Zeige, dass beschränkt ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die Ableitungen von Arkussinus und Arkuskosinus.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Funktion
a) Zeige, dass eine stetige Bijektion zwischen und definiert.
b) Bestimme das Urbild von unter sowie und . Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion an.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme die Ableitung der Funktion
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Funktion
- Untersuche das Monotonieverhalten dieser Funktion.
- Zeige, dass diese Funktion injektiv ist.
- Bestimme das Bild von .
- Man gebe die Umkehrfunktion auf dem Bild zu dieser Funktion an.
- Skizziere den Funktionsgraphen von .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Betrachte die Funktion
Bestimme die Nullstellen und die lokalen (globalen) Extrema von . Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Diskutiere den Funktionsverlauf von
Bestimme insbesondere das Monotonieverhalten, Extrema von , und ebenso für die Ableitung .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Skizziere die Funktion
Aufgabe Aufgabe 16.24 ändern
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.
- ,
- ,
- ,
- .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes für , , existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.
- ,
- ,
- .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Zu einem Startwert sei eine Folge rekursiv durch
definiert. Entscheide, ob konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Folge
nicht konvergiert.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die linearen Funktionen, die tangential zur Exponentialfunktion sind.
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien
periodische Funktionen mit den Periodenlängen bzw. . Der Quotient sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch eine periodische Funktion ist.
Die folgende Aufgabe soll ohne Bezug auf die zweite Ableitung gelöst werden.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die Extrema der Funktion
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Wir möchten möglichst genau als kleinste Nullstelle des Kosinus mit Hilfe der Kosinusreihe
und der Intervallhalbierung des Zwischenwertsatzes (im Sinne von Verfahren 11.3) bestimmen. Dabei haben wir das Problem, dass der Kosinus numerisch nicht exakt berechnet werden kann, da er ja unendlich viele Summanden besitzt. Deshalb verwenden wir die Idee, als -te Approximation für die untere Intervallgrenze der -ten Intervallhalbierung (des Ausgangsintervalls ) für die Nullstelle der abgeschnittenen Kosinusreihe zu verwenden (man macht also eine zunehmend feinere Intervallschachtelung einer zunehmend besseren Approximation der Kosinusfunktion)
Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das die Folgenglieder berechnet und nacheinander ausdruckt, unter den folgenden Bedingungen.
- Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die rationale Zahlen enthalten können.
- Die natürlichen Zahlen liegen in einer Datenbank bereit (diese müssen also nicht erzeugt werden).
- Er kann einen Speicherinhalt in einen weiteren Speicher schreiben.
- Er kann die rationalen Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division durch eine Zahl ) ausführen und das Ergebnis in einen weiteren Speicher schreiben.
- Er kann Speicherinhalte der Größe nach vergleichen und davon abhängig zu Programmzeilen springen.
- Er kann Speicherinhalte und vorgegebene Texte ausdrucken.
(Wir behaupten nicht, dass diese Methode eine gegen konvergente Folge liefert).
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme den Grenzwert .