Sesquilinearform/Hermitesch/Typ/Trägheitssatz/Kriterien/Textabschnitt

Definition

Eine Sesquilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem komplexen Vektorraum ${}V$ heißt hermitesch, wenn

${}\left\langle v,u\right\rangle ={\overline {\left\langle u,v\right\rangle }}\,$

für alle ${}u,v\in V$ ist.

Aus dieser Bedingung folgt sofort, dass bei ${}u=v$ der Wert ${}\left\langle v,v\right\rangle$ reell ist.

Definition

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einer hermiteschen Sesquilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Diese Form heißt

1. positiv definit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle >0$ für alle ${}v\in V$, ${}v\neq 0$ ist.
2. negativ definit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle <0$ für alle ${}v\in V$, ${}v\neq 0$ ist.
3. positiv semidefinit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle ${}v\in V$ ist.
4. negativ semidefinit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle \leq 0$ für alle ${}v\in V$ ist.
5. indefinit, wenn ${}\left\langle -,-\right\rangle$ weder positiv semidefinit noch negativ semidefinit ist.

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einer hermiteschen Form ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Man sagt, dass eine solche Form den Typ

$(p,q)$

besitzt, wobei

${}p:={\max {\left(\dim _{\mathbb {K} }{\left(U\right)},U\subseteq V,\,\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}{\text{ positiv definit}}\right)}}\,$

und

${}q:={\max {\left(\dim _{\mathbb {K} }{\left(U\right)},U\subseteq V,\,\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}{\text{ negativ definit}}\right)}}\,$

ist.

Satz

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum mit einer hermiteschen Sesquilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ ${}(p,q)$.

Dann ist die Gramsche Matrix von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich einer jeden Orthogonalbasis eine Diagonalmatrix mit ${}p$ positiven reellen und ${}q$ negativen reellen Einträgen.

Beweis

Bezüglich einer Orthogonalbasis ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ von ${}V$ (die es nach Fakt gibt) hat die Gramsche Matrix natürlich Diagonalgestalt, wobei die Diagonaleinträge reell sind. Es sei ${}p'$ die Anzahl der positiven Diagonaleinträge und ${}q'$ die Anzahl der negativen Diagonaleinträge. Die Basis sei so geordnet, dass die ersten ${}p'$ Diagonaleinträge positiv, die folgenden ${}q'$ Diagonaleinträge negativ und die übrigen ${}0$ seien. Auf dem ${}p'$-dimensionalen Unterraum ${}U=\langle u_{1},\ldots ,u_{p'}\rangle$ ist die eingeschränkte Sesquilinearform positiv definit, sodass ${}p'\leq p$ gilt. Sei ${}W=\langle u_{p'+1},\ldots ,u_{n}\rangle$, auf diesem Unterraum ist die Sesquilinearform negativ semidefinit. Dabei ist ${}V=U\oplus W$, und diese beiden Räume sind orthogonal zueinander.

 Angenommen, es gebe einen Unterraum ${}U'$, auf dem die Sesquilinearform positiv definit ist, und dessen Dimension ${}p$ größer als ${}p'$ ist. Die Dimension von ${}W$ ist ${}n-p'$ und daher ist ${}W\cap U'\neq 0$ nach Fakt.

Für einen Vektor ${}w\in W\cap U'$, ${}w\neq 0$, ergibt sich aber direkt der Widerspruch ${}\left\langle w,w\right\rangle >0$ und ${}\left\langle w,w\right\rangle \leq 0$.

$\Box$

Satz

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei ${}\Psi$ eine hermitesche Form auf ${}V$, die dem selbstadjungierten Endomorphismus

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

im Sinne von Fakt entspricht. Es sei ${}(p,q)$ der Typ von ${}\Psi$.

Dann ist ${}p$ die Anzahl der positiven Eigenwerte und ${}q$ die Anzahl der negativen Eigenwerte von ${}\varphi$, wobei man diese Anzahl mit der (algebraischen oder geometrischen) Vielfachheit nehmen muss.

Beweis

Nach Fakt zerfällt das charakteristische Polynom von ${}\varphi$ in reelle Linearfaktoren. Es seien ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r}$ die positiven Nullstellen und ${}\lambda _{r+1},\ldots ,\lambda _{s}$ die negativen Nullstellen. Nach Fakt liegt eine direkte, bezüglich des Skalarproduktes orthogonale Summenzerlegung

$V=\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{r}}{\left(\varphi \right)}\oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{r+1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{s}}{\left(\varphi \right)}\oplus \operatorname {Eig} _{0}{\left(\varphi \right)}\,$

vor (wobei ${}\operatorname {Eig} _{0}{\left(\varphi \right)}$ der Nullraum sein kann). Für Vektoren ${}v_{i}$ und ${}v_{j}$ aus verschiedenen Eigenräumen ist

