Topologischer Raum/Garben/Erste Kohomologie/Cech/Einführung/Textabschnitt

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes ${}X$. Für eine endliche Teilmenge ${}J\subseteq I$ setzen wir ${}U_{J}:=\bigcap _{i\in J}U_{i}$. Für ${}J\subseteq L\subseteq I$ ist ${}U_{L}\subseteq U_{J}$. Für eine Garbe ${}{\mathcal {G}}$ von kommutativen Gruppen auf ${}X$ betrachtet man die Auswertungen ${}{\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}$ zu den verschiedenen ${}J$, und zu ${}J\subseteq L$ gehören die Restriktionen ${}{\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}\rightarrow {\mathcal {G}}{\left(U_{L}\right)}$. Für ein Element ${}s\in {\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}$ schreiben wir dann abkürzend

${}s{|}_{L}=s{|}_{U_{L}}\,$

und oft häufig einfach ${}s$. Wir fixieren eine Wohlordnung auf ${}I$ (man braucht hauptsächlich den Fall für endliches ${}I$). Damit können wir nun Čech-Koketten, Čech-Ableitungen, Čech-Kozykel, Čech-Koränder, den Čech-Komplex und die Čech-Kohomologie definieren, die ein wichtiges Werkzeug zur Berechnung von Garbenkohomologien ist.

Definition

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung ${}{\mathcal {U}}$ eines topologischen Raumes ${}X$ und ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf ${}X$. Unter einer ${}k$-ten Čech-Kokette versteht man ein Element

${}(s_{J})\in {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}}):=\prod _{\left\{J\mid {\#\left(J\right)}=k+1\right\}}{\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}\,,$

wobei ${}U_{J}:=\bigcap _{i\in J}U_{i}$ bezeichnet.

Die Menge der ${}k$-ten Čech-Koketten ${}{\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$ bildet mit der komponentenweisen Addition, wobei eine Komponente durch eine Teilmenge ${}J\subseteq I$ gegeben ist, eine kommutative Gruppe. Für ${}k=0$ ist speziell

${}{\check {C}}^{0}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})=\prod _{i\in I}{\mathcal {G}}{\left(U_{i}\right)}\,,$

für ${}k=1$ ist

${}{\check {C}}^{1}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})=\prod _{\{i,j\}\subseteq I}{\mathcal {G}}{\left(U_{i}\cap U_{j}\right)}\,$

und für ${}k=2$ ist

${}{\check {C}}^{2}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})=\prod _{\{i,j,k\}\subseteq I}{\mathcal {G}}{\left(U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}\right)}\,.$

Bei ${}k={\#\left(I\right)}+1$ ist

${}{\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})={\mathcal {G}}{\left(\bigcap _{i\in I}U_{i}\right)}\,.$

Wenn ${}k>{\#\left(I\right)}+1$ ist, so ist die Indexmenge zu ${}{\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$ leer und dieser Term ist einfach ${}0$. Ebenso setzt man für negatives ${}k$ die Kokettengruppe gleich ${}0$.

Die Koketten zu verschieden ${}k$ werden durch die Čech-Ableitung miteinander in Beziehung gesetzt.

Definition

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung ${}{\mathcal {U}}$ eines topologischen Raumes ${}X$ mit einer wohlgeordneten Indexmenge ${}I$ und ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf ${}X$. Zu ${}k\in \mathbb {N}$ nennt man den Gruppenhomomorphismus

$\delta _{k}\colon {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})\longrightarrow {\check {C}}^{k+1}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}}),\,s={\left(s_{J}\right)}_{J}\longmapsto \delta _{k}(s)={\left(\delta _{k}(s)_{L}\right)}_{L}$

zwischen den Gruppen der Čech-Koketten, der durch

${}{\left(\delta _{k}(s)\right)}_{L}:=\sum _{\ell =0}^{k+1}(-1)^{\ell }s{|}_{L\setminus \{i_{\ell }\}}\,$

gegeben ist, wobei man ${}L=\{i_{0},i_{1},\ldots ,i_{k+1}\}$ gemäß der Ordnung auf ${}I$ schreibt, die ${}k$-te Čech-Ableitung (zur Garbe ${}{\mathcal {G}}$ und zur Überdeckung).

