Kurs:Topologie (Osnabrück 2008-2009)/Vorlesung 2

Der Begriff des topologischen Raumes ist entstanden, um angemessen von stetigen Abbildungen reden zu können. Zur Erinnerung und zur Motivation erläutere ich zunächst den Begriff der stetigen Abbildung im Fall metrischer Räume. Hier tauchen noch positive reelle Zahlen auf, und die globale Stetigkeit wird mit Hilfe der lokalen Stetigkeit definiert. Das Bestreben, diese Einschränkungen zu vermeiden, führt schnell auf den fundamentalen Begriff der offenen Menge. Eine Topologie auf einer Menge ${}X$ besteht nun gerade darin, eine Familie von offenen Mengen auszuzeichnen, die gewissen einfachen Bedingungen genügt. Diese Bedingungen lauten umgangssprachlich:

1. Die leere Menge ist offen.
2. Der Schnitt von zwei offenen Mengen ist offen.
3. Die Vereinigung von beliebig vielen offenen Mengen ist offen.
4. Die ganze Menge ${}X$ ist offen.

Eine Abbildung von topologischen Räumen heißt stetig, wenn das Urbild einer jeden offenen Menge wieder offen ist.

Definition (Metrik oder Distanzfunktion)

Es sei ${}M$ eine Menge. Eine Abbildung ${}d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Metrik (oder Distanzfunktion), wenn für alle ${}x,y,z\in M$ die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. ${}d{\left(x,y\right)}=0$ genau dann, wenn ${}x=y$ ist (Definitheit),
2. ${}d{\left(x,y\right)}=d{\left(y,x\right)}$ (Symmetrie), und
3. ${}d{\left(x,y\right)}\leq d{\left(x,z\right)}+d{\left(z,y\right)}$ (Dreiecksungleichung).

Ein metrischer Raum ist ein Paar ${}(M,d)$, wobei ${}M$ eine Menge und ${}d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ eine Metrik ist.

Man kann leicht aus den Bedingungen folgen, dass eine Metrik nur nichtnegative Werte annimmt. Der Wert ${}d(x,y)$ gibt den Abstand der Punkte ${}x$ und ${}y$ bezüglich ${}d$ an. Oft wird die Metrik nicht in der Notation erwähnt, obwohl es Situationen gibt, in denen verschiedene Metriken auf ein- und derselben Menge betrachtet werden.

Beispiel (Metrischer Raum)

• Es sei ${}V$ ein ${}\mathbb {R}$ -Vektorraum und ${}\vert \vert \,\vert \vert \colon V\to \mathbb {R}$ eine Norm auf ${}V$. Dann ist ${}d(x,y):=\vert \vert x-y\vert \vert$ eine Metrik auf ${}V$, wie man leicht nachrechnet. Somit ist jeder normierte Vektorraum ein metrischer Raum. Ein wichtiger Spezialfall ist der euklidische Raum ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit der durch die euklidische Norm

  ${}\vert \vert (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\vert \vert ={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}}\,$

  gegebenen Metrik.
• Auf jeder Menge ${}X$ lässt sich eine diskrete Metrik definieren durch

${}d(x,y):={\begin{cases}0&x=y\\1&x\neq y\end{cases}}\,\,$

• Ist ${}(X,d)$ ein metrischer Raum und ${}Y\subseteq X$ eine Teilmenge, so ist ${}(Y,d_{Y})$ wieder ein metrischer Raum, wobei ${}d_{Y}(y,z):=d(y,z)\,\forall \,y,z\in Y$.

Definition (Offene und abgeschlossene Kugel)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum, ${}x\in M$ und ${}\epsilon >0$ eine positive reelle Zahl. Es ist

${}U{\left(x,\epsilon \right)}={\left\{y\in M\mid d(x,y)<\epsilon \right\}}\,$

die offene und

${}B\left(x,\epsilon \right)={\left\{y\in M\mid d(x,y)\leq \epsilon \right\}}\,$

die abgeschlossene ${}\epsilon$-Kugel um ${}x$.

Natürlich müssen Kugeln nicht unbedingt kugelförmig aussehen, aber sie tun es in der euklidischen Norm. Die Kugeln bezüglich der Maximumsnorm sind hingegen Würfel. Der Kugelbegriff erlaubt folgende Formulierung der Stetigkeit.

