Kurs:Analysis/Teil I/20/Klausur mit Lösungen



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 3 2 3 4 4 4 3 4 4 5 3 4 3 2 2 4 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung .
  2. Der Betrag eines Elementes in einem angeordneten Körper .
  3. Eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper .
  4. Die Sinusreihe.
  5. Die Exponentialfunktion zur Basis im Komplexen.
  6. Die Integralfunktion zum Startpunkt zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

    auf einem reellen Intervall .


Lösung

  1. Die Abbildung

    die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu .

  2. Der Betrag von ist folgendermaßen definiert.
  3. Eine Folge in heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  4. Für heißt

    die Sinusreihe zu .

  5. Die Exponentialfunktion zur Basis von wird durch

    definiert.

  6. Die Funktion

    heißt die Integralfunktion zu zum Startpunkt .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Produktregel für konvergente Folgen in einem angeordneten Körper.
  2. Das Leibnizkriterium für alternierende Reihen.
  3. Der Satz über die Ableitung einer Potenzreihe.


Lösung

  1. Es seien und konvergente Folgen in . Dann ist die Folge ebenfalls konvergent und es gilt
  2. Es sei eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen. Dann konvergiert die Reihe .
  3. Es sei

    eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius . Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe

    konvergent mit demselben Konvergenzradius. Die durch die Potenzreihe dargestellte Funktion ist in jedem Punkt differenzierbar mit


Aufgabe (3 Punkte)

Man erläutere die Begriffe hinreichende und notwendige Bedingung anhand typischer Beispiele.


Lösung Bedingung/Hinreichend und notwendig/Erläuterung/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Die Partei „Zukunft für alle“ hat zwei Ziele.

  1. Millionäre entschädigungslos enteignen.
  2. Ein bedingungsloses monatliches Grundeinkommen von Euro für jeden Erwachsenen.

Hans hat kein Geld und hat mit Geld auch nichts am Hut, er ist jetzt gerade geworden und lebt allein auf einem kleinen Bauernhof als Selbstversorger, ohne Einnahmen, ohne Ausgaben, und das soll in seinem Leben auch so bleiben. Vorausgesetzt, das Parteiprogramm wird Gesetz, wie alt muss Hans (in Jahren und Monaten) werden, bis er enteignet wird?


Lösung

Er wird enteignet, wenn das angesammelte Grundeinkommen die Millionengrenze erstmals überschreitet. Im Jahr bekommt er Euro. Es ist

Jahre, also braucht er Jahre und Monate. Er muss also einhalb Jahre alt werden.


Aufgabe (3 Punkte)

Ein Schokoriegel der Marke „Höcker und Kerbe“ besteht aus einer einzigen Reihe von hintereinanderliegenden höckerförmigen Schokostücken, die jeweils durch eine Einkerbung (der Sollbruchstelle) miteinander verbunden sind. Zeige mit und ohne Induktion, dass man, egal bei welcher Teilungsstrategie, genau Teilungsschritte braucht, um den Schokoriegel vollständig in seine Stücke aufzuteilen.


Lösung

Ohne Induktion. Eine Schockriegel mit Höckern hat Einkerbungen. Jede muss bei einer vollständigen Teilung genau einmal gebrochen werden, deshalb braucht man genau Teilungsschritte.

Mit Induktion. Induktionsanfang. Bei gibt es nichts zu teilen, also kein Teilungsschritt. Induktionsvoraussetzung. Es sei bereits bewiesen, dass man bei einer vollständigen Teilung eines Schokoriegels der Länge genau Schritte braucht. Es sei ein Schokoriegel der Länge gegeben. Jeder Teilungsvorgang desselben beginnt mit einer ersten Teilung, wobei zwei Teilriegel entstehen, wobei der eine Riegel aus (mit ) und der andere aus Stücken besteht. Auf diese beiden Teilriegel können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden. Die Anzahl der dann benötigten Teilungsschritte ist

wie behauptet.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine -elementige Menge. Zeige durch Induktion über , dass die Anzahl der -elementigen Teilmengen von gleich dem Binomialkoeffizienten

ist.


Lösung

Es sei fixiert. Bei gibt es nur die leere Menge, was mit dem Binomialkoeffizienten

übereinstimmt. Es sei die Aussage also für ein zwischen und schon bewiesen. Jeder -elementigen Teilmenge von und jedem der Elemente aus kann man die -elementige Menge

zuordnen. Dabei wird jede -elementige Menge erreicht, und zwar -fach, da man ja aus jedes der Elemente herausnehmen kann. Zwischen der Anzahl der -elementigen Teilmengen von und der Anzahl der -elementigen Teilmengen von besteht also der Zusammenhang

Unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung ist daher


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige die Abschätzung


Lösung

Es sei die größte natürliche Zahl mit . Die Folge ist fallend, deshalb können wir Glieder durch vorhergehende Glieder nach oben abschätzen. Wir erhalten


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und konvergente Folgen in . Zeige, dass die Produktfolge ebenfalls konvergent mit

ist.


