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zu 28:

Bemerkung  

Auf einem Vektorbündel ${}p\colon E\rightarrow M$ über einer Basismannigfaltigkeit ${}M$ sei ein Zusammenhang gegeben. Es liegt also insbesondere zur natürlichen Projektion

$TE\longrightarrow p^{*}TM$

über ${}E$ eine Abbildung

$\sigma \colon p^{*}TM\longrightarrow TE$

vor, wobei

${}\sigma (p^{*}TM)=H\subseteq TE\,$

das Horizontalbündel ist. Zu Vektorfeldern ${}V$ und ${}W$ auf ${}M$ können wir ${}\sigma \circ V$ und ${}\sigma \circ W$ als Vektorfelder über ${}E$, also als einen Schnitt ${}E\rightarrow TE$ betrachten und dort die Lie-Klammer ${}[\sigma V,\sigma W]$ bilden. Dies ist wieder ein Vektorfeld auf ${}E$. Die durch den Zusammenhang definierte Projektion

$\pi _{\text{vert}}\colon TE\longrightarrow VE$

mit der Identifizierung

${}VE\cong E\oplus E\,$

liefert dann einen Schnitt von ${}M$ in ${}E$.

${}V$ und ${}W$ auffassen als Felder in ${}p^{*}TM$ und damit in ${}TE$, ergibt Schnitt ${}E\rightarrow VE\cong E\oplus E$. Ein Schnitt

$s\colon M\longrightarrow E$

ergibt dann über ${}p_{1}\circ [\sigma V,\sigma W]\circ s$ einen Schnitt in ${}E$.

Lemma

Es sei ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, die mit der induzierten riemannschen Struktur versehen sei. Dann erfüllt der Levi-Civita-Zusammenhang auf ${}Y$ die folgenden Eigenschaften.

1. u
2. Zu einem Vektorfeld ${}V$ und einem differenzierbaren Vektorfeld ${}W$ auf ${}Y$ ist

   ${}(\nabla _{V}W)(P)=\pi _{Y,P}\circ {\left(DW\right)}_{P}{\left(V(P)\right)}\,.$

Beweis

Dies folgt aus Fakt.

$\Box$

Satz

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}p\colon E=X\times \mathbb {R} \rightarrow X$ das triviale Vektorbündel über ${}X$ vom Rang ${}1$. Es sei ${}\omega$ eine ${}1$-Differentialform auf ${}X$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Abbildung

   $TE\longrightarrow p^{*}E,\,(P,u,v,w)\longmapsto (P,u,\omega (P,v)+w),$

   definiert einen Zusammenhang.

2. Die vertikale Ableitung zu dem Zusammenhang ist für stetig differenzierbare Funktionen ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ auf einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ durch

   ${}\nabla (f)(P)=\omega (P)+(df)_{P}\,$

   gegeben (hierbei identifizieren wir auf beiden Seiten eine reellwertige Funktion ${}f$ mit dem Schnitt ${}X\longrightarrow X\times \mathbb {R}$, ${}x\longmapsto (x,f(x))$.)

3. Eine stetig differenzierbare Funktion ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ ist genau dann ein horizontaler Schnitt über ${}U$ bezüglich ${}\nabla$, wenn ${}-f$ eine Stammform zu ${}\omega$ über ${}U$ ist.
4. Die Form ${}\omega$ ist genau dann geschlossen, wenn der Zusammenhang lokal integrabel ist.
5. Die Form ${}\omega$ ist genau dann exakt, wenn der Zusammenhang global integrabel ist.

Beweis

1. Die Abbildung

   $\pi _{\text{vert}}\colon TE=TX\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow p^{*}E=X\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ,\,(P,u,v,w)\longmapsto (P,u,\omega (P,v)+w)$

   ist bei fixiertem ${}(P,u)$ linear in ${}v$ und ${}w$, es liegt also ein Homomorphismus von Vektorbündeln vor. Die Abhängigkeit von der Basis ${}E$ ist stetig differenzierbar, da ${}\omega$ stetig differenzierbar ist. Es liegt eine Spaltung zur natürlichen Inklusion ${}p^{*}E\rightarrow TE$ vor, da ${}(P,u,w)$ auf ${}(P,u,0,w)$ und dieses auf ${}(P,u,\omega (P,0)+w)=(P,u,w)$ abgebildet wird.

