Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Vorlesung 41

Differentialgleichungen höherer Ordnung

Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall, ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und

$h\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann nennt man den Ausdruck

${}y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}\,$

eine Differentialgleichung der Ordnung ${}n$.

Unter einer Lösung einer Differentialgleichung höherer Ordnung versteht man eine ${}n$-mal differenzierbare Funktion

$y\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t)$

(wobei ${}J\subseteq I$ ein offenes Teilintervall ist) derart, dass

${}y^{(n)}(t)=h(t,y(t),y'(t),y^{\prime \prime }(t),\ldots ,y^{(n-1)}(t))\,$

für alle ${}t\in J$ gilt.

Differentialgleichungen beliebiger Ordnung können unter Inkaufnahme von neuen Variablen auf ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung zurückgeführt werden.

Lemma

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall, ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und

$h\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion.

Dann ist die Differentialgleichung höherer Ordnung

${}y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}\,$

über die Beziehung

${}v_{i}:=y^{(i)}\,$

äquivalent zum Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{n-2}\\v_{n-1}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n-1}\\h(t,v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n-1})\end{pmatrix}}\,.$

Beweis

Wenn

$y\colon J\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Lösung der Differentialgleichung höherer Ordnung

${}y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}\,$

ist, so sind alle Funktionen ${}v_{i}=y^{(i)}$ für ${}i=0,\ldots ,n-1$ differenzierbar, und es gilt ${}v_{i}'=v_{i+1}$ für ${}i=0,\ldots ,n-2$ nach Definition und schließlich

${}{\begin{aligned}v_{n-1}'(t)&={\left(y^{(n-1)}\right)}^{\prime }(t)\\&=y^{(n)}(t)\\&=h{\left(t,y(t),y'(t),y^{\prime \prime }(t),\ldots ,y^{(n-1)}(t)\right)}\\&=h{\left(t,v_{0}(t),v_{1}(t),v_{2}(t),\ldots ,v_{n-1}(t)\right)}.\end{aligned}}$

Wenn umgekehrt

$v\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine Lösung des Differentialgleichungssystems zum Vektorfeld

$F\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,v_{0},\ldots ,v_{n-1})\longmapsto F(t,v_{0},\ldots ,v_{n-1})=(v_{1},\ldots ,v_{n-1},h(t,v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n-1})),$

ist, so ergibt sich sukzessive aus den ersten ${}n-1$ Gleichungen, dass ${}y=v_{0}$ ${}n$-mal differenzierbar ist, und die letzte Gleichung des Differentialgleichungssystems besagt gerade

${}y^{(n)}(t)=h{\left(t,y(t),y'(t),y^{\prime \prime }(t),\ldots ,y^{(n-1)}(t)\right)}\,.$

$\Box$

Mit dieser Umformung ist auch klar, wie sinnvolle Anfangsbedingungen für eine Differentialgleichung höherer Ordnung aussehen. Man muss nicht nur einen Startwert ${}y(t_{0})=w_{0}$, sondern auch die höheren Ableitungen ${}y'(t_{0})=w_{1}$, ${}y^{\prime \prime }(t_{0})=w_{2}$, usw. festlegen.

Es ist im Allgemeinen schwierig, eine Differentialgleichung explizit zu lösen. Wir besprechen daher ein approximierendes Verfahren, nämlich das eulersche Polygonzugverfahren.

Polygonzugverfahren

Mit dem (eulerschen) Polygonzugverfahren wird die Lösungskurve einer Differentialgleichung diskret approximiert.

Verfahren  

Es sei ein Vektorfeld

$F\colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{d}$

auf einer offenen Menge ${}G\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{d}$ und eine Anfangsbedingung ${}y(t_{0})=P\in \mathbb {R} ^{d}$ gegeben. Das eulersche Polygonzugverfahren funktioniert folgendermaßen: Man wählt eine Schrittweite ${}s>0$ und berechnet rekursiv die Punktfolge ${}P_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, durch ${}P_{0}=P$ und

${}P_{n+1}=P_{n}+sF(t_{0}+ns,P_{n})\,.$

Zu einem schon konstruierten Punkt ${}P_{n}$ wird also das ${}s$-fache des Richtungsvektors zum Zeitpunkt ${}t_{0}+ns$ an diesem Punkt hinzuaddiert. Dies funktioniert nur, solange die Punkte im Definitionsbereich des Vektorfeldes liegen. Der zu dieser Punktfolge gehörende Streckenzug oder Polygonzug

$\delta \colon \mathbb {R} _{\geq t_{0}}\longrightarrow \mathbb {R} ^{d}$

ist die lineare Interpolation mit ${}\delta (t_{0}+ns)=P_{n}$, d.h. für ${}t$ mit ${}t_{0}+ns\leq t\leq t_{0}+(n+1)s$ ist

${}\delta (t)=P_{n}+{\frac {t-t_{0}-ns}{s}}{\left(P_{n+1}-P_{n}\right)}\,.$

Dieser Streckenzug ${}\delta$ stellt eine stückweise lineare Approximation der Lösungskurve des Anfangswertproblems dar. Für eine kleinere Schrittweite wird die Approximation im Allgemeinen besser.

