Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 8

Aufgaben

Aufgabe

Es seien ${}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ vollständige Gitter. Zeige, dass es eine ${}\mathbb {R}$- lineare Abbildung

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

gibt, die einen Gruppenisomorphismus

$\Gamma _{1}\longrightarrow \Gamma _{2}$

induziert.

Aufgabe

Es seien ${}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ rationale vollständige Gitter. Zeige, dass es eine ${}\mathbb {Q}$- lineare Abbildung

$\mathbb {Q} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Q} ^{n}$

gibt, die einen Gruppenisomorphismus

$\Gamma _{1}\longrightarrow \Gamma _{2}$

induziert.

Aufgabe

Es seien ${}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ rationale vollständige Gitter. Zeige, dass es ein rationales Gitter ${}\Gamma \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ mit ${}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq \Gamma$ gibt.

Aufgabe

Alle Springmäuse leben in ${}\mathbb {Z} ^{2}$ und verfügen über zwei Sprünge, nämlich den Sprung ${}\pm (3,4)$ und den Sprung ${}\pm (5,2)$. Wie viele Springmaus-Populationen gibt es? Die Springmäuse Albert, Beate, Erich, Heinz, Sabine und Frida sitzen in den Positionen

$(14,11),\,(13,15),\,(17,12),\,(15,19),\,(16,16){\mbox{ und }}(12,20).$

Welche Springmäuse können sich begegnen?

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma =\langle r+s{\mathrm {i} },t+u{\mathrm {i} }\rangle$ ein Gitter in ${}{\mathbb {C} }$ mit ${}r,s,t,u\in \mathbb {Z}$ und

${}ru-st=1\,.$

Zeige, dass ${}\Gamma$ das Standardgitter ${}\langle 1,{\mathrm {i} }\rangle$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Untergruppe

${}\mathbb {Z} +\mathbb {Z} \cdot {\sqrt {3}}\subseteq \mathbb {R} \,$

dicht ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Einheitskreis

${}S_{\mathbb {R} }^{1}={\left\{z\in \mathbb {R} [{\mathrm {i} }]\cong {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert =1\right\}}\,$

isomorph zu ${}\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ ist.

Aufgabe

Charakterisiere die Restklassengruppe eines Gitters ${}\Gamma \subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Aufgabe

Betrachte die Kreislinie ${}S^{1}$. Definiere eine differenzierbare Gruppenstruktur auf ${}S^{1}$, also ein neutrales Element ${}P\in S^{1}$, eine differenzierbare Abbildung

$\alpha \colon S^{1}\longrightarrow S^{1},\,x\longmapsto \alpha (x),$

und eine differenzierbare Abbildung

$T=S^{1}\times S^{1}\longrightarrow S^{1},\,(x,y)\longmapsto \varphi (x,y),$

derart, dass ${}S^{1}$ mit diesen Daten zu einer kommutativen Gruppe wird.

Aufgabe

Zeige, dass die Gruppen ${}(\mathbb {R} ,+)$, ${}(\mathbb {R} \setminus \{0\},\cdot )$, ${}({\mathbb {C} },+)$, ${}({\mathbb {C} }\setminus \{0\},\cdot )$, ${}(\mathbb {R} ^{n},+)$, ${}(S^{1},{\text{ mit der Winkeladdition}})$, die allgemeine lineare Gruppe ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ bzw. ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ topologische Gruppen sind.

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}G$, die zugleich eine Gruppe ist, für die die Inversenabbildung und die Gruppenverknüpfung differenzierbare Abbildungen sind, heißt (reelle) Lie-Gruppe.

Aufgabe

Zeige, dass die Gruppen ${}(\mathbb {R} ,+)$, ${}(\mathbb {R} \setminus \{0\},\cdot )$, ${}({\mathbb {C} },+)$, ${}({\mathbb {C} }\setminus \{0\},\cdot )$, ${}(\mathbb {R} ^{n},+)$, ${}(S^{1},{\text{ mit der Winkeladdition}})$, die allgemeine lineare Gruppe ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ bzw. ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ Lie-Gruppen sind.

Aufgabe

Zeige, dass das Tangentialbündel auf einer Lie-Gruppe trivial ist.

Tipp: Zeige, dass man den Tangentialraum am neutralen Element in sinnvoller Weise in die anderen Tangentialräume transportieren kann.

Aufgabe

Betrachte die allgemeine lineare Gruppe ${}G=\operatorname {GL} _{n}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\subseteq \mathbb {R} ^{n^{2}}$ als offene Untermannigfaltigkeit des ${}\mathbb {R} ^{n^{2}}$. Definiere eine differenzierbare Gruppenstruktur auf ${}G$, also ein neutrales Element ${}P\in G$, eine differenzierbare Abbildung

$\alpha \colon G\longrightarrow G,\,x\longmapsto \alpha (x),$

und eine differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon G\times G\longrightarrow G,\,(x,y)\longmapsto \varphi (x,y),$

derart, dass ${}G$ mit diesen Daten zu einer Gruppe wird.

Aufgabe

Zeige, dass das Tangentialbündel auf einer Lie-Gruppe trivial ist.

Tipp: Zeige, dass man den Tangentialraum am neutralen Element in sinnvoller Weise in die anderen Tangentialräume transportieren kann.

Aufgabe

Beschreibe den Torus ${}S^{1}\times S^{1}$ als Rotationsmenge im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe

Es sei ${}R>0$ und betrachte die Abbildung

$\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}.$

Bestimme die regulären Punkte der Abbildung und die Gestalt der Faser über ${}s\in \mathbb {R}$. Wie ändert sich die Gestalt beim Übergang von ${}{\sqrt {s}}<R$ zu ${}{\sqrt {s}}>R$.

Aufgabe

Definiere die Abbildung

$S^{1}\times S^{1}\longrightarrow S^{2},$

die zu einem Winkelpaar ${}(\alpha ,\beta )$ die erste Komponente als Äquatorpunkt interpretiert und von dort aus mit der zweiten Komponente auf dem Großkreis Richtung Norden wandert. Ist die Abbildung differenzierbar? Wie sehen die Fasern der Abbildung aus?

Aufgabe

Man gebe ein heuristisches Argument, dass die Einheitssphäre ${}S^{2}$ und der Torus ${}S^{1}\times S^{1}$ nicht homöomorph sind.

Aufgabe

Zu welcher differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist ${}S^{1}\times S^{1}\setminus \triangle$, also der Torus ohne die Diagonale, diffeomorph?

Aufgabe *

Es sei ${}X$ ein Torus. Man gebe eine surjektive differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow X$

derart an, dass auch die Tangentialabbildung

$T_{P}(\varphi )\colon T_{P}\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow T_{\varphi (P)}X$

in jedem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ surjektiv ist.

Aufgabe

Zeige, dass es auf einem Torus bijektive stetig differenzierbare Abbildungen ohne Fixpunkt gibt.

Aufgabe

Es sei ${}T$ ein Torus. Zeige, dass die Vorgabe einer Basis der Fundamentalgruppe von ${}T$ im Wesentlichen äquivalent zur Angabe einer Homöomorphie ${}T\cong S^{1}\times S^{1}$ ist.

Aufgabe *

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume und sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ ein stetiger Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass dann ${}\varphi$ eine ${}\mathbb {R}$- lineare Abbildung ist.