Definition (Stetigkeit für Abbildungen metrischer Räume)

Es seien ${}(L,d_{1})$ und ${}(M,d_{2})$ metrische Räume,

$f\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung und ${}x\in L$. Die Abbildung ${}f$ heißt stetig in ${}x$, wenn für jedes ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart existiert, dass

${}f{\left(B\left(x,\delta \right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\epsilon \right)\,$

gilt. Die Abbildung ${}f$ heißt stetig, wenn sie stetig in ${}x$ für jedes ${}x\in L$ ist.

Eine Formulierung des Stetigkeitsbegriffs, der auf ${}\epsilon$ und ${}\delta$ verzichtet, erfordert einen neuen Begriff.

Definition (Umgebungen in metrischen Räumen)

Es sei ${}(X,d)$ ein metrischer Raum und ${}x\in X$. Eine Teilmenge ${}U\subseteq X$ mit ${}x\in U$ heißt Umgebung von ${}x\in X$, wenn ein ${}\epsilon >0$ existiert, so dass

${}U(x,\epsilon )\subseteq U\,$

gilt.

Mit Hilfe des Umgebungsbegriff kann man nun folgendes zeigen: Eine Abbildung metrischer Räume ist stetig in ${}x$, wenn zu jeder Umgebung ${}V$ von ${}f(x)$ eine Umgebung ${}U$ von ${}x$ existiert, so dass

${}f(U)\subseteq V\,$

gilt. Und wieder ist eine Abbildung stetig, wenn sie in jedem Punkt stetig ist. Man kann aber nach Einführung eines weiteren Begriffes sofort von der globalen Stetigkeit sprechen.

Definition (Offene Mengen in metrischen Räumen)

Es sei ${}(X,d)$ ein metrischer Raum. Eine Teilmenge ${}U\subseteq X$ heißt offen in ${}(X,d)$, wenn für jedes ${}x\in U$ eine Umgebung ${}V_{x}$ von ${}x$ existiert, so dass

${}V_{x}\subseteq U\,$

gilt.

Beispiel (Offene Mengen in metrischen Räumen)

1. Die leere Menge ist offen in jedem metrischen Raum.
2. Eine offene Kugel ist aufgrund der Dreiecksungleichung eine offene Menge.
3. Das abgeschlossene Intervall ${}[0,1]$ ist keine offene Menge in ${}\mathbb {R}$. Denn der Punkt ${}0$ besitzt keine Umgebung in ${}[0,1]$.
4. Ist ${}(X,d)$ ein metrischer Raum, so ist ${}X$ offen in ${}(X,d)$. Insbesondere ist ${}[0,1]$ offen in dem metrischen Raum ${}[0,1]$.

Diese Auswahl von Vokabeln liefert nun folgenden Satz.

Satz

Es seien ${}(X,d),(Y,e)$ metrische Räume und ${}f\colon X\to Y$ eine Abbildung.

Die Abbildung ${}f$ ist stetig genau dann, wenn für jede in ${}(Y,e)$ offene Menge ${}U$ das Urbild ${}f^{-1}(U)$ eine in ${}(X,d)$ offene Menge ist.

Beweis

Es sei zunächst ${}f$ stetig und ${}U\subseteq Y$ offen in ${}(Y,e)$. Es ist zu zeigen, dass ${}f^{-1}(U)$ offen ist in ${}(X,d)$. Ist ${}f^{-1}(U)$ die leere Menge, die ja immer offen ist, ist nichts zu zeigen. Es sei also ${}f^{-1}(U)\neq \emptyset$ und ${}x\in f^{-1}(U)$, also ${}f(x)\in U$. Da ${}U$ offen ist, gibt es eine Umgebung ${}W\subseteq U$ von ${}f(x)$. Weil ${}f$ stetig ist in ${}x$, existiert eine Umgebung ${}V$ von ${}x$ mit

${}f(V)\subseteq W\,.$

Insbesondere ist ${}V\subseteq f^{-1}(W)\subseteq f^{-1}(U)$ eine Umgebung von ${}x$ in ${}f^{-1}(U)$. Somit ist ${}f^{-1}(U)$ offen in ${}(X,d)$.