2. Zu ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ müssen wir die Hintereinanderschaltung

   $TX{\stackrel {T(f)}{\longrightarrow }}TE=TX\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} {\stackrel {\pi _{\text{vert}}}{\longrightarrow }}X\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

   betrachten, und diese ergibt

   $(P,v)\longmapsto (P,f(P),v,(df)_{P}(v))\longmapsto (P,f(P),\omega (P,v)+(df)_{P}(v))\longmapsto \omega (P,v)+(df)_{P}(v).$

3. Ein horizontaler Schnitt liegt genau dann vor, wenn die vertikale Ableitung verschwindet, und dies bedeutet hier

   ${}\omega (P,v)+(df)_{P}(v)=0\,$

   für alle ${}(P,v)\in TX$.

4. Dies beruht darauf, dass eine Form genau dann exakt ist, wenn sie lokal eine Stammform besitzt.
5. Dies folgt aus dem bisher Bewiesenen.

$\Box$

Der Zusammenhang im vorstehenden Satz ist im Allgemeinen nicht linear, da ${}f$ in den Summanden ${}\omega$ nicht linear eingeht. Eine Differentialform bestimmt aber auch einen linearen Zusammenhang, den man aber etwas anders ansetzen muss, und zwar muss man die vertikale Spaltung durch

$TE\longrightarrow p^{*}E,\,(P,u,v,w)\longmapsto (P,u,u\omega (P,v)+w),$

definieren. Die Spaltung variiert dann mit ${}u$. Die vertikale Ableitung zu diesem Zusammenhang ist für stetig differenzierbare Funktionen ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ auf einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ durch

${}\nabla (f)(P)=f\omega (P)+(df)_{P}\,$

gegeben.

Liftungseigenschaften von Bündeln mit Zusammenhängen

Ein Zusammenhang auf einem Vektorbündel ${}p\colon E\rightarrow X$ erlaubt es unter Umständen, ähnlich wie bei Überlagerungen, zu einer gegebenen Abbildung

$\psi \colon Z\longrightarrow X$

in die Basismannigfaltigkeit ${}X$ eine eindeutige horizontale Liftung

${\tilde {\psi }}\colon Z\longrightarrow E$

anzugeben, sobald der Wert an einem einzigen Punkt vorgegeben ist. Dies gilt insbesondere für Intervalle ${}Z=I$ bzw. ${}Z=S^{1}$, also für geschlossene Wege.

Lemma

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Es sei ${}I$ ein Intervall,

$\gamma \colon I\longrightarrow X$

ein differenzierbarer Weg, ${}t\in I$ ein Punkt und ${}e\in E_{\gamma (t)}$ ein Punkt in der Faser über ${}\gamma (t)$.

Dann gibt es ein offenes Teilintervall ${}J\subseteq I$, ${}t\in J$, und eine horizontale Liftung

${\tilde {\gamma }}\colon J\longrightarrow E$

mit ${}{\tilde {\gamma }}(t)=e$.

Beweis

Dies beruht auf der Lösungstheorie für gewöhnliche Differentialgleichungen.

$\Box$

Diese Aussage ist in zweierlei Hinsicht unbefriedigend. Einerseits ist die Liftung nicht auf dem gesamten Intervall definiert, es liegt ein „Entweichungsphänomen“ vor (der Zusammenhang muss nicht „vollständig“ sein; die Entweichung hängt direkt mit dem entsprechenden Phänomen für die Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen zusammen).

Zweitens ist bei einem Weg - vorausgesetzt, die Liftung existiert auf dem ganzen Intervall - der Endpunkt der Liftung abhängig von dem Weg, nicht nur von seiner Homotopieklasse. Wenn man durch einen Zusammenhang auf einem Vektorbündel eine lineare Darstellung der Fundamentalgruppe der Basismannigfaltigkeit gewinnen möchte, so darf die Liftung aber nur von der Homotopieklasse abhängen. Dies erfordert, dass in einem infinitesimalen Sinn die Liftung eines „kleinen“ geschlossenen Weges zum Startpunkt zurückkehrt. Diese Eigenschaft wird durch den Begriff des lokal integrablen Zusammenhangs präzisiert. Man könnte auch von einer lokalen Trivialität des Zusammenhangs sprechen. Zwar ist jedes Vektorbündel lokal trivial, Entsprechendes muss aber nicht für einen Zusammenhang gelten (es handelt sich dabei um ein „Krümmungsphänomen“ des Zusammenhangs).

