Kurs:Analysis/Teil I/49/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	4	2	1	4	2	5	2	2	3	5	2	4	4	4	4	2	3	5	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein neutrales Element ${}e\in M$ zu einer Verknüpfung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$

2. Die Konvergenz einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ gegen ${}x\in K$.
3. Der Polynomring über einem Körper ${}K$ (einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).
4. Ein lokales Minimum einer Funktion

   $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

   ($D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge) in einem Punkt ${}x\in D$.

5. Die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge

   $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   auf einer Teilmenge ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$.

6. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem kompakten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Lösung

1. Es sei eine Menge ${}M$ mit einer Verknüpfung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

   gegeben. Dann heißt ein Element ${}e\in M$ neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle ${}x\in M$ die Gleichheit

   $x\circ e=x=e\circ x$

   gilt.

2. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

3. Der Polynomring über einem Körper ${}K$ besteht aus allen Polynomen

   ${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

   mit ${}a_{i}\in K$, ${}n\in \mathbb {N}$, und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

   ${}X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$

   definiert ist.

4. Man sagt, dass ${}f$ in ${}x\in D$ ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in D$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung

   ${}f(x)\leq f(x')\,$

   gilt.

5. Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion

   $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   derart gibt, dass es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}n_{0}$ mit

   $d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T$

   gibt.

6. Die Funktion ${}f$ heißt Riemann-integrierbar auf ${}I$, wenn Ober- und Unterintegral von ${}f$ existieren und übereinstimmen.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Intervallschachtelung für die Eulersche Zahl.
2. Der große Umordnungssatz.
3. Die Taylor-Formel für eine ${}(n+1)$-mal differenzierbare Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ für einen inneren Punkt ${}a\in I$.

Lösung

1. Die Intervalle ${}I_{n}=[a_{n},b_{n}]$, ${}n\geq 1$, mit den Grenzen

   $a_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}{\text{ und }}b_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n+1}$

   definieren eine Intervallschachtelung.
2. Es sei ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine summierbare Familie von komplexen Zahlen mit der Summe ${}s$. Es sei ${}J$ eine weitere Indexmenge und zu jedem ${}j\in J$ sei eine Teilmenge ${}I_{j}\subseteq I$ gegeben mit ${}I=\bigcup _{j\in J}I_{j}$ und ${}I_{j}\cap I_{j'}=\emptyset$ für ${}j\neq j'$. Dann sind die Teilfamilien ${}a_{i}$, ${}i\in I_{j}$, summierbar und für ihre Summen ${}s_{j}=\sum _{i\in I_{j}}a_{i}$ gilt, dass die Familie ${}s_{j}$, ${}j\in J$, summierbar ist mit

   ${}s=\sum _{j\in J}s_{j}\,.$

3. Zu jedem Punkt ${}x\in I$ gibt es ein ${}c\in I$ mit

   $f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+{\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige für ${}n\in \mathbb {N}$ die Gleichung

${}\prod _{1\leq i<j\leq n}(j-i)=\prod _{k=1}^{n-1}(k!)=(n-1)!\cdot (n-2)!\cdots 3!\cdot 2!\cdot 1!\,.$

Lösung

Bei ${}n=1$ steht links und rechts das leere Produkt, dessen Wert gleich ${}1$ ist. Bei ${}n=2$ steht links allein ${}2-1$ und rechts einfach ${}1!$. Wir führen Induktion nach ${}n\geq 2$, sei die Aussage also für ${}n$ schon bewiesen. Dann ist

${}{\begin{aligned}\prod _{1\leq i<j\leq n+1}(j-i)&=\prod _{1\leq i<j\leq n}(j-i)\cdot \prod _{1\leq i<j=n+1}(j-i)\\&=\prod _{k=1}^{n-1}(k!)\cdot \prod _{1\leq i\leq n}(n+1-i)\\&=\prod _{k=1}^{n-1}(k!)\cdot n!\\&=\prod _{k=1}^{n}(k!).\end{aligned}}$

Aufgabe (2 Punkte)

