Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 42/kontrolle
- Übungsaufgaben
Berechne zum Vektorfeld
aus Aufgabe 42.1 das transformierte Vektorfeld zur durch die Matrix gegebenen linearen Abbildung . Bestimme die Lösungen zu diesem transformierten Vektorfeld.
Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems
Kommentar:
Wir haben es hier mit einem homogenen linearen Differentialgleichungssystem zu tun. Wichtig ist hierbei zu erkennen, dass das lineare System bereits Dreiecksgestalt besitzt, sodass wir nach Lemma 42.5 schrittweise die Lösungen konstruieren können.
Tatsächlich besteht die zweite Zeile des Systems nur aus der Gleichung , für die wir bereits den Lösungsraum , , kennen.
Die Lösung für können wir nun in die erste Zeile einsetzen und erhalten die inhomogene lineare Differentialgleichung
Wie sieht die zugehörige homogene Gleichung aus und welches ist der inhomogene Anteil? Obwohl das ursprüngliche Differentialgleichungssystem homogen war, stoßen wir hier nun auf eine inhomogene Differentialgleichung, die wir lösen müssen. Dazu haben wir bereits ein allgemeines Lösungsverfahren in Satz 32.10 kennen gelernt.
Insgesamt ergeben sich daher welche Lösungen für das Differentialgleichungssystem?
Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems
Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems
Bestimme alle Lösungen (für ) des linearen Differentialgleichungssystems
Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems
Es sei ein reelles Intervall und seien
differenzierbare Funktionen mit
für alle . Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem
Zeige, dass sowohl als auch Lösungen des Differentialgleichungssystems sind.
Es sei
eine (variable) -Matrix, deren Einträge stetige Funktionen
seien. Es sei für alle . Zeige, dass die einzige konstante Lösung der linearen Differentialgleichung die Nulllösung ist.
Es sei
ein lineares Differentialgleichungssystem auf ( ein reelles Intervall) mit einer Funktionenmatrix
wobei das zugrunde liegende Vektorfeld zugleich ein Zentralfeld sei. Zeige, dass die Matrix die Gestalt
mit einer geeigneten Funktion
besitzt.
Es sei eine (variable) -Matrix, deren Einträge Funktionen
Es sei eine (variable) -Matrix, deren Einträge stetige Funktionen
seien. Es sei ein (konstanter) Eigenvektor von zum (variablen, von differenzierbar abhängigen) Eigenwert . Zeige durch ein Beispiel, dass keine Lösung der linearen Differentialgleichung sein muss.
Kommentar:
Hier handelt es sich um ein lineares Differentialgleichungssystem, dessen Koeffizienten nicht konstant, sondern Funktionen sind, die vom Parameter abhängen. Genauer gesagt ist es ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem.
Um ein Gegenbeispiel zu finden, bietet es sich an, zunächst zu untersuchen, an welcher Stelle die Forderung, dass eine Lösung ist, fehlschlagen könnte. Dazu verwenden wir die Voraussetzung, dass der konstante Vektor ein Eigenvektor der variablen Matrix zum variablen Eigenwert sein soll. Das bedeutet, dass
für alle gilt. Anders ausgedrückt erhalten wir zu jedem beliebigen Zeitpunkt einen konkreten Eigenwert zu der Matrix , die zu diesem Zeitpunkt vorliegt. Es handelt sich um eine Familie von Eigenwertgleichungen.
Wir wollen nun die zu untersuchende Funktion in die Differentialgleichung einsetzen. Für die Ableitung ergibt sich mittels Ketten- und Produktregel
Hierbei ist eine Funktion in mehreren Komponenten, für die wir die Ableitung komponentenweise bestimmen können. Die Einträge des Vektors sind konstant, hängen also nicht von ab.
Andererseits folgt aus der Eigenwertgleichung
Dabei konnten wir die Ausdrücke und vertauschen, weil letzterer für jedes nur ein Skalar ist.
Durch Vergleich der beiden Ergebnisse zeigt sich, dass nur eine Lösung der Differentialgleichung sein kann, wenn gilt. Welche Funktionen sind das genau?
Für das Gegenbeispiel muss man nun eine -Matrix , einen Vektor und eine nichtkonstante Funktion finden, sodass ein Eigenwert ist. Man kann ein möglichst einfaches Beispiel konstruieren, indem man etwa eine Diagonalmatrix wählt, weil dann das Differentialgleichungssystem in einzelne Differentialgleichungen zerfällt, die wir sogar alle gleich wählen können.
Es sei
eine (variable) -Matrix, deren Einträge stetige Funktionen
seien. Es sei ein (variabler, von differenzierbar abhängiger) Eigenvektor von zum konstanten Eigenwert . Zeige durch ein Beispiel, dass keine Lösung der linearen Differentialgleichung sein muss.
Es sei ein lineares Differentialgleichungssystem auf dem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass die transformierte Differentialgleichung auf ebenfalls linear ist.
Löse mit einem Potenzreihenansatz das Anfangswertproblem
mit der Anfangsbedingung
bis zur fünften Ordnung.
Es sei die Menge aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen von nach und die Ableitung, aufgefasst als Operator[1]
Zu einem Polynom , , betrachten wir den Operator
Berechne für und . Zeige, dass eine lineare Abbildung auf ist.
Kommentar:
Bei dieser Aufgabe machen wir die Beobachtung, dass wir den Ableitungsoperator formal in ein Polynom einsetzen können und daraus einen neuen Operator erhalten, d.h. eine lineare Abbildung von in sich selbst.
Wir wissen bereits, dass der Ableitungsoperator eine lineare Abbildung auf ist, denn für differenzierbare Funktionen und gilt sowie nach den bekannten Ableitungsregeln. Die Hintereinanderschaltung linearer Abbildungen ist ebenfalls wieder linear, wie zum Beispiel , also zweifaches Ableiten, oder mehrfaches Ableiten . Gleiches gilt für die Summe linearer Abbildungen. Somit können wir den formalen Ausdruck sinnvoll als lineare Abbildung interpretieren.
Wir haben soeben begründet, dass für jedes Polynom eine lineare Abbildung ist. Für das konkret vorliegende Polynom könnten wir dies auch nachweisen, indem wir und für beliebiges mit Hilfe der Ableitungsregeln umformen.
Was ergibt sich nun, wenn wir die lineare Abbildung auswerten an den Funktionen ?
Es sei und . Zeige, dass der Differentialoperator die Funktionen mit auf die Nullfunktion abbildet.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems
Aufgabe (8 (2+2+4) Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem
- Erstelle eine Differentialgleichung in einer Variablen, die die Funktion zu einer Lösung erfüllen muss.
- Finde eine Lösung für aus Teil (1).
- Finde eine nichttriviale Lösung des Differentialgleichungssystems.
Bemerkung: Im ersten und zweiten Teil wird untersucht, wie sich bei einer Lösung des Systems der Abstand zum Nullpunkt (bzw. dessen Quadrat) verhält. Es liegt nahe, sich für den dritten Teil zu überlegen, wie sich bei einer Lösung der Winkel zur -Achse verhält (Polarkoordinaten).
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Finde eine nichttriviale Lösung (für ) zum linearen Differentialgleichungssystem
mit Hilfe von Aufgabe 42.8.
Die für , , und ein definierte lineare Differentialgleichung
heißt Legendresche Differentialgleichung zum Parameter .
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass das -te Legendre-Polynom[2]
eine Lösung der Legendreschen Differentialgleichung zum Parameter ist.
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Löse mit einem Potenzreihenansatz das Anfangswertproblem
mit der Anfangsbedingung
bis zur sechsten Ordnung.
- Fußnoten
- ↑ Eine Abbildung, die Funktionen in Funktionen überführt, nennt man häufig Operator.
- ↑ Hier bedeutet das hochgestellte die -te Ableitung.