Satz

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei. Es sei ${}I$ ein Intervall,

$\gamma \colon I\longrightarrow X$

ein differenzierbarer Weg, ${}t\in I$ ein Punkt und ${}e\in E_{\gamma (t)}$ ein Punkt in der Faser über ${}\gamma (t)$.

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es gibt eine horizontale Liftung

   ${\tilde {\gamma }}_{e}={\tilde {\gamma }}\colon I\longrightarrow E$

   mit ${}{\tilde {\gamma }}(t)=e$.

2. Für zwei Punkte ${}t_{0},t_{1}\in I$ ist die Abbildung

   $E_{\gamma (t_{0})}\longrightarrow E_{\gamma (t_{1})},\,e\longmapsto {\tilde {\gamma }}_{e}(t_{1}),$

   linear.

3. Es sei ${}\nabla$ lokal integrabel. Dann hängt die in (2) angegebene Abbildung nur von der Homotopieklasse von ${}\gamma$ ab.

Beweis

Siehe Storch/Wiebe, Band 4, 10.A und 10.B.

$\Box$

Die Liftung eines Weges ist also stets auf dem ganzen Intervall definiert. Die in (2) angegebene Abbildung nennt man Paralleltransport oder horizontaler Fasertransport.

Satz

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei, der lokal integrabel sei. Es sei ${}x\in X$ ein Punkt mit der Faser ${}E_{x}\cong \mathbb {R} ^{r}$.

Dann definiert der horizontale Fasertransport einen natürlichen Anti-Gruppenhomomorphismus

$\pi _{1}(X,x)\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(E_{x}\right)}\cong \operatorname {GL} _{r}\!{\left(\mathbb {R} \right)},\,\gamma \longmapsto (e\mapsto {\tilde {\gamma }}_{e}(1)).$

Diese Abbildung (bzw. die zugehörige Operation der Fundamentalgruppe auf der Faser) heißt auch die Monodromie.

Satz

Es sei ${}X$ eine zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}x\in X$ ein Punkt. Es sei ${}r\in \mathbb {N}$.

Dann entsprechen sich die (Isomorphieklassen von) ${}(E,\nabla )$, wobei ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel vom Rang ${}r$ über ${}X$ und ${}\nabla$ ein linearer lokal integrabler Zusammenhang auf ${}E$ ist, und die (Isomorphieklassen von) Rechtsoperationen der Fundamentalgruppe ${}\pi _{1}(X,x)$ auf ${}{\mathbb {K} }^{r}$.

Auf einer einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeit gibt es nur auf dem trivialen Vektorbündel einen (bis auf Isomorphie eindeutigen) linearen lokal integrablen Zusammenhang. Es gibt aber im Allgemeinen auf einer einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeit auch nichttriviale Vektorbündel (man denke an den projektiven Raum). Umgekehrt kann es auf einem trivialen Vektorbündel über einem nicht einfach zusammenhängenden Grundraum nicht isomorphe lokal integrable Zusammenhänge geben.

gehörige vertikale Ableitung ist einfach die Standardableitung: einem Schnitt ${}s$ in ${}W$, der bezüglich einer Basis durch die ${}r$ Komponentenfunktionen ${}(f_{1},\ldots ,f_{r})$ repräsentiert wird, wird die Ableitung

${}\nabla _{\rm {st}}(s)=(df_{1},\ldots ,df_{r})\in C^{0}(W\otimes T^{*}X)\,$

zugeordnet, also einfach das Tupel der einzelnen Differentiale zu den Komponentenfunktionen.