Frau Maier-Sengupta ist für ein halbes Jahr in Elternzeit. Ihr Sohn Siddhartha kam mit einem Gewicht von drei Kilogramm auf die Welt und wurde in den sechs Monaten ausschließlich von Muttermilch ernährt. Nach den sechs Monaten wiegt er zehn Kilogramm. Jeden Tag hat das Kind ${}150$ Milliliter Milch getrunken. Wie viel Milch hat Siddhartha in den sechs Monaten getrunken und wie viel Prozent davon ging in die Gewichtszunahme? (Rechne mit Monat = ${}30$ Tage und setze das Milchgewicht gleich dem Gewicht von Wasser an).

Lösung

${}150$ Milliliter sind ${}0{,}15$ Liter. Siddhartha hat somit in den sechs Monaten

${}6\cdot 30\cdot 0{,}15=180\cdot 0{,}15=27\,$

Liter Milch getrunken.

Dabei hat er ${}10-3=7$ Kilogramm zugenommen. Der Anteil der Gewichtszunahme an der Gesamttrinkmenge beträgt also

${}{\frac {7}{27}}=0{,}259\dotso \,$

In Prozent ist der Anteil ca. ${}26$ Prozent.

Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme, ob die reelle Zahl

${\sqrt {10000000000000000000000000000}}$

rational ist oder nicht.

Lösung

Es ist

${}{\sqrt {10000000000000000000000000000}}={\sqrt {10^{28}}}=10^{14}\,$

eine rationale Zahl.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper.

Lösung

Wir führen Induktion über ${}n$. Bei ${}n=0$ steht beidseitig ${}1$, sodass die Aussage gilt. Es sei nun die Aussage für ${}n$ bereits bewiesen. Dann ist

${}{\begin{aligned}(1+x)^{n+1}&=(1+x)^{n}(1+x)\\&\geq (1+nx)(1+x)\\&=1+(n+1)x+nx^{2}\\&\geq 1+(n+1)x,\end{aligned}}$

da Quadrate (und positive Vielfache davon) in einem angeordneten Körper nichtnegativ sind.

Aufgabe (2 Punkte)

In ${}\mathbb {Q}$ sei eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegeben, deren Anfangsglieder durch ${}x_{0}=0$, ${}x_{1}=0,7$, ${}x_{2}=0,73$, ${}x_{3}=0,734$ gegeben sind. Muss die Folge in ${}\mathbb {Q}$ konvergieren? Muss die Folge in ${}\mathbb {R}$ konvergieren? Kann die Folge in ${}\mathbb {Q}$ konvergieren? Kann die Folge in ${}\mathbb {R}$ konvergieren?

Lösung

Es sind nur die ersten Folgenglieder vorgegeben, die Folge kann beliebig weitergehen. Wenn beispielsweise ${}x_{n}=n$ für ${}n\geq 4$ ist, so konvergiert die Folge weder in ${}\mathbb {Q}$ noch in ${}\mathbb {R}$. Die Folge muss also nicht konvergieren. Wenn hingegen ${}x_{n}=0$ für ${}n\geq 4$ ist, so konvergiert die Folge sowohl in ${}\mathbb {Q}$ als auch in ${}\mathbb {R}$ gegen ${}0$. Die Folge kann also konvergieren.

Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

1. Bestimme die Glieder ${}x_{1},x_{2}$ der Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {3}}$ mit dem Startglied

   ${}x_{0}=1\,.$

2. Finde ganze Zahlen

   ${}a,b\neq 0\,$

   mit

   ${}\vert {a+b{\sqrt {3}}}\vert \leq {\frac {1}{10}}\,.$

Lösung

1. Es ist

   ${}x_{1}={\frac {1+3}{2}}=2\,$

   und

   ${}x_{2}={\frac {2+{\frac {3}{2}}}{2}}={\frac {7}{4}}\,.$

2. Von der Approximation

   ${}{\sqrt {3}}\sim {\frac {7}{4}}\,$

   her betrachten wir ${}7-4{\sqrt {3}}$. Wegen

   ${}49=7^{2}>(4{\sqrt {3}})^{2}=48\,$

   ist diese Zahl positiv. Wir behaupten

   ${}7-4{\sqrt {3}}\leq 0,1\,.$

   Dies ist äquivalent zu

   ${}6,9\leq 4{\sqrt {3}}\,.$

   Wegen

   ${}(6,9)^{2}=47,61\leq 48\,$

   ist dies richtig.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestätige die Gleichung

