Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 19

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}f\neq 0$ eine meromorphe Funktion auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche ${}X$. Zeige, dass ${}f$ genau dann holomorph ist, wenn der Hauptdivisor ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ effektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}f\neq 0$ eine meromorphe Funktion auf einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche ${}X$. Es sei

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{i\in I}P_{i}-\sum _{i\in I}Q_{i}\,$

der Hauptdivisor zu ${}f$. Zeige, dass die Anzahl von ${}I$ gleich der Blätterzahl der nach Satz 18.6 zu ${}f$ gehörenden holomorphen Abbildung

$X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche mit dem Körper ${}{\mathcal {M}}{\left(X\right)}$ der meromorphen Funktionen. Zeige, dass die Zuordnung

${\mathcal {M}}{\left(X\right)}^{\times }\longrightarrow \operatorname {Div} \,(X),\,f\longmapsto \operatorname {div} {\left(f\right)},$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Wann sind die Divisorengruppen ${}\operatorname {Div} {\left(X\right)}$ und ${}\operatorname {Div} {\left(Y\right)}$ zu zwei riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ isomorph?

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Zeige, dass durch die Zuordnung

$U\longmapsto \operatorname {Div} {\left(U\right)}$

eine Garbe von kommutativen Gruppen auf ${}X$ gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}{{\mathcal {D}}iv}_{X}$ die Garbe der Divisoren auf einer riemannschen Fläche ${}X$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. ${}{{\mathcal {D}}iv}_{X}$ ist im Allgemeinen nicht welk.
2. Für jeden Punkt ${}P\in X$ und jede offene Umgebung ${}P\in U$ ist die Abbildung

   $\Gamma {\left(U,{{\mathcal {D}}iv}_{X}\right)}\longrightarrow {{\mathcal {D}}iv}_{X,P}$

   surjektiv.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche. Zeige, dass eine kurze exakte Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }\,{\stackrel {\operatorname {div} {\left(-\right)}}{\longrightarrow }}\,{{\mathcal {D}}iv}_{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vorliegt, wobei in der Mitte die Garbe der meromorphen Funktionen ${}\neq 0$ und rechts die Garbe der Divisoren steht.

Aufgabe

Zeige, dass auf einer zusammenhängenden kompakten riemannschen Fläche der exakte Komplex

$1\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathcal {M}}{\left(X\right)}^{\times }\longrightarrow \operatorname {Div} {\left(X\right)}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(X\right)}\longrightarrow 0$

vorliegt.

Aufgabe

Zeige, dass zu einer nichtkonstanten holomorphen Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ der Rückzug von Divisoren ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es seien ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ und ${}\psi \colon Y\rightarrow Z$ nichtkonstante holomorphe Abbildungen zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X,Y$ und ${}Z$. Zeige, dass für den Rückzug von Divisoren die Beziehung

${}(\psi \circ \varphi )^{*}D=\varphi ^{*}(\psi ^{*}D)\,$

gilt.

Aufgabe

Zeige, dass auf einer kompakten riemannschen Fläche ${}X$ der Grad einen Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {Div} {\left(X\right)}\longrightarrow \mathbb {Z}$

definiert.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}X$ ist biholomorph zur projektiven Geraden.
2. Die Divisorenklassengruppe vom Grad ${}0$ ist trivial.
3. Je zwei Punkte ${}P\neq Q$ sind zueinander linear äquivalent
4. Es gibt zwei Punkte ${}P\neq Q$, die zueinander linear äquivalent sind.