Die verschiedenen Kokettengruppen und die Ableitungen fasst man zum Čech-Komplex

${}{\check {C}}^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})={\left({\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}}),k\geq 0,\,\delta _{k}\right)}\,$

zusammen (zur Garbe ${}{\mathcal {G}}$ und zur Überdeckung ${}{\mathcal {U}}$). Bei einer Überdeckung aus zwei offenen Mengen ${}U$ und ${}V$ ist der Komplex gleich

$0\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(V,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U\cap V,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow 0,$

wobei ${}(s,t)$ auf ${}t{|}_{U}-s{|}_{U}$ abgebildet wird, und bei einer Überdeckung aus drei offenen Mengen ${}U,V$ und ${}W$ ist der Komplex gleich

$0\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(V,{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(W,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(V\cap W,{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U\cap W,{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U\cap V,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U\cap V\cap W,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow 0.$

Zum Verständnis der Homomorphismen ist es schon in diesen Fällen sinnvoll, mit den durchnummerierten Bezeichnungen ${}U_{1},U_{2},U_{3}$ zu arbeiten. Die erste Abbildung ist

$\left(s_{1},\,s_{2},\,s_{3}\right)\longmapsto \left(s_{3}-s_{2},\,s_{3}-s_{1},\,s_{2}-s_{1}\right)$

und die zweite Abbildung ist

$\left(t_{23},\,t_{13},\,t_{12}\right)\longmapsto t_{23}-t_{13}+t_{12}.$

Definition

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung ${}{\mathcal {U}}$ eines topologischen Raumes ${}X$ und ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf ${}X$. Eine ${}k$-te Čech-Kokette ${}(s_{J})\in {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})=\prod _{\left\{J\mid {\#\left(J\right)}=k+1\right\}}{\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}$ heißt ein ${}k$-ter Čech-Kozykel (zur Überdeckung ${}{\mathcal {U}}$ und zur Garbe ${}{\mathcal {G}}$), wenn sie zum Kern der Čech-Ableitung

$\delta _{k}\colon {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})\longrightarrow {\check {C}}^{k+1}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$

gehört. Die Gruppe der ${}k$-ten Čech-Kozykel wird mit ${}{\check {Z}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$ bezeichnet.

Definition

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung ${}{\mathcal {U}}$ eines topologischen Raumes ${}X$ und ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf ${}X$. Eine ${}k$-te Čech-Kokette ${}(t_{J})\in {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})=\prod _{\left\{J\mid {\#\left(J\right)}=k+1\right\}}{\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}$ heißt ein ${}k$-ter Čech-Korand (zur Überdeckung ${}{\mathcal {U}}$ und zur Garbe ${}{\mathcal {G}}$), wenn sie zum Bild der Čech-Ableitung

$\delta _{k-1}\colon {\check {C}}^{k-1}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})\longrightarrow {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$

gehört. Die Gruppe der ${}k$-ten Čech-Koränder wird mit ${}{\check {B}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$ bezeichnet.

Lemma

Der Čech-Komplex

ist in der Tat ein Komplex.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Für eine Überdeckung

${}X=U_{1}\cup U_{2}\cup U_{3}\,$

mit drei offenen Teilmengen und ${}k=1$ geht es um die Gesamtabbildung

$0\longrightarrow \Gamma {\left(U_{1},{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U_{2},{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U_{3},{\mathcal {G}}\right)}{\stackrel {\delta _{1}}{\longrightarrow }}\Gamma {\left(U_{2}\cap U_{3},{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U_{1}\cap U_{3},{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U_{1}\cap U_{2},{\mathcal {G}}\right)}{\stackrel {\delta _{2}}{\longrightarrow }}\Gamma {\left(U_{1}\cap U_{2}\cap U_{3},{\mathcal {G}}\right)}.$

Um nachzuweisen, dass die Hintereinanderschaltung die Nullabbildung ist, kann man sich auf einen Schnitt der Form ${}s\in \Gamma {\left(U_{1},{\mathcal {G}}\right)}$ beschränken (die anderen Komponenten seien also gleich ${}0$). Dieses Element wird auf ${}\left(0,\,-s{|}_{U_{1}\cap U_{2}},\,-s{|}_{U_{1}\cap U_{3}}\right)$ abgebildet, und dieses wiederum auf ${}s{|}_{U_{1}\cap U_{2}\cap U_{3}}-s{|}_{U_{1}\cap U_{2}\cap U_{3}}$, also auf ${}0$.

Definition

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung ${}{\mathcal {U}}$ eines topologischen Raumes ${}X$ und ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf ${}X$. Zu ${}k\in \mathbb {N}$ definiert man die ${}k$-te Čech-Kohomologie ${}{\check {H}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$ als die ${}k$-te Homologie des Čech-Komplexes ${}{\check {C}}^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$.

