Affine Abbildung/Einführung/Textabschnitt
Es sei ein Körper und seien und affine Räume über den Vektorräumen bzw. . Eine Abbildung
heißt affin (oder affin-lineare Abbildung), wenn es eine lineare Abbildung
mit
für alle und gibt.
Es genügt, diese Bedingung für einen einzigen Punkt und alle Vektoren zu überprüfen, siehe Aufgabe.
Eine Abbildung
ist genau dann affin-linear mit linearem Anteil , wenn das Diagramm
kommutiert. Zu einer affin-linearen Abbildung
ist der lineare Anteil (bei )
eindeutig bestimmt. Es ist nämlich notwendigerweise
für einen beliebigen Punkt . Daher bezeichnen wir den linearen Anteil mit . Für zwei Punkte gilt insbesondere
Es sei ein Körper und seien und affine Räume über den Vektorräumen bzw. . Dann gelten folgende Aussagen.
- Die Identität
ist affin-linear.
- Die Verknüpfung von
affin-linearen Abbildungen
und
ist wieder affin-linear.
- Zu einer bijektiven affin-linearen Abbildung
ist auch die Umkehrabbildung affin-linear.
- Zu
ist die Verschiebung
affin-linear.
- Eine lineare Abbildung ist affin-linear.
Diese Eigenschaften folgen unmittelbar aus der Definition.
Es seien und affine Räume über einem Körper und sei
eine Abbildung.
Dann ist genau dann affin-linear, wenn für jede baryzentrische Kombination mit die Gleichheit
gilt.
Es seien und die Vektorräume zu bzw. zu . Es sei zunächst affin-linear mit linearem Anteil
und eine baryzentrische Kombination mit und gegeben. Dann ist (mit einem beliebigen Punkt )
Es sei nun umgekehrt die Abbildung mit den baryzentrischen Kombinationen verträglich. Wir setzen
für , mit einem . Wir zeigen zunächst, dass dies unabhängig von dem gewählten Punkt ist. Es ist
eine baryzentrische Kombination für den Punkt , siehe Aufgabe. Daher ist in
Somit ist in
und daher
Es bleibt zu zeigen, dass linear ist. Für und ist
Also ist
Es sei ein Körper und seien und affine Räume über den -Vektorräumen bzw. . Eine bijektive affine Abbildung
heißt affiner Isomorphismus.
In einem gewissen Sinne setzen sich affin-lineare Abbildungen aus Verschiebungen und aus linearen Abbildungen zusammen.
Es sei ein Körper und sei ein affiner Raum über dem Vektorraum . Es sei .
Dann entsprechen sich die affin-linearen Abbildungen
mit als Fixpunkt und die linearen Abbildungen
Die Zuordnung ist durch gegeben. Wir müssen zeigen, dass es zu jeder linearen Abbildung eine eindeutige affin-lineare Abbildung
mit diesem linearen Anteil gibt. Wegen
kann es nur eine affin-lineare Abbildung geben, und durch diese Vorschrift kann man die Abbildung auch definieren.
Der folgende Satz heißt Festlegungssatz für affine Abbildungen und ist analog zu
Fakt.
Es sei ein Körper und seien und affine Räume über den Vektorräumen bzw. . Es sei , , eine affine Basis von und , , eine Familie von Punkten in .
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte affin-lineare Abbildung
mit
für alle .
Es sei . Es gibt nach Fakt eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
mit
für alle . Dann ist
eine affin-lineare Abbildung mit der gewünschten Eigenschaft. Umgekehrt ist eine solche affine Abbildung durch den linearen Anteil und durch den Wert an einem einzigen Punkt eindeutig festgelegt, sodass
sein muss.
Es sei ein Körper und sei ein affiner Raum mit einer affinen Basis .
Dann ist die Abbildung
wobei die baryzentrischen Koordinaten von sind, eine affin-lineare Abbildung, die eine affine Isomorphie zwischen und dem affinen Unterraum stiftet, der durch
gegeben ist. Der Vektorraum zu ist
Nach Fakt gibt es eine eindeutig bestimmte affin-lineare Abbildung
die auf den -ten Standardvektor abbildet. Dabei wird nach Fakt
auf
abgebildet. Wegen
gehört dieser Punkt zu . Die Bijektivität ist klar.