${}(-2+{\mathrm {i} })^{3}+(-2-{\mathrm {i} })^{3}=(1+{\mathrm {i} })^{4}\,.$

Lösung

Auf der einen Seite ist

${}(-2+{\mathrm {i} })^{3}=-8+12{\mathrm {i} }+6-{\mathrm {i} }=-2+11{\mathrm {i} }\,$

und

${}(-2-{\mathrm {i} })^{3}=-8-12{\mathrm {i} }+6+{\mathrm {i} }=-2-11{\mathrm {i} }\,,$

die Summe daraus ist ${}-4$. Auf der anderen Seite ist ${}(1+{\mathrm {i} })^{4}=1+4{\mathrm {i} }-6-4{\mathrm {i} }+1=-4$.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme für das Polynom

${}P=-6X^{9}-5X^{8}-4X^{7}+{\frac {1}{9}}X^{6}+X^{2}+X\,$

den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu ${}X^{6}$.

Lösung

Der Grad ist ${}9$, der Leitkoeffizient ist ${}-6$, der Leitterm ist ${}-6X^{9}$ und der Koeffizient zu ${}X^{6}$ ist ${}{\frac {1}{9}}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.

Lösung

Für die ${}2^{n}$ Zahlen ${}k=2^{n}+1,\ldots ,2^{n+1}$ ist

${}\sum _{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{k}}\geq \sum _{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{2^{n+1}}}=2^{n}{\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {1}{2}}\,.$

Daher ist

${}\sum _{k=1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{k}}=1+\sum _{i=0}^{n}\left(\sum _{k=2^{i}+1}^{2^{i+1}}{\frac {1}{k}}\right)\geq 1+(n+1){\frac {1}{2}}\,.$

Damit ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt und kann nach Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) nicht konvergent sein.

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Überabzählbarkeit von ${}\mathbb {R}$.

Lösung

Nehmen wir an, die Menge der reellen Zahlen sei abzählbar, dann ist insbesondere auch das Einheitsintervall ${}[0,1[$ abzählbar. Es sei also

$\psi \colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow [0,1[$

eine surjektive Abbildung. Wir betrachten die reellen Zahlen als Ziffernfolgen im Dreiersystem: Jede reelle Zahl ${}r\in [0,1[$ besitzt eine eindeutig bestimmte Darstellung als Reihe

$r=\sum _{k=1}^{\infty }z_{k}(r)3^{-k},$

wobei die ${}k$-te Nachkommaziffer ${}z_{k}(r)\in \{0,1,2\}$ ist und wobei nicht fast alle Ziffern gleich ${}2$ sind (sonst hätte man keine Eindeutigkeit). Wir definieren nun eine reelle Zahl durch ${}s=\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}3^{-k}$ mit

$b_{k}={\begin{cases}0,{\text{ falls }}(\psi (k))_{k}=1{\text{ oder }}2,\\1,\,{\text{ falls }}(\psi (k))_{k}=0\,.\end{cases}}$

Wir behaupten, dass diese Zahl ${}s$ nicht in der Aufzählung ${}\psi$ vorkommt. Für jedes ${}k\in \mathbb {N}$ ist nämlich ${}\psi (k)\neq s$, da ${}\psi (k)$ sich nach Konstruktion von ${}s$ an der ${}k$-ten Nachkommastelle unterscheidet. Also ist ${}\psi$ doch nicht surjektiv.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}a,b$ natürliche Zahlen und

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{a},$

und

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{b},$

die zugehörigen Potenzfunktionen. Bestimme ${}f\cdot g$, ${}f\circ g$ und ${}g\circ f$.

Lösung

Es ist

${}f\cdot g=x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}\,,$

das Produkt der beiden Funktionen ist also durch ${}x\mapsto x^{a+b}$ gegeben.

