Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 9

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$. Zeige, dass ${}\varphi$ in einem Punkt ${}x\in X$ genau dann verzweigt ist, wenn die Tangentialabbildung

$T_{x}X\longrightarrow T_{\varphi (x)}Y$

die Nullabbildung ist.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$. Zeige, dass der Verzweigungsort von ${}\varphi$ diskret ist.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$. Zeige, dass das Verzweigungsbild von ${}\varphi$ diskret in ${}Y$ ist.

Aufgabe

Man charakterisiere für ein Polynom

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$

den Verzweigungsort, die Verzweigungsordnungen in den Verzweigungspunkten und das Verzweigungsbild.

Aufgabe *

Bestimme für das Polynom

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3}+4z^{2}+3z+1,$

den Verzweigungsort, die Verzweigungsordnungen in den Verzweigungspunkten und das Verzweigungsbild.

Aufgabe

Es sei

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$

ein nichtkonstantes Polynom und ${}b\in {\mathbb {C} }$. Zeige, dass ${}b$ genau dann zum Verzweigungsbild von ${}P$ gehört, wenn in der Linearfaktorzerlegung von ${}P-b$ zumindest ein Linearfaktor mehrfach vorkommt.

Aufgabe

Es sei

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$

ein nichtkonstantes Polynom und ${}b\in {\mathbb {C} }$. Es sei

${}P-b=(Z-a_{1})^{r_{1}}(Z-a_{2})^{r_{2}}\cdots (Z-a_{m})^{r_{m}}\,$

die Zerlegung in Linearfaktoren mit verschiedenen ${}a_{j}$. Wie sieht das Urbild ${}P^{-1}(U)$ für eine hinreichend kleine offene Umgebung ${}a\in U$ aus und auf welche Gestalt kann man die Einschränkung

$P{|}_{P^{-1}(U)}\colon P^{-1}(U)\longrightarrow U$

bringen?

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für ein Polynom ${}P\in {\mathbb {C} }[Z]$ derart, dass die zugehörige Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$

in ${}5$ einen Verzweigungspunkt mit Verzweigungsordnung ${}3$, in ${}4-{\mathrm {i} }$ einen Verzweigungspunkt mit Verzweigungsordnung ${}2$ besitzt und ansonsten unverzweigt ist. Was ist das Verzweigungsbild?

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für ein Polynom ${}P\in {\mathbb {C} }[Z]$ derart, dass die zugehörige Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$

in ${}1$ einen Verzweigungspunkt mit Verzweigungsordnung ${}2$, in ${}2+{\mathrm {i} }$ einen Verzweigungspunkt mit Verzweigungsordnung ${}2$, in ${}{\mathrm {i} }$ einen Verzweigungspunkt mit Verzweigungsordnung ${}3$ besitzt, und ansonsten unverzweigt ist. Was ist das Verzweigungsbild?

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine holomorphe Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ mit der Eigenschaft, dass das Verzweigungsbild von ${}\varphi$ nicht diskret in ${}Y$ ist.

Man denke an Funktionen wie ${}\sin {\frac {1}{z}}$.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$. Zeige, dass es zu jedem stetigen Weg

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow Y$

und einen Punkt ${}x\in X$ mit ${}\varphi (x)=\gamma (0)$ eine stetige Liftung

${\tilde {\gamma }}\colon [0,1]\longrightarrow X$

mit ${}{\tilde {\gamma }}(0)=x$ gibt. Zeige ferner, dass die Liftung nicht eindeutig sein muss.

Aufgabe *

Es sei

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2},$

die Quadratabbildung. Bestimme eine stetige Liftung ${}{\tilde {\gamma }}$ zum linearen Weg

$\gamma \colon [-1,1]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto t,$

mit der Anfangsbedingung ${}{\tilde {\gamma }}(-1)={\mathrm {i} }$. Ist die Liftung eindeutig?

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$. Zeige, dass es zu einer holomorphen Kurve

$\theta \colon U{\left(0,1\right)}\longrightarrow Y$

im Allgemeinen keine stetige Liftung

${\tilde {\theta }}\colon U{\left(0,1\right)}\longrightarrow X$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Kreisscheibe und ${}Y$ die disjunkte Vereinigung einer Kreisscheibe mit einer punktierten Kreisscheibe zusammen mit der natürlichen Abbildung ${}p\colon Y\rightarrow U$. Zeige, dass

$p^{-1}(U\setminus \{0\})\longrightarrow U\setminus \{0\}$

eine holomorphe Überlagerung ist und dass es dazu eine Decktransformation gibt, die man nicht auf ganz ${}Y$ ausdehnen kann.

Aufgabe

Zeige, dass man Lemma 6.16 nicht auf Decktransformationen zu einer endlichen holomorphen Abbildung ${}p\colon Y\rightarrow X$ übertragen kann.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$. Es sei ${}V\subseteq Y$ eine nichtleere offene Teilmenge mit der zugehörigen Einschränkung

$\varphi ^{-1}(V)\longrightarrow V.$

Zeige, dass die

$\operatorname {Deck} {\left(X{|}Y\right)}\longrightarrow \operatorname {Deck} {\left(\varphi ^{-1}(V){|}V\right)},\,\theta \longmapsto \theta {|}_{\varphi ^{-1}(V)},$

injektiv, aber im Allgemeinen nicht surjektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$. Zeige, dass eine Decktransformation

$\theta \colon X\longrightarrow X$

einen Punkt ${}x$ mit Verzweigungsordnung ${}n$ auf einen Punkt mit der Verzweigungsordnung ${}n$ abbildet.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3}-z+1.$

Zeige, dass es keine nichttriviale Decktransformation zu dieser Abbildung gibt. Konstruiere daraus eine Überlagerung mit Blätterzahl ${}3$, deren Decktransformationsgruppe trivial ist und die somit nicht normal ist.