Es ist also

${}{\check {H}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})={\check {Z}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})/{\check {B}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})\,.$

Wie bei jeder Homologie zu einem Komplex geht es also um die Restklassengruppe aus dem Kern modulo dem Bild an einer jeden Stelle des Komplexes. Das zu einem Čech-Kozykel gehörige Element in der ${}k$-ten Čech-Kohomologie nennt man auch Čech-Kohomologieklasse. Die nullte Čech-Kohomologiegruppe ist einfach gleich ${}{\mathcal {G}}{\left(X\right)}$, wie direkt aus der Garbeneigenschaft folgt, siehe Aufgabe.

Beispiel

Wir betrachten auf dem Kreis ${}S^{1}$ die Überdeckung mit zwei offenen (zu reellen Intervallen homöomorphen) Kreissegmenten ${}S^{1}=U_{1}\cup U_{2}$, deren Durchschnitt ${}U_{1}\cap U_{2}=S\cup T$ die disjunkte Vereinigung von zwei Intervallen ist. Es sei ${}G$ eine diskrete topologische Gruppe und ${}{\mathcal {G}}$ die Garbe der stetigen also lokal konstanten ${}G$-wertigen Funktionen auf dem Kreis. Auf ${}U_{1}$ bzw. ${}U_{2}$ und ebenso auf ${}S^{1}$ sind die lokal-konstanten Funktionen konstant. Auf ${}S\cup T$ hingegen ist eine lokal konstante Funktion dadurch gegeben, dass auf ${}S$ und davon unabhängig auf ${}T$ ein konstanter Wert vorgegeben ist. Der relevante Čech-Komplex ist daher

$\Gamma {\left(U_{1},{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U_{2},{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U_{1}\cap U_{2},{\mathcal {G}}\right)}\cong G\times G\longrightarrow 0,$

wobei ${}(f,g)$ auf ${}g-f$ (auf beiden Zusammenhangskomponenten) abgebildet wird. Dabei werden genau die lokal konstanten Funktionen auf ${}S\cup T$ erreicht, die konstant sind. Die erste Čech-Kohomologie ist daher ${}{\check {H}}^{1}(U_{1},U_{2},{\mathcal {G}})\cong G$.

Beispiel

Wir betrachten auf der zweidimensionalen Sphäre ${}S^{2}$ die Überdeckung mit zwei offenen (zu offenen Kreisscheiben homöomorphen) überlappenden Schalen ${}S^{2}=U_{1}\cup U_{2}$, deren Durchschnitt ${}U_{1}\cap U_{2}$ homöomorph zum Produkt ${}S^{1}\times I$ mit einem offenen Intervall ${}I$ ist. Es sei ${}G$ eine diskrete topologische Gruppe und ${}{\mathcal {G}}$ die Garbe der stetigen also lokal konstanten ${}G$-wertigen Funktionen auf der Sphäre. Auf ${}U_{1}$ bzw. ${}U_{2}$ und ebenso auf ${}U_{1}\cap U_{2}$ sind die lokal-konstanten Funktionen konstant. Der relevante Čech-Komplex ist daher

$\Gamma {\left(U_{1},{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U_{2},{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U_{1}\cap U_{2},{\mathcal {G}}\right)}\cong G\longrightarrow 0,$

wobei ${}(f,g)$ auf ${}g-f$ abgebildet wird. Diese Abbildung ist surjektiv. Die erste Čech-Kohomologie ist daher ${}{\check {H}}^{1}(U_{1},U_{2},{\mathcal {G}})\cong 0$.