Es gibt aber auch andere Spaltungen der Sequenz und damit auch andere vertikale Ableitungen. Eine ${}r\times r$-Matrix ${}M$, deren Einträge ${}1$-Differentialformen ${}\omega _{ij}$ sind, liefert die vertikale Ableitung

$\nabla (f_{1},\ldots ,f_{r})=(df_{1}+\sum _{j=1}^{r}f_{j}\otimes \omega _{1j},\ldots ,df_{r}+\sum _{j=1}^{r}f_{j}\otimes \omega _{rj}).$

${}M\times \mathbb {R} ^{n}$ als triviales Vektorbündel. Das Tangentialbündel zu ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist ${}\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$ und für eine Produktmannigfaltigkeit ist

${}T(M\times N)=TM\times TN\,.$

Also ist

${}T(M\times \mathbb {R} ^{n})=TM\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\,,$

was wir über ${}M\times \mathbb {R} ^{n}$ auffassen. Wir bilden ab nach ${}\pi ^{*}TM\cong TM\times \mathbb {R} ^{n}$

Die vertikale Ableitung eines Schnittes ${}s$ im trivialen Bündel, der ja durch ${}n$ Funktionen ${}s_{1},\ldots ,s_{n}$ gegeben ist, bezüglich eines Vektorfeldes ${}F$, ist gemäß

$M{\stackrel {F}{\longrightarrow }}TM{\stackrel {s}{\longrightarrow }}T(M\times \mathbb {R} ^{n})\cong TM\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow M\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}{\stackrel {\pi }{\longrightarrow }}M\times \mathbb {R} ^{n}$

der Schnitt mit ${}\pi \circ T(s)\circ F$

Speziell bei ${}n=1$ ist

${}\nabla _{F}(s)=\pi \circ ds\circ F\,.$

Das ${}\pi$ ist nicht nötig, Abbildung nach ${}\mathbb {R}$ oder Schnitt in ${}M\times \mathbb {R} ^{n}$. Lokal auf offener Umgebung ${}U$ von ${}P$: ${}{\left(Ds\right)}_{P}{\left(F(P)\right)}$.

${}n=3$ durchführen. Wir verwenden das Kreuzprodukt im umgebenden Raum und somit steht

${}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}(Q')\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}(Q')\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial u}}(Q')\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}(Q')\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}(Q')\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial v}}(Q')\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}(Q'){\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial v}}(Q')-{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial u}}(Q'){\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}(Q')\\-{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}(Q'){\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial v}}(Q')+{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial u}}(Q'){\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}(Q')\\{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}(Q'){\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}(Q')-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}(Q'){\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}(Q')\end{pmatrix}}\,$

nach Fakt  (6) senkrecht auf dem Tangentialraum ${}T_{P'}Y$. Somit ist

$U\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial v}}-{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial u}}{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}\\-{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial v}}+{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial u}}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}\end{pmatrix}}$

eine Beschreibung auf ${}U$ für ein Normalenfeld.

Wir verwenden

$E=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial u}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial u}}\end{pmatrix}}\right\rangle ,\,F=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial u}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial v}}\end{pmatrix}}\right\rangle {\text{ und }}G=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial v}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial v}}\end{pmatrix}}\right\rangle .$

Nach Fakt ist der Flächeninhalt des Bildpolytops zum Einheitsquadrat gleich

${}{\sqrt {\det {\begin{pmatrix}F&E\\G&F\end{pmatrix}}}}={\sqrt {F^{2}-EG}}\,$

und diese Zahl ist der Faktor zwischen dem Flächeninhalt des ${}\mathbb {R} ^{2}$ und dem infinitesimalen Flächeninhalt auf ${}T_{P'}Y$.

Es seien ${}A$ und ${}B$ die Bildvektoren der Einheitstangentenvektoren. Die Ableitung nach ${}u$ von ${}A\times B$ ist wegen der Bilinearität gleich ${}{\frac {\partial A}{\partial u}}\times B+A\times {\frac {\partial B}{\partial u}}$. Die Ableitung nach ${}u$ von

