Differentialoperatoren/Matrix zu Hauptteilen/Hyperfläche/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ ein Polynom mit Restklassenring

${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/(F)\,.$

Dann ist

${}R\otimes _{K}R\cong R[A_{1},\ldots ,A_{k}]/(G)\,$

mit

${}G=\sum _{\lambda }G_{\lambda }A^{\lambda }\,$

und

${}G_{\lambda }={\frac {1}{\lambda !}}D^{\lambda }(F)\,.$

Beweis

Wir arbeiten mit der Beschreibung

${}{\begin{aligned}R\otimes _{K}R&=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/(F)\otimes _{K}K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/(F)\\&=K[X_{1},\ldots ,X_{k},{\tilde {X}}_{1},\ldots ,{\tilde {X}}_{k}]/(F,{\tilde {F}}),\end{aligned}}$

wobei ${}{\tilde {F}}$ aus ${}F$ entsteht, indem man ${}X_{i}$ durch ${}{\tilde {X}}_{i}$ ersetzt. Wir setzen

${}A_{i}={\tilde {X_{i}}}-X_{i}\,$

an und schreiben den Ring als

$K[X_{1},\ldots ,X_{k},A_{1},\ldots ,A_{k}]/(F,G),$

wobei

${}G={\tilde {F}}=F(X_{1}+A_{1},\ldots ,X_{k}+A_{k})\,$

ist. Betrachte ein Monom ${}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}}$ aus ${}F$. In die Gleichung ${}G$ für die Algebra der Hauptteile geht dies in der Form

$(X_{1}+A_{1})^{\nu _{1}}\cdots (X_{k}+A_{k})^{\nu _{k}}$

ein. Ausmultiplizieren ergibt

$\sum _{\lambda \leq \nu }{\binom {\nu _{1}}{\lambda _{1}}}\cdots {\binom {\nu _{k}}{\lambda _{k}}}X_{1}^{\nu _{1}-\lambda _{1}}A_{1}^{\lambda _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}-\lambda _{k}}A_{k}^{\lambda _{k}}.$

Auf das Taylormonom ${}A^{\lambda }$ bezieht sich also der Term

${\binom {\nu _{1}}{\lambda _{1}}}\cdots {\binom {\nu _{k}}{\lambda _{k}}}X_{1}^{\nu _{1}-\lambda _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}-\lambda _{k}}.$

Dies stimmt mit

${\frac {1}{\lambda !}}D^{\lambda }(X^{\nu })$

überein.

$\Box$

In positiver Charakteristik muss man die rechte Seite (Division durch die Fakultät) durch die linke erklären.

Bemerkung  

In der Matrix steht an der Stelle ${}(\lambda ,\mu )$ der Eintrag

${\frac {1}{(\lambda -\mu )!}}D^{\lambda -\mu }(F).$

In der ${}\lambda$-Zeile steht demnach

$\sum _{\mu <\lambda }{\frac {1}{(\lambda -\mu )!}}D^{\lambda -\mu }(F)A^{\mu }.$

Dies sind global beschränkte Ausdrücke, da ${}D^{\lambda -\mu }(F)$ oberhalb des Grades von ${}F$ gleich ${}0$ ist. Der Ausdruck zu ${}\mu =\lambda$ ist ${}0$, da man auf die Grundgleichung ${}F$ abzieht.

Beispiele in zwei Variablen

Diagonale/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

Standardparabel/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

X^2/1/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

Achsenkreuz/XY/2/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

Achsenkreuz/X^2/2/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

Standardquadrik/2/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

Homogene Quadrik/2/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

Neilsche Parabel/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

Neil-Parabel/Charakteristik 2/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

Fermat-Kubik/2 Variablen/Charakteristik 2/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

Beispiele in drei Variablen

Hyperfläche/3 Variablen/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

A1-Singularität/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

Allgemeine Quadrik/3/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

Ebenengleichung/3/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

Fermat-Quadrik/3/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

Achsenkreuz/XY/3/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

Quadrat/X^2/3/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

Fermat-Kubik/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

Achsenflächen/3/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

X^2+Y^3+Z^3/Charakteristik 2/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

X^3+Y^4+Z^4/Charakteristik 3/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

X^p+Y^(p+1)+Z^(p+1)/Charakteristik p/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

Standardquadrik/Differentialoperatoren/Textabschnitt