Beispiel

Wir betrachten auf dem Kreis ${}S^{1}$ die Überdeckung mit zwei offenen (zu reellen Intervallen homöomorphen) Kreissegmenten ${}S^{1}=U_{1}\cup U_{2}$, deren Durchschnitt ${}U_{1}\cap U_{2}=S\cup T$ die disjunkte Vereinigung von zwei Intervallen ist. Es sei ${}{\mathcal {G}}$ die Garbe der stetigen ${}\mathbb {R}$-wertigen Funktionen auf dem Kreis. Eine stetige Funktion auf ${}S\cup T$ ist durch eine stetige Funktion auf ${}S$ und durch eine davon unabhängige stetige Funktion auf ${}T$ gegeben. Wir betrachten im Anschluss an Beispiel eine lokal konstante Funktion, die auf ${}S$ den Wert ${}a$ und auf ${}T$ den Wert ${}b\neq a$ besitzt und eine nichttriviale Kohomologieklasse in ${}{\check {H}}^{1}(U_{1},U_{2},\mathbb {R} )=\mathbb {R}$ definiert, wobei ${}\mathbb {R}$ links die Garbe der lokal konstanten reellwertigen Funktionen bezeichnet. In der größeren Garbe ${}{\mathcal {G}}$ ist die entsprechende Kohomologieklasse aber trivial, da man auf ${}U_{1}$ eine stetige Funktion finden kann, die auf ${}S$ den Wert ${}-a$ und auf ${}T$ den Wert ${}-b$ besitzt und dazwischen (beispielsweise linear) interpoliert. Zusammen mit der Nullfunktion auf ${}U_{2}$ erhält man ein Urbild, der den Kozykel als Korand nachweist.

In Fakt wird gezeigt, dass in der vorstehenden Situation die erste Kohomologiegruppe zu ${}{\mathcal {G}}$ und zu jeder Überdeckung gleich ${}0$ ist.

Beispiel

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche und ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$. Dies bedeutet, dass es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Trivialisierungen

$\varphi _{i}\colon {\mathcal {L}}{|}_{U_{i}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}$

gibt. Für offene Mengen ${}U_{i},U_{j}$ ergeben sich auf ${}U_{i}\cap U_{j}$ die Übergangsabbildungen

$\varphi _{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\circ \varphi _{j}^{-1}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\colon {\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}.$

Diese Isomorphien sind durch Multiplikationen mit holomorphen Einheiten ${}r_{ij}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}$ gegeben. Da die Daten von der einen invertierbaren Garbe ${}{\mathcal {L}}$ herrühren, gilt dabei die Kozykelbedingung ${}r_{kj}\cdot r_{ji}=r_{ki}$, was man auch als ${}r_{kj}\cdot r_{ki}^{-1}\cdot r_{ji}=1$ schreiben kann. Es liegt also ein Čech-Kozykel in der Garbe der holomorphen Einheiten vor. Ein solcher Datensatz ${}r_{ij}$ legt umgekehrt durch eine Verklebung eine invertierbare Garbe fest.

Wenn die invertierbare Garbe ${}{\mathcal {L}}$ trivial ist, so gibt es einen globalen ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modulisomorphismus ${}\psi \colon {\mathcal {O}}_{X}\rightarrow {\mathcal {L}}$. Dann liegen auf den ${}U_{i}$ die Isomorphismen

${\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}{\stackrel {\psi {|}_{U_{i}}}{\longrightarrow }}{\mathcal {L}}{|}_{U_{i}}{\stackrel {\varphi _{i}}{\longrightarrow }}{\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}$

vor, die insgesamt durch Einheiten ${}s_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}$ festgelegt sind. Für diese gilt die Beziehung

${}s_{i}\cdot s_{j}^{-1}={\left(\varphi _{i}\circ \psi \right)}\circ {\left(\varphi _{j}\circ \psi \right)}^{-1}=r_{ij}\,$

für alle ${}i,j$. Wenn umgekehrt solche realisierende Einheiten ${}s_{i}$ gegeben sind, so werden durch

${}\psi {|}_{U_{i}}:=\varphi _{i}^{-1}\circ s_{i}\,$

Modulisomorphismen von ${}{\mathcal {O}}_{U_{i}}$ nach ${}{\mathcal {L}}_{U_{i}}$ auf ${}U_{i}$ festgelegt, die verträglich sind und daher einen globalen Isomorphismus zwischen ${}{\mathcal {O}}_{X}$ und ${}{\mathcal {L}}$ festlegen. Eine invertierbare Garbe mit Trivialisierungen auf ${}U_{i}$ kann man also mit dem Datensatz ${}(U_{i},r_{ij})$, der die Kozykelbedingung erfüllt, identifizieren, wobei ein solcher Datensatz als trivial anzusehen ist, wenn es Einheiten ${}s_{i}$ mit

${}r_{ij}=s_{i}\cdot s_{j}^{-1}\,$

gibt. Diese Situation kann man insgesamt durch den Komplex

$\prod _{i\in I}\Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}\longrightarrow \prod _{i<j}\Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}\longrightarrow \prod _{i<j<k}\Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}$

ausdrücken, der einfach der Anfang des Čech-Komplexes ist.