${}\Psi (v_{i},v_{j})=\left\langle \varphi (v_{i}),v_{j}\right\rangle =\left\langle \lambda _{i}v_{i},v_{j}\right\rangle =\lambda _{i}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0\,,$

sodass die Eigenräume auch bezüglich der Form ${}\Psi$ orthogonal sind. Für

${}v=v_{1}+\cdots +v_{r}\neq 0\,$

mit ${}v_{i}\in \operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}$ ist

${}{\begin{aligned}\Psi (v,v)&=\Psi (v_{1},v_{1})+\cdots +\Psi (v_{r},v_{r})\\&=\Psi _{\varphi }(v_{1},v_{1})+\cdots +\Psi _{\varphi }(v_{r},v_{r})\\&=\left\langle \varphi (v_{1}),v_{1}\right\rangle +\cdots +\left\langle \varphi (v_{r}),v_{r}\right\rangle \\&=\left\langle \lambda _{1}v_{1},v_{1}\right\rangle +\cdots +\left\langle \lambda _{r}v_{r},v_{r}\right\rangle \\&=\lambda _{1}\left\langle v_{1},v_{1}\right\rangle +\cdots +\lambda _{r}\left\langle v_{r},v_{r}\right\rangle \\&>0.\end{aligned}}$

Auf diesem Unterraum ist also die eingeschränkte Form positiv definit, sodass

${}p\geq \sum _{i=1}^{r}\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}\right)}\,$

ist. Wäre ${}p$ echt größer als diese Dimension, so würde es einen ${}p$-dimensionalen Untervektorraum ${}W\subseteq V$ derart geben, dass die Einschränkung von ${}\Psi$ darauf positiv definit ist und so, dass nach Fakt

${}W\cap {\left(\operatorname {Eig} _{\lambda _{r+1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{s}}{\left(\varphi \right)}\oplus \operatorname {Eig} _{0}{\left(\varphi \right)}\right)}\neq 0\,$

ist. Dies ergibt direkt einen Widerspruch, da auf dem rechten Raum die Form ${}\Psi$ negativ semidefinit ist. Also ist

${}p=\sum _{i=1}^{r}\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}\right)}\,.$

Die Argumentation für ${}q$ verläuft gleich.

$\Box$

Mit den Eigenwerten ist auch die Determinante und das charakteristische Polynom der Gramschen Matrix zu einer hermiteschen Sesquilinearform reell. Die Hauptminoren sind also reelle Zahlen und wir erhalten auch über ${}{\mathbb {C} }$ das Minorenkriterium.

Satz

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine hermitesche Sesquilinearform auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum ${}V$ und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Es sei ${}G$ die Gramsche Matrix zu ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis. Die Determinanten ${}D_{k}$ der quadratischen Untermatrizen

${}M_{k}=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq k}\,$

seien für ${}k=1,\ldots ,n$ von ${}0$ verschieden. Es sei ${}a$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

$D_{0}=1,\,D_{1}=\det M_{1},\,D_{2}=\det M_{2},\ldots ,D_{n}=\det M_{n}=\det G.$

Dann ist ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ ${}(n-a,a)$.

Beweis

Da nach Voraussetzung insbesondere die Determinante der Gramschen Matrix nicht ${}0$ ist, ist nach Aufgabe die Bilinearform nicht ausgeartet und daher hat der Typ die Form ${}(n-q,q)$. Wir müssen zeigen, dass ${}q=a$ ist. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Dimension von ${}V$, wobei der Induktionsanfang trivial ist. Die Aussage sei bis zur Dimension ${}n-1$ bewiesen und es liege ein ${}n$-dimensionaler Raum mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ mit den angegebenen Eigenschaften vor. Der Untervektorraum

${}U=\langle v_{1},\ldots ,v_{n-1}\rangle \,$

hat die Dimension ${}n-1$ und die Folge der Determinanten der Untermatrizen der Gramschen Matrix zur eingeschränkten Form ${}\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}$ stimmt mit der vorgegebenen Folge überein, wobei lediglich das letzte Glied

${}D_{n}=\det M_{n}=\det G\,$

weggelassen wird. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt ${}\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}$ den Typ ${}(n-1-b,b)$, wobei ${}b$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

$D_{0}=1,\,D_{1},\ldots ,D_{n-1}$

ist. Aufgrund der Definition des Typs ist

${}b\leq q\leq b+1\,,$

da ein ${}q$-dimensionaler Untervektorraum ${}W\subseteq V$, auf dem die Bilinearform negativ definit ist, zu einem Untervektorraum

${}W'=U\cap W\subseteq U\,$

führt, der die Dimension ${}q$ oder ${}q-1$ besitzt und auf dem die eingeschränkte Form ebenfalls negativ definit ist. Nach Aufgabe ist das Vorzeichen von ${}D_{n-1}$ gleich ${}(-1)^{b}$ und das Vorzeichen von ${}D_{n}$ gleich ${}(-1)^{q}$. Das bedeutet, dass zwischen ${}D_{n-1}$ und ${}D_{n}$ ein zusätzlicher Vorzeichenwechsel (und somit ${}a=b+1$) genau dann vorliegt, wenn

${}q=b+1\,$

ist.

$\Box$