Es ist

${}{\begin{aligned}(f\circ g)(x)&=f(g(x))\\&=(x^{b})^{a}\\&=x^{ba},\end{aligned}}$

die Hintereinanderschaltung ${}f\circ g$ und ebenso ${}g\circ f$ ist also durch ${}x\mapsto x^{ab}$ gegeben.

Aufgabe (4 Punkte)

Finde für die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{3}-3x+1,$

eine Nullstelle im Intervall ${}[1,2]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal ${}1/8$.

Lösung

ungefähr ${}1,532$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}a\in \mathbb {R}$ und seien ${}f,g,h\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ Funktionen. Dabei seien ${}g$ und ${}h$ differenzierbar im Punkt ${}a$ und es gelte ${}g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$. Ferner sei

${}g'(a)=h'(a)\,.$

Zeige, dass auch ${}f$ in ${}a$ differenzierbar ist, und dass

${}f'(a)=g'(a)\,$

gilt.

Lösung

Zunächst ist ${}f(a)=g(a)=h(a)=:b$. Für die Differenzenquotienten zu einem Punkt ${}x\neq a$ gilt

${}{\frac {g(x)-b}{x-a}}\leq {\frac {f(x)-b}{x-a}}\leq {\frac {h(x)-b}{x-a}}\,$

für ${}x>a$ und

${}{\frac {g(x)-b}{x-a}}\geq {\frac {f(x)-b}{x-a}}\geq {\frac {h(x)-b}{x-a}}\,$

für ${}x<a$. Für eine Folge ${}x_{n}$, die gegen ${}a$ konvergiert, konvergieren wegen der Differenzierbarkeit von ${}g$ bzw. ${}h$ die äußeren Differentialquotienten ${}{\frac {g(x_{n})-b}{x_{n}-a}}$ bzw. ${}{\frac {h(x_{n})-b}{x_{n}-a}}$ gegen ${}g'(a)=h'(a)$. Aufgrund de Quetschkriteriums, angewendet auf die Teilfolge mit ${}x_{n}>a$ bzw. die Teilfolge mit ${}x_{n}<a$ zeigt, dass auch die Folge der mittleren Differenzenquotienten ${}{\frac {f(x_{n})-b}{x_{n}-a}}$ gegen ${}g'(x)=h'(x)$ konvergiert.

Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Die Süddeutsche Zeitung schrieb am 10.3.2020 unter dem Titel „Die Wucht der großen Zahl“ (von Christian Endt, Michael Mainka und Sören Müller-Hansen):

„Um zu verstehen, warum das neue Coronavirus so gefährlich ist, muss man sich klarmachen, was exponentielles Wachstum bedeutet. Der Begriff ist etwas sperrig, das Konzept dahinter aber einfach. Es geht um eine Vermehrung, die sich ständig selbst beschleunigt. Und dieses Muster lässt sich auch beim Coronavirus erkennen. Das ist der Hintergrund, warum nun immer strengere Auflagen verhängt werden, Fußballspiele ohne Publikum ausgetragen, Feste und Kongresse abgesagt werden. Und warum Gesundheitsminister Jens Spahn, Kanzlerin Angela Merkel und andere davon sprechen, man müsse die Ausbreitung des Virus verlangsamen. Sprich: Verhindern, dass es sich exponentiell verbreitet.“

1. Beschleunigt sich lineares Wachstum „ständig selbst“?
2. Beschleunigt sich quadratisches Wachstum wie bei der Funktion ${}f(x)=x^{2}$ „ständig selbst“?
3. Wie kann man exponentielles Wachstum charakterisieren?
4. Wenn man exponentielles Wachstum „verlangsamen“ möchte, verhindert man dann exponentielles Wachstum oder ändert man Parameter (welche?) für exponentielles Wachstum?

Lösung Wachstum/Exponentiell/Corona/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

1. Definiere die Funktion

   $[-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

   deren Graph der obere Halbkreis mit Mittelpunkt ${}(0,0)$ und Radius ${}1$ ist.