Es sei nun das Urbild unter ${}f$ einer jeden offenen Menge wieder offen. Um die Stetigkeit von ${}f$ nachzuweisen, sei ${}x\in X,\,\epsilon >0$ und ${}U(f(x),\epsilon )\subseteq Y$ eine offene Kugel um ${}f(x)$. Dies ist eine in ${}(Y,e)$ offene Menge. Das Urbild ${}f^{-1}{\bigl (}U(f(x),\epsilon ){\bigr )}$ ist also offen in ${}(X,d)$. Da ja ${}x\in f^{-1}{\bigl (}U(f(x),\epsilon ){\bigr )}$, gibt es ein ${}\delta >0$ mit ${}U(x,\delta )\subseteq f^{-1}{\bigl (}U(f(x),\epsilon ){\bigr )}$. Anders ausgedrückt: Es gilt

${}f{\bigl (}U(x,\delta ){\bigr )}\subseteq U(f(x),\epsilon )\,$

was die Stetigkeit von ${}f$ in ${}x\in X$ liefert.

$\Box$

Im Laufe der Zeit hat sich herausgestellt, dass der Begriff der offenen Mengen einen bequemen Umgang mit stetigen Abbildungen erlaubt. Nun braucht man nicht unbedingt eine Metrik, um von offenen Mengen reden zu können.

Definition (Topologie)

Es sei ${}X$ eine Menge. Eine Familie ${}{\mathcal {T}}$ von Teilmengen von ${}X$ heißt Topologie auf ${}X$, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:

1. Es ist ${}\emptyset \in {\mathcal {T}}$ und ${}X\in {\mathcal {T}}$.
2. Sind ${}U\in {\mathcal {T}}$ und ${}V\in {\mathcal {T}}$, so ist auch ${}U\cap V\in {\mathcal {T}}$.
3. Ist ${}I$ eine Indexmenge und ${}U_{i}\in {\mathcal {T}}$ für alle ${}i\in I$, so ist auch ${}\bigcup _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {T}}$.

Ein topologischer Raum ist ein Paar ${}(X,{\mathcal {T}})$, wobei ${}X$ eine Menge und ${}{\mathcal {T}}$ eine Topologie auf ${}X$ ist.

Bezeichnet ${}{\mathcal {P}}(X)$ die Potenzmenge, also die Menge aller Teilmengen, von ${}X$, so ist eine Topologie auf ${}X$ eine Teilmenge der Potenzmenge von ${}X$, die gewissen Bedingungen genügt. Es gilt also ${}\tau \in {\mathcal {P}}{\bigl (}{\mathcal {P}}(X){\bigr )}$.

Beispiel (Topologische Räume)

1. Es sei ${}(X,d)$ ein metrischer Raum. Es sei

   ${}\tau _{d}={\bigl \lbrace }U\subseteq X\colon U{\text{ ist offen in }}(X,d){\bigr \rbrace }\,$

   die Familie der offenen Teilmengen. Dann ist ${}\tau _{d}$ eine Topologie auf ${}X$. Denn die leere Menge ist offen, und ebenso ${}X$. Der Schnitt von zwei offenen Mengen ist offen, denn das Minimum zweier positiver reeller Zahlen ist wieder eine. Die Vereinigung von beliebig vielen offenen Mengen ist auch wieder offen. Die Dreiecksungleichung geht hier nicht ein!

2. Insbesondere ist der euklidische Raum ${}\mathbb {R} ^{n}$ ein topologischer Raum, wenn man die von der euklidischen Metrik induzierte Topologie nimmt.
3. Es sei ${}X$ eine Menge, dann ist die Potenzmenge ${}{\mathcal {P}}(X)$ aller Teilmengen von ${}X$ eine Topologie auf ${}X$. Die Axiome sind offensichtlich erfüllt. Dies ist die diskrete Topologie auf ${}X$.
4. Es sei ${}X$ eine Menge, dann ist die Familie ${}\{\emptyset ,X\}$ eine Topologie auf ${}X$. Die Axiome sind offensichtlich erfüllt. Dies ist die indiskrete Topologie auf ${}X$.
5. Es sei ${}X=\{a,b\}$, dann ist die Familie ${}{\bigl \lbrace }\emptyset ,\{a\},\{a,b\}{\bigr \rbrace }$ eine Topologie auf ${}X$. Die Axiome sind wieder offensichtlich erfüllt. Dieser topologische Raum heißt Sierpinski-Raum.
6. Es sei ${}X=\mathbb {R}$ und ${}\sigma$ die Familie der beschränkten Teilmengen von ${}\mathbb {R}$. Dann ist ${}\sigma$ keine Topologie, denn eine beliebige Vereinigung beschränkter Teilmengen ist nicht unbedingt beschränkt. Auch ${}X\notin \sigma$.