Beispiel

Bei einer eindimensionalen ortsunabhängigen Differentialgleichung

${}y'=g(t)\,$

ergibt sich ${}y$ einfach als eine Stammfunktion zu ${}g$. Wendet man in dieser Situation Verfahren 41.3 zum Startzeitpunkt ${}t_{0}$, zum Startpunkt ${}c$ und zur Schrittweite ${}s$ an, so ergibt sich die rekursive Beziehung

$P_{0}=c{\text{ und }}P_{n+1}=P_{n}+sg(t_{0}+ns).$

Daher ist offenbar

$P_{n}=c+s{\left(g(t_{0})+g(t_{0}+s)+g(t_{0}+2s)+\cdots +g(t_{0}+(n-1)s)\right)}\,.$

D.h. dass man zu dem Ausgangswert ${}c$ das Treppenintegral zur äquidistanten Unterteilung ${}t_{0},t_{0}+s,t_{0}+2s,\ldots ,t_{0}+(n-1)s$ (und zur durch $g(t_{0}+ks)$ auf dem Teilintervall ${}[t_{0}+ks,t_{0}+(k+1)s[$ gegebenen Treppenfunktion) hinzuaddiert. Der zugehörige Streckenzug ist die (stückweise lineare) Integralfunktion zu dieser Treppenfunktion.

Beispiel

Wir wollen für das Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x^{2}-ty\\txy\end{pmatrix}}=F(t,x,y)\,$

mit der Anfangsbedingung

${}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\,$

gemäß Verfahren 41.3 einen approximierenden Streckenzug berechnen. Wir wählen die Schrittweite ${}s={\frac {1}{10}}$. Somit ist

${}P_{0}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\,,$

${}P_{1}=P_{0}+{\frac {1}{10}}F{\left(0,P_{0}\right)}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+{\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1,1\\1\end{pmatrix}}\,,$

${}{\begin{aligned}P_{2}&=P_{1}+{\frac {1}{10}}F{\left({\frac {1}{10}},P_{1}\right)}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {11}{10}}\\1\end{pmatrix}}+{\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}{\left({\frac {11}{10}}\right)}^{2}-{\frac {1}{10}}\cdot 1\\{\frac {1}{10}}\cdot {\frac {11}{10}}\cdot 1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {11}{10}}\\1\end{pmatrix}}+{\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}{\frac {111}{100}}\\{\frac {11}{100}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1211}{1000}}\\{\frac {1011}{1000}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}P_{3}&=P_{2}+{\frac {1}{10}}F{\left({\frac {2}{10}},P_{2}\right)}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1211}{1000}}\\{\frac {1011}{1000}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}{\left({\frac {1211}{1000}}\right)}^{2}-{\frac {2}{10}}\cdot {\frac {1011}{1000}}\\{\frac {2}{10}}\cdot {\frac {1211}{1000}}\cdot {\frac {1011}{1000}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1211}{1000}}\\{\frac {1011}{1000}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}{\frac {1264321}{1000000}}\\{\frac {2448642}{10000000}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {133743210}{100000000}}\\{\frac {103548642}{100000000}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Lineare Differentialgleichungssysteme

Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

${}v'=Mv\,,$

wobei

${}M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,$

eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen

$a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto a_{ij}(t),$

sind, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem.

Es handelt sich also um die Differentialgleichung zum Vektorfeld

$f\colon I\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,v)\longmapsto f(t,v)=(M(t))v={\begin{pmatrix}a_{11}(t)v_{1}+\cdots +a_{1n}(t)v_{n}\\\vdots \\a_{n1}(t)v_{1}+\cdots +a_{nn}(t)v_{n}\end{pmatrix}}.$

Dieses Vektorfeld ist zu jedem fixierten Zeitpunkt ${}t\in I$ eine lineare Abbildung

${\mathbb {R} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{n},\,v\longmapsto M(t)v.$

Ausgeschrieben liegt das Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}v'_{1}\\\vdots \\v'_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}(t)v_{1}+\cdots +a_{1n}(t)v_{n}\\\vdots \\a_{n1}(t)v_{1}+\cdots +a_{nn}(t)v_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}(t)&\cdots &a_{1n}(t)\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(t)&\cdots &a_{nn}(t)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$

vor. Es gibt immer die Nulllösung, also die konstante Abbildung mit dem Nullvektor als Wert, diese nennt man auch die triviale Lösung.

Für lineare Differentialgleichungssysteme gibt es wieder eine inhomogene Variante.

Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

${}v'=Mv+z\,,$

wobei

${}M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,$

eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen

$a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto a_{ij}(t),$

sind und wobei

$z\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto z(t)={\begin{pmatrix}z_{1}(t)\\\vdots \\z_{n}(t)\end{pmatrix}},$

eine Abbildung ist, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem. Die