Lösung

Sei vorgegeben. Die konvergente Folge ist nach Lemma 5.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) insbesondere beschränkt und daher existiert ein mit für alle . Sei und . Wir setzen . Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen und mit

Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle . Für diese Zahlen gilt daher


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine nichtstetige Funktion

derart, dass sämtliche Hintereinanderschaltungen unendlich oft differenzierbar sind.


Lösung

Wir betrachten die durch

definierte Funktion. Diese Funktion ist an der Stelle nicht stetig, da sie dort eine Sprungstelle besitzt. Es ist die konstante Funktion mit dem Wert , da nur die beiden Wert und besitzt und diese beiden auf abgebildet werden. Höhere Hintereinanderschaltungen von mit sich selbst sind aus demselben Grund ebenfalls die Nullabbildung. Als konstante Abbildung sind diese unendlich oft differenzierbar.


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Zu Reihen und komplexer Zahlen nennen wir die Reihe

das „Quadratrandprodukt“ der beiden Reihen.

  1. Zeige, dass jedes Produkt genau zu einem beiträgt.
  2. Die beiden Reihen seien konvergent. Zeige, dass auch die Reihe konvergent ist, und dass deren Summe gleich dem Produkt der beiden Reihen ist.


Lösung

  1. Das Produkt geht einzig in den Summanden mit ein, bei sichert die zweite Summationsgrenze, dass dieses Produkt nicht doppelt gezählt wird.
  2. Für die Partialsummen

    gilt direkt

    Das heißt, dass das Produkt der jeweiligen Partialsummenfolgen ist und daher nach Lemma 6.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))  (2) gegen das Produkt der Grenzwerte konvergiert.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Gleichung

eine reelle Lösung im Intervall besitzt und bestimme diese bis auf einen Fehler von maximal ein Achtel.


Lösung

Die Funktion hat an der Stelle den Wert

und an der Stelle den Wert

nach dem Zwischenwertsatz muss es also dazwischen ein Element mit dem Wert geben. Wir verwenden die Intervallhalbierung zur Approximation einer solchen Stelle. An der Stelle ist der Wert

Eine Lösung muss sich also im Intervall befinden. An der Stelle ist

Eine Lösung muss sich also im Intervall befinden. An der Stelle ist

Daher liegt eine Lösung im Intervall .


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion.


Lösung

Wir betrachten den Differenzenquotienten

und müssen zeigen, dass der Limes für existiert und den behaupteten Wert annimmt. Es sei dazu eine Folge in , die gegen konvergiert. Aufgrund der vorausgesetzten Stetigkeit von konvergiert auch die Folge mit den Gliedern gegen . Wegen der Bijektivität ist für alle . Damit ist

wobei die rechte Seite nach Voraussetzung existiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion


Lösung

Die Ableitung der Funktion ist

und die zweite Ableitung ist

Wenn wir die erste Ableitung gleich setzen, so erhalten wir

und damit

Für die zweite Ableitung an

ist

also liegt an der Stelle ein isoliertes lokales Minimum vor.

Für die zweite Ableitung an

ist

also liegt an der Stelle ein isoliertes lokales Maximum vor. Beide sind nicht global, da das kubische Polynom surjektiv ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Polynom der Form

mit . Zeige, dass sowohl in als auch in die Tangente zu beschreibt. Skizziere die Situation.


Lösung

Die Tangente an ist durch die Steigung und einen Punkt festgelegt. Es ist

Daher ist

Ferner ist

d.h. hat die richtige Steigung und an den richtigen Wert, es handelt sich also um die Tangente. Wegen der Symmetrie der Situation gilt die entsprechende Aussage auch für .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad zur Funktion im Nullpunkt.


Lösung

Die relevanten Ableitungen sind

und

Daher ist , und . Das Taylor-Polynom zu dieser Funktion im Nullpunkt ist daher das konstante Polynom .


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise elementargeometrisch den Sinussatz, also die Aussage, dass in einem nichtausgearteten Dreieck die Gleichheiten

gelten, wobei die Seitenlängen gegenüber den Ecken mit den Winkeln sind.


Lösung

Es sei die Länge der Höhe durch . Es gilt dann

da jeweils rechtwinklige Dreiecke vorliegen mit der Dreiecksseite als Hypotenuse und der Höhe als gegenüberliegender Kathete zum Winkel. Somit ist

und dies stimmt entsprechend auch mit überein.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Lösung

Eine Stammfunktion ist


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Newton-Leibniz-Formel.


Lösung

Aufgrund von Satz 23.14 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) existiert das Integral. Mit der Integralfunktion

gilt die Beziehung

Aufgrund von Satz 24.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist differenzierbar mit

d.h. ist eine Stammfunktion von . Wegen Lemma 24.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist . Daher ist


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

mit der Anfangsbedingung


Lösung

Es liegen getrennte Variablen mit und vor. Die Stammfunktionen von sind mit und eine Stammfunktion von ist . Diese ist für positive bijektiv, die Umkehrfunktion ergibt sich aus

zu

Die Lösungen haben also die Form

Die Anfangsbedingung führt auf

also

und somit

also

Die Lösung des Anfangswertproblems ist also