Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 20

Aufgaben

Aufgabe

Bestimme auf der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ die Divisoren zu den folgenden meromorphen Funktionen und meromorphen Differentialformen.

1. ${}z$ und ${}dz$.
2. ${}z^{n}$ und ${}dz^{n}$.
3. ${}z^{2}-z$ und ${}d{\left(z^{2}-z\right)}$.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche und ${}\omega$ eine meromorphe Differentialform auf ${}X$. Zeige, dass ${}\omega$ genau dann holomorph ist, wenn der zugehörige Divisor effektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Zeige, dass die Divisoren zu meromorphen Differentialformen folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Die Divisoren zu meromorphen Differentialformen sind linear äquivalent.
2. Für eine meromorphe Differentialform ${}\omega \neq 0$ und eine meromorphe Funktion ${}f\neq 0$ ist

   ${}\operatorname {div} {\left(f\omega \right)}=\operatorname {div} {\left(f\right)}+\operatorname {div} {\left(\omega \right)}\,.$

3. Für eine nichtkonstante meromorphe Funktion ${}f$ gilt für Punkte aus dem Träger des Hauptdivisors ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ die Beziehung

   ${}\operatorname {div} {\left(df\right)}_{P}=\operatorname {div} {\left(f\right)}_{P}-1\,.$

   Für Punkte außerhalb des Trägers gilt die Abschätzung

   ${}\operatorname {div} {\left(df\right)}_{P}\geq 0\,.$

Für die beiden folgenden Aufgaben siehe auch Lemma 31.7 und Satz 31.8.

Aufgabe *

Zeige, dass für eine endliche holomorphe Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

zwischen riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ und einer holomorphen Differentialform ${}\omega$ auf ${}Y$ mit dem zugehörigen Divisor ${}D=\operatorname {div} {\left(\omega \right)}$ der zurückgezogene Divisor ${}\varphi ^{*}D$ im Allgemeinen nicht der Divisor zur zurückgezogenen Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ ist.

Den Rückzug einer meromorphen Differentialform kann man wie im holomorphen Fall lokal definieren.

Aufgabe *

Zeige, dass für eine endliche holomorphe Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

zwischen kompakten riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ und einer meromorphen Differentialform ${}\omega$ auf ${}Y$ mit dem zugehörigen Divisor ${}D=\operatorname {div} {\left(\omega \right)}$ der zurückgezogene Divisor ${}\varphi ^{*}D$ im Allgemeinen nicht der Divisor (und auch nicht die Divisorklasse) zur zurückgezogenen Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ ist.

Wenn in den Aufgaben von einem beringten Raum gesprochen wird, so darf man sich gerne auf eine riemannsche Fläche mit der Garbe der holomorphen Funktionen beschränken.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {F}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul auf einem beringten Raum ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$. Zeige, dass zu jedem Punkt ${}P\in X$ der Halm ${}{\mathcal {F}}_{P}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X,P}$- Modul ist.

Aufgabe

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Moduln auf einem beringten Raum ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$. Zeige, dass dann auch die direkte Summe ${}{\mathcal {F}}\oplus {\mathcal {G}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {F}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul auf einem beringten Raum ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ und ${}{\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Untermodul. Zeige, dass die Quotientengarbe ${}{\mathcal {F}}/{\mathcal {G}}$ in natürlicher Weise ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul ist.

Aufgabe *

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein beringter Raum und sei ${}{\mathcal {M}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul auf ${}X$. Zeige, dass globale Schnitte ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ Anlass zu einem eindeutig bestimmten Modulhomomorphismus

$\varphi \colon {\mathcal {O}}_{X}^{n}\longrightarrow {\mathcal {M}},\,e_{i}\longmapsto s_{i},$

geben.