2. Bestimme das Taylorpolynom vom Grad ${}3$ zu ${}f$ im Entwicklungspunkt ${}0$.

Lösung

1. Aus der Kreisgleichung

   ${}x^{2}+y^{2}=1\,$

   folgt

   ${}y={\sqrt {1-x^{2}}}=:f(x)\,.$

2. Die Ableitung von ${}f$ ist

   ${}f'(x)={\frac {1}{2}}{\left(1-x^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\cdot (-2x)=-x{\left(1-x^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\,$

   und insbesondere ${}f'(0)=0$. Die zweite Ableitung ist

   ${}f^{\prime \prime }(x)=-{\left(1-x^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}-x^{2}{\left(1-x^{2}\right)}^{-{\frac {3}{2}}}\,$

   und insbesondere

   ${}f^{\prime \prime }(0)=-1\,.$

   Da ${}f$ eine gerade Funktion ist, ist die dritte Ableitung ungerade und deshalb ist

   ${}f^{\prime \prime \prime }(0)=0\,.$

   Das Taylorpolynom vom Grad ${}3$ ist somit

   $1-{\frac {1}{2}}x^{2}.$

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für differenzierbare Funktionen

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

und ein kompaktes Intervall ${}[a,b]\subset \mathbb {R}$ aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (es muss nicht gezeigt werden, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit im Innern des Intervalls angenommen wird).

Lösung

Aufgrund des Mittelwertsatz der Integralrechnung, angewendet auf die Ableitung ${}g'$, gibt es ein ${}c\in [a,b]$ mit

${}g(b)-g(a)=\int _{a}^{b}g'(t)dt=(b-a)g'(c)\,.$

Division durch ${}b-a$ liefert den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Flächeninhalt der Fläche, die oberhalb des Intervalls ${}[3,7]$ von der ${}x$-Achse und dem Graphen der Funktion

${}f(x)={\frac {1}{x\ln x}}\,$

eingeschlossen wird.

Lösung

Es ist

${}f(x)={\frac {1}{x\ln x}}={\frac {\frac {1}{x}}{\ln x}}\,.$

Somit steht im Zähler die Ableitung des Nenners und daher ist

$\ln \left(\ln x\right)$

eine Stammfunktion von ${}f(x)$ für ${}x>1$. Die Funktion ist überall positiv, somit ist der Flächeninhalt gleich

${}\int _{3}^{7}{\frac {1}{x\ln x}}\,dx=\left(\ln \left(\ln x\right)\right)|_{3}^{7}=\ln \left(\ln 7\right)-\ln \left(\ln 3\right)\,.$

Aufgabe (5 (2+2+1) Punkte)

Wir betrachten die Differentialgleichung

${}y'={\frac {1}{t}}y+y^{2}\,$

für ${}t,y>0$.

1. Zeige, dass man mit dem Ansatz

   ${}z=y^{-1}\,$

   eine lineare Differentialgleichung für ${}z$ bekommt.

2. Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung für ${}z$.
3. Finde Lösungen ${}y$ für die ursprüngliche Differentialgleichung.

Lösung

1. Mit

   ${}z=y^{-1}\,$

   ist

   ${}{\begin{aligned}z'&={\left(y^{-1}\right)}'\\&=-y^{-2}\cdot y'\\&=-y^{-2}\cdot ({\frac {1}{t}}y+y^{2})\\&=-{\frac {1}{t}}y^{-1}-1\\&=-{\frac {1}{t}}z-1,\end{aligned}}$

   diese ist linear.

2. Eine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung ist ${}t^{-1}$. Die Stammfunktionen von ${}-t$ sind ${}-{\frac {1}{2}}t^{2}+c$. Daher sind

   ${}z(t)={\left(-{\frac {1}{2}}t^{2}+c\right)}t^{-1}=-{\frac {1}{2}}t+ct^{-1}\,$

   die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung für ${}z$.

3. Daraus ergeben sich für ${}y$ die Lösungen

   ${}y(t)=z(t)^{-1}={\frac {1}{-{\frac {1}{2}}t+ct^{-1}}}={\frac {2t}{-t^{2}+2c}}\,.$