Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 7


In einer Wand befinden sich zwei Nägel, an denen eine Halskette aufgehängt werden soll. Wie kann man die Kette aufhängen, dass, sobald man nur einen der Nägel herauszieht, die Kette herrunterfällt?



Es sei ein topologischer Raum und . Zeige, dass die Homotopie von Wegen eine Äquivalenzrelation auf der Menge der stetigen Wege von nach ist.



Es sei ein topologischer Raum. Zeige, dass die Verknüpfung von stetigen Wegen

durch Hintereinanderlegung zu einer wohldefinierten Verknüpfung auf den Homotopieklassen von Wegen führt.



Es sei ein topologischer Raum und . Zeige, dass die Verknüpfung eines stetigen geschlossenen Weges mit Aufpunkt mit dem konstanten Weg homotop zu ist.



Es sei ein topologischer Raum und . Es sei

ein stetiger Weg von nach und sei der umgekehrt durchlaufene Weg, also . Zeige, dass die Verknüpfung homotop zum konstanten Weg ist.



Es sei ein topologischer Raum und seien Punkte. Es seien und homotope Wege von nach . Zeige, dass auch die Rückwege und zueinander homotop sind.



Es sei ein topologischer Raum und . Zeige, dass die Verknüpfung von Homotopieklassen geschlossener Wege mit Aufpunkt assoziativ ist.



Es sei ein topologischer Raum und

ein stetiger geschlossener Weg. Zeige, dass genau dann nullhomotop ist, wenn es eine stetige Fortsetzung von auf die abgeschlossene Kreisscheibe gibt.



Zeige, dass der kontrahierbar ist.



Es sei ein wegzusammenhängender topologischer Raum und seien Punkte. Zeige, dass die Fundamentalgruppen und und zueinander isomorph sind.



Es sei eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und mit . Zeige, dass die Zuordnung

eine wohldefinierte Abbildung auf der Menge der Homotopieklassen geschlossener Wege (mit Aufpunkt bzw. ) induziert.



Es sei eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und mit . Zeige, dass die Zuordnung

zu einem Gruppenhomomorphismus

führt.



Zeige, dass bei der einfach zusammenhängend ist.



Zeige explizit, dass der stetige Weg

nullhomotop ist.


Es sei eine Gruppe, dann heißt die von

erzeugte Gruppe die Kommutatoruntergruppe von .



Es sei eine Gruppe. Zeige, dass genau dann kommutativ ist, wenn die Kommutatoruntergruppe trivial ist.



Es seien und Gruppen und sei

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Beziehung .


Zu einer Gruppe heißt die Restklassengruppe , wobei die Kommutatorgruppe von bezeichnet, die Abelianisierung von .



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