Kurs:Riemannsche Flächen/3/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	10	5	3	2	4	5	4	3	3	6	4	5	4	64

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe (10 Punkte)Referenznummer erstellen

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beschreibe Aspekte der Analysis, die für die Theorie der riemannschen Flächen besonders relevant sind.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die holomorphe Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(z,w)\longmapsto z^{3}+zw+w^{2}.$

Für welche Punkte ${}P\in {\mathbb {C} }^{2}$ ist die Tangentialabbildung

$T_{P}{\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow T_{\varphi (P)}{\mathbb {C} }$

surjektiv?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Fixpunkte der Abbildung

${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(s,t)\longmapsto (t,s).$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein Polynom vom Grad ${}\geq 2$ und sei

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$

die zugehörige Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ keine Überlagerung ist.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,F\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,G\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,H\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von kommutativen topologischen Gruppen (mit stetigen Gruppenhomomorphismen). Es trage ${}F$ die induzierte Topologie von ${}G$ und die Surjektion ${}p\colon G\rightarrow H$ habe die Eigenschaft, dass es zu jedem Element ${}h\in H$ eine offene Umgebung ${}h\in W\subseteq H$ und einen stetigen Schnitt zu ${}p$ gibt. Zeige, dass dann für jeden topologischen Raum ${}X$ die zugehörige Sequenz der Garben der stetigen Abbildungen in diese Gruppen, also

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,F)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,G)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,H)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,$

ebenfalls exakt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche und sei ${}f$ eine holomorphe Funktion auf ${}X$. Zeige, dass der Funktionskeim ${}f_{Q}$ zu einem Punkt ${}Q\in X$ nur zu einem Funktionskeim ${}f_{P}$ (in einem Punkt ${}P\in X$) analytisch fortgesetzt werden kann.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das Wegintegral zur holomorphen Differentialform ${}z^{2}dz$ auf ${}{\mathbb {C} }$ bezüglich des Weges

$\gamma \colon [-1,0]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto 2t^{2}-{\mathrm {i} }t.$

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass für eine endliche holomorphe Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

zwischen riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ und einer holomorphen Differentialform ${}\omega$ auf ${}Y$ mit dem zugehörigen Divisor ${}D=\operatorname {div} {\left(\omega \right)}$ der zurückgezogene Divisor ${}\varphi ^{*}D$ im Allgemeinen nicht der Divisor zur zurückgezogenen Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ ist.

Aufgabe * (6 (1+4+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}P\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ ein Punkt der projektiven Geraden und ${}n\in \mathbb {Z}$.

1. Zeige, dass die zugehörige invertierbare Garbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(nP)$ unabhängig vom Punkt ${}P$ ist. Wir bezeichnen sie mit ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(n)$.
2. Bestimme eine Basis des Vektorraumes ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(n\{\infty \})\right)}$ als Untervektorraum von

   ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {M}}\right)}={\mathbb {C} }(z)\,.$

3. Bestimme die Dimension von ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(n)\right)}$.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht ${}1$. Es sei ${}D$ ein Divisor auf ${}X$ vom Grad ${}3$ und sei ${}{\mathcal {O}}_{X}(D)$ die zugehörige invertierbare Garbe auf ${}X$.

1. Zeige, dass ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}$ die Dimension ${}3$ besitzt.
2. Es sei ${}x,y,z$ eine Basis von ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}$. Zeige, dass es in ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(3D)\right)}$ eine nichttriviale Beziehung zwischen den Monomen in ${}x,y,z$ vom Grad ${}3$ geben muss.

Aufgabe * (5 (3+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die meromorphe Differentialform ${}\omega ={\frac {z+1}{z(z-1)}}dz$ auf der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$.

1. Bestimme zu jedem Punkt den zugehörigen Hauptteil der Differentialform.
2. Berechne in jedem Punkt das Residuum.
3. Bestätige, dass das Gesamtresiduum gleich ${}0$ ist.

Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, ${}z\longmapsto {\frac {(z-1)(z+1)}{z}}$, die durch die rationale Funktion ${}{\frac {(z-1)(z+1)}{z}}$ gegebene holomorphe Abbildung von der projektiven Geraden in sich.

1. Bestimme den Verzweigungsdivisor ${}R$ von ${}\varphi$.
2. Beweise die Formel von Riemann-Hurwitz

   ${}\operatorname {Grad} \,(R)=2{\left(\operatorname {Grad} \,(\varphi )-1\right)}\,$

   in diesem Fall direkt.