Nun haben wir mit folgender Definition ein vorläufiges Ziel erreicht.

Definition (Stetigkeit für Abbildungen topologischer Räume)

Es seien ${}(X,\tau ),(Y,\omega )$ topologische Räume und ${}f\colon X\to Y$ eine Abbildung der unterliegenden Mengen. Die Abbildung ${}f$ ist stetig, wenn ${}f^{-1}(U)\in \tau$ für jedes ${}U\in \omega$ gilt.

Man erhält leicht, dass stetige Abbildungen sich komponieren lassen.

Satz

Es seien ${}f\colon (X,\tau )\to (Y,\omega )$ und ${}g\colon (Y,\omega )\to (Z,\theta )$ stetige Abbildungen topologischer Räume.

Dann ist die Komposition ${}g\circ f$ stetig.

Des weiteren ist die Identitätsabbildung ${}\mathrm {id} \colon (X,\tau )\to (X,\tau )$ stetig.

Beweis

Es sei ${}U\in \theta$. Es ist zu zeigen, dass ${}(g\circ f)^{-1}(U)\in \tau$. Nun ist aber

${}(g\circ f)^{-1}(U)=f^{-1}{\bigl (}g^{-1}(U){\bigr )}\,$

und ${}g^{-1}(U)\in \omega$, weil ${}g$ stetig ist. Also ist ${}f^{-1}{\bigl (}g^{-1}(U){\bigr )}\in \tau$, weil ${}f$ stetig ist.

Da ${}\mathrm {id} ^{-1}(U)=U\,\forall \,U\subseteq X$ folgt die Aussage über die Identität.

$\Box$

Auch den Umgebungsbegriff kann man analog zu der Situation metrischer Räume formulieren.

Definition (Umgebungen in topologischen Räumen)

Es sei ${}(X,\tau )$ ein topologischer Raum und ${}x\in X$. Eine Teilmenge ${}U\subseteq X$ mit ${}x\in U$ heißt Umgebung von ${}x\in X$, wenn es eine offene Menge ${}V\subseteq X$ mit ${}x\in V$ und ${}V\subseteq U$ gilt.

Ist ${}(X,d)$ ein metrischer Raum und ${}(X,\tau _{d})$ der zugehörige topologische Raum, so gibt es a priori zwei Umgebungsbegriffe. Diese stimmen aber überein. Denn wenn ${}U$ eine metrische Umgebung von ${}x\in X$ ist, so gibt es ja eine offene ${}\epsilon$-Kugel um ${}x$, die noch ganz in ${}U$ liegt. Da offene Kugeln in ${}\tau _{d}$ enthalten sind, ist ${}U$ auch eine topologische Umgebung. Ist nun ${}V$ eine topologische Umgebung von ${}x\in X$, so gibt es ja eine Menge ${}U\in \tau _{d}$ mit ${}x\in U\subseteq V$. Nach Definition von ${}\tau _{d}$ existiert nun ein ${}\epsilon >0$ mit ${}U(x,\epsilon )\subseteq U$. Also ist ${}V$ auch eine metrische Umgebung.

Zudem erhält man folgende recht einfache Aussage.

Satz

Es sei ${}(X,\tau )$ ein topologischer Raum und ${}U\subseteq X$ eine Teilmenge.

Es ist ${}U\in \tau$ genau dann, wenn für jedes ${}x\in U$ noch eine Umgebung ${}x\in V_{x}\subseteq U$ existiert.

Beweis

Es sei zunächst ${}U\in \tau$ und ${}x\in U$. Dann ist ${}U$ selbst eine Umgebung von ${}x$. Ist nun ${}V_{x}\subseteq U$ eine Umgebung von ${}x$, so gibt es nach Definition eine Menge ${}W_{x}\in \tau$ mit ${}x\in W_{x}\subseteq V_{x}$. Dann ist ${}U=\bigcup _{x\in U}W_{x}\in \tau$ nach Axiom 3.

$\Box$

Sei nun ${}(X,\tau )$ ein topologischer Raum. Um den Sprachgebrauch zu vereinfachen, sagt man meist:

${}U$ ist offen in ${}(X,\tau )$ an Stelle von ${}U\in \tau$.

Aus dem gleichen Grund wird die Topologie in der Notation häufig unterschlagen. Gelegentlich ist es jedoch sinnvoll, eine Menge mit verschiedenen Topologien zu versehen.