${\frac {1}{\sqrt {\left\langle A,B\right\rangle ^{2}-\left\langle A,A\right\rangle \left\langle B,B\right\rangle }}}A\times B$

ist demnach gleich

$-{\frac {1}{2}}{\left(...\right)}{\left(\left\langle A,B\right\rangle ^{2}-\left\langle A,A\right\rangle \left\langle B,B\right\rangle \right)}^{-3/2}A\times B+{\left(\left\langle A,B\right\rangle ^{2}-\left\langle A,A\right\rangle \left\langle B,B\right\rangle \right)}^{-1/2}{\left({\frac {\partial A}{\partial u}}\times B+A\times {\frac {\partial B}{\partial u}}\right)}$

Man muss ${}{\frac {\partial A}{\partial u}}\times B+A\times {\frac {\partial B}{\partial u}}$ als Linearkombination in ${}A$ und ${}B$ schreiben, also

${}{\begin{aligned}{\frac {\partial A}{\partial u}}\times B+A\times {\frac {\partial B}{\partial u}}&=\left\langle {\frac {\partial A}{\partial u}}\times B+A\times {\frac {\partial B}{\partial u}},A\right\rangle A+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial u}}\times B+A\times {\frac {\partial B}{\partial u}},B\right\rangle B\\&=\left\langle {\frac {\partial A}{\partial u}}\times B,A\right\rangle A+\left\langle A\times {\frac {\partial B}{\partial u}},B\right\rangle B\end{aligned}}$

Determinante (?)

${\frac {1}{F^{2}-EG}}{\left(\left\langle {\frac {\partial A}{\partial u}}\times B,A\right\rangle \left\langle A\times {\frac {\partial B}{\partial v}},B\right\rangle -\left\langle {\frac {\partial A}{\partial v}}\times B,A\right\rangle \left\langle A\times {\frac {\partial B}{\partial u}},A\right\rangle \right)}.$

Gaußkrümmung auf Kugeloberfläche ist ${}{\frac {1}{r^{2}}}$, somit ist

${}\int _{S(r)}K=4\pi r^{2}{\frac {1}{r^{2}}}=4\pi =2\pi \chi (S(r))\,$

Differenzierbare Mannigfaltigkeit/de Rham-Komplex/Einführung/Textabschnitt

Beispiel

Im Raum ${}\mathbb {R} ^{3}$ bewegen sich ${}n$ Teilchen mit den Massen ${}m_{1},\ldots ,m_{n}$. Sie befinden sich zu einem bestimmten Zeitpunkt in den Ortspunkten ${}(P_{1},\ldots ,P_{n})\in {\left(\mathbb {R} ^{3}\right)}^{n}$ und besitzen die Momentangeschwindigkeiten ${}(v_{1},\ldots ,v_{n})\in {\left(\mathbb {R} ^{3}\right)}^{n}$. Ihre momentane kinetische Gesamtenergie ist ${}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}m_{i}\vert {v_{i}}\vert ^{2}$. Diese Konzepte können im Rahmen der riemannschen Geometrie unmittelbar modelliert werden. Wir betrachten ${}M={\left(\mathbb {R} ^{3}\right)}^{n}$ als Punkttupelraum (Konfigurationsraum), wobei wir eventuell zu einer offenen Menge übergehen, um zusammenstoßende Teilchen zu vermeiden. Das Geschwindigkeitstupel zu dem Ortstupel ist ein Element im Tangentialbündel

${}TM=M\times {\left(\mathbb {R} ^{3}\right)}^{n}\,.$

Die kinetische Energie ist eine quadratische Form auf jedem Tangentialraum, entspricht also einem Skalarprodukt und damit einer riemannschen Metrik auf ${}M$. Eine Bewegung in dem System ist eine differenzierbare Kurve

$\gamma \colon I\longrightarrow M,\,t\longmapsto \left(\gamma _{1}(t),\,,\ldots ,,\,\gamma _{n}(t)\right)$

(wobei ${}\gamma _{i}(t)$ den Ortspunkt des ${}i$-ten Teilchens bezeichnet, zu dem wiederum drei Koordinaten gehören) mit der Tangentialabbildung

$\gamma '\colon I\longrightarrow TM.$

Die kinetische Energie zum Zeitpunkt ${}t$ ist dann ${}\left\langle \gamma '(t),\gamma '(t)\right\rangle$. In diesem Modell ist erst mal jede Bewegung erlaubt, physikalische Einschränkungen wie die Wirkung einer Kraft, Energieerhaltung werden noch nicht berücksichtigt.