Aufgabe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$ Modulgarben auf ${}X$. Es sei

$\varphi \colon {\mathcal {M}}\longrightarrow {\mathcal {N}}$

ein Garbenmorphismus und es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Wenn die Abbildungen

   $\varphi _{U_{i}}\colon \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {N}}\right)}$

   für alle ${}i$ mit der Addition verträglich sind, so gilt dies auch für

   $\varphi _{X}\colon \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {N}}\right)}.$

2. Wenn die

   $\varphi _{U_{i}}\colon \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {N}}\right)}$

   für alle ${}i$ mit den ${}\Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$-Skalarmultiplikationen verträglich sind, so gilt dies auch für

   $\varphi _{X}\colon \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {N}}\right)}.$

3. Wenn die

   $\varphi {|}_{U_{i}}\colon {\mathcal {M}}{|}_{U_{i}}\longrightarrow {\mathcal {N}}{|}_{U_{i}}$

   ${}{\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}$- Modulhomomorphismen für alle ${}i$ sind, so gilt dies auch für ${}\varphi$.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf einem beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$. Zeige, dass die duale Garbe ${}{\mathcal {L}}^{*}$ ebenfalls invertierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {L}}$ und ${}{\mathcal {M}}$ invertierbare Garben auf einem beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$. Zeige, dass die Tensorierung ${}{\mathcal {L}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {M}}$ ebenfalls invertierbar ist.

Aufgabe

Es seien ${}{\mathcal {L}}$ und ${}{\mathcal {M}}$ invertierbare Garben auf einem beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und sei ${}\varphi \colon {\mathcal {L}}\rightarrow {\mathcal {M}}$ ein surjektiver Modulhomomorphismus. Zeige, dass ${}\varphi$ ein Isomorphismus ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Halme zu einer beliebigen invertierbaren Garbe ${}{\mathcal {L}}$ auf einer beliebigen riemannschen Fläche ${}X$ in einem beliebigen Punkt stets zueinander isomorph sind.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche, ${}D$ ein Divisor und ${}{\mathcal {O}}_{X}(D)$ die zugehörige invertierbare Garbe. Zeige, dass ${}D$ genau dann effektiv ist, wenn ${}{\mathcal {O}}_{X}(D)$ einen nichttrivialen globalen Schnitt besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass ein Divisor ${}D$ auf einer riemannschen Fläche ${}X$ genau dann ein kanonischer Divisor ist, wenn die zugehörige invertierbare Garbe isomorph zur Garbe der holomorphen Differentialformen ist.

Aufgabe *

Zeige, dass auf einer riemannschen Fläche ${}X$ jede invertierbare Untergarbe der Garbe der meromorphen Funktionen von einem Divisor herrührt.

Aufgabe *

Es sei ${}P\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ ein Punkt der projektiven Geraden und ${}n\in \mathbb {Z}$.

1. Zeige, dass die zugehörige invertierbare Garbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(nP)$ unabhängig vom Punkt ${}P$ ist. Wir bezeichnen sie mit ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(n)$.
2. Bestimme eine Basis des Vektorraumes ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(n\{\infty \})\right)}$ als Untervektorraum von

   ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {M}}\right)}={\mathbb {C} }(z)\,.$

3. Bestimme die Dimension von ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(n)\right)}$.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche und ${}D$ ein Divisor auf ${}D$. Zu ${}n\in \mathbb {N}$ betrachten wir die invertierbaren Garben ${}{\mathcal {O}}_{X}(nD)$ (als Untergarben der Garbe der meromorphen Funktionen). Zeige die folgenden Aussagen.

1. Mit ${}f\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nD)\right)}$ und ${}g\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD)\right)}$ ist ${}fg\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}((n+m)D)\right)}$.
2. Die Vereinigung ${}R_{D}:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nD)\right)}$ ist ein Unterring von ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$.
3. Es sei ${}D$ ein effektiver Divisor auf ${}X$ mit den Trägerpunkten ${}P_{1},\ldots ,P_{k}$. Dann ist

   ${}R_{D}=\Gamma {\left(X\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{k}\},{\mathcal {O}}_{X}\right)}\cap \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche und ${}D$ ein Divisor auf ${}D$. Zu ${}n\in \mathbb {N}$ betrachten wir die invertierbaren Garben ${}{\mathcal {O}}_{X}(nD)$ (als Untergarben der Garbe der meromorphen Funktionen). Zeige die folgenden Aussagen.

1. Mit ${}f\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nD)\right)}$ und ${}g\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD)\right)}$ ist ${}fg\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}((n+m)D)\right)}$.
2. Die direkte Summe ${}A_{D}:=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nD)\right)}$ ist eine kommutative ${}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$- Algebra.
3. Die Algebra ${}A_{D}$ ist ein Unterring des Polynomrings ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}[T]$.