Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Vorlesung 20/kontrolle
Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen man Stammfunktionen finden bzw. bestimmte Integrale berechnen kann. Sie beruhen auf Ableitungsregeln.
- Partielle Integration
Satz Referenznummer erstellen
Beweis
Aufgrund der Produktregel ist eine Stammfunktion von . Daher ist
Bei der partiellen Integration sind insbesondere zwei Dinge zu beachten. Erstens liegt die zu integrierende Funktion im Allgemeinen nicht in der Form vor, sondern einfach als Produkt
(wenn kein Produkt vorliegt, so kommt man mit dieser Regel sowieso nicht weiter, wobei allerdings die triviale Produktzerlegung manchmal helfen kann).
Dann muss man einen Faktor integrieren und den anderen differenzieren. Wenn eine Stammfunktion von ist, so lautet die Formel
Zweitens führt partielle Integration nur dann zum Ziel, wenn das Integral rechts, also , integriert werden kann.
Beispiel Referenznummer erstellen
Wir bestimmen eine Stammfunktion des natürlichen Logarithmus mittels partieller Integration, wobei wir schreiben und die konstante Funktion integrieren und den Logarithmus ableiten. Damit ist
Eine Stammfunktion ist also .
Beispiel Beispiel 20.3 ändern
Eine Stammfunktion der Sinusfunktion ist . Um Stammfunktionen zu zu finden, verwenden wir partielle Integration, um eine rekursive Beziehung zu Potenzen mit kleinerem Exponenten zu erhalten. Um dies präzise zu machen, arbeiten wir mit Intervallgrenzen, und zwar sollen die Stammfunktionen von ausgehen, also für den Wert besitzen. Für ist mittels partieller Integration
Durch Multiplikation mit und Umstellen erhält man
Speziell ergibt sich für
- Integration der Umkehrfunktion
Satz Satz 20.4 ändern
Es sei eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei eine Stammfunktion von .
Dann ist
eine Stammfunktion der Umkehrfunktion .
Beweis
Ableiten unter Verwendung von Lemma 14.7 und Satz 14.8 ergibt
Diese Aussage besitzt einen einfachen geometrischen Hintergrund. Wenn
eine streng wachsende stetige Funktion ist
(und daher eine Bijektion zwischen
und
induziert),
so besteht zwischen den beteiligten Flächeninhalten der Zusammenhang
bzw.
Für die Stammfunktion von mit dem Startpunkt gilt daher, wenn die Stammfunktion zu bezeichnet, die Beziehung
wobei eine Integrationskonstante ist.
Beispiel Referenznummer erstellen
Wir berechnen eine Stammfunktion von unter Verwendung von Satz 20.4. Eine Stammfunktion des Tangens ist
Also ist
eine Stammfunktion von .
- Die Substitutionsregel
Satz Satz 20.6 ändern
Beweis
Wegen der Stetigkeit von und der vorausgesetzten stetigen Differenzierbarkeit von existieren beide Integrale. Es sei eine Stammfunktion von , die aufgrund von Korollar 19.5 existiert. Nach der Kettenregel hat die zusammengesetzte Funktion
die Ableitung . Daher gilt insgesamt
Beispiel Referenznummer erstellen
Typische Beispiele, wo man sofort erkennen kann, dass man die Substitutionsregel anwenden kann, sind beispielsweise
mit der Stammfunktion
oder
mit der Stammfunktion
Häufig liegt ein bestimmtes Integral nicht in einer Form vor, dass man die vorstehende Regel direkt anwenden könnte. Häufiger kommt die folgende umgekehrte Variante zum Zug.
Bemerkung Referenznummer erstellen
Die Substitution wird folgendermaßen angewendet: Es soll das Integral
berechnet werden. Man muss dann eine Idee haben, dass durch die Substitution
das Integral einfacher wird (und zwar unter Berücksichtigung der Ableitung und unter der Bedingung, dass die Umkehrfunktion berechenbar ist). Mit und liegt insgesamt die Situation
vor. In vielen Fällen kommt man mit gewissen Standardsubstitutionen weiter.
Bei einer Substitution werden drei Operationen durchgeführt.
- Ersetze durch .
- Ersetze durch .
- Ersetze die Integrationsgrenzen und durch und .
Für den zweiten Schritt empfiehlt sich die Merkregel
der man im Rahmen der Theorie der „Differentialformen“ auch eine inhaltliche Bedeutung geben kann.
Beispiel Beispiel 20.10 ändern
Die obere Kreislinie des Einheitskreises ist die Punktmenge
Zu gegebenem , , gibt es genau ein , das diese Bedingung erfüllt, nämlich . Daher ist der Flächeninhalt der oberen Einheitskreishälfte gleich der Fläche unter dem Graphen der Funktion über dem Intervall , also gleich
Mit der Substitution
(wobei nach Korollar 16.14 bijektiv ist), erhält man unter Verwendung von Beispiel 20.3
Insbesondere ist
eine Stammfunktion zu . Daher ist
Beispiel Referenznummer erstellen
Wir bestimmen eine Stammfunktion von unter Verwendung der Hyperbelfunktionen und , für die nach Lemma 13.3 die Beziehung gilt. Die Substitution
liefert[1]
Eine Stammfunktion des Sinus hyperbolicus im Quadrat ergibt sich aus
Daher ist
und somit
Aufgrund des Additionstheorems für Sinus hyperbolicus ist und daher kann man diese Stammfunktion auch als
schreiben.
Beispiel Referenznummer erstellen
Wir wollen eine Stammfunktion für die Funktion
bestimmen. Als Vorüberlegung berechnen wir die Ableitung von
Diese ist
Wir schreiben daher als ein Produkt und wenden darauf partielle Integration an, wobei wir den ersten Faktor integrieren und den zweiten Faktor ableiten. Die Ableitung des zweiten Faktors ist
Daher ist
- Fußnoten
- ↑ Die Umkehrfunktion des Kosinus hyperbolicus heißt Areakosinus hyperbolicus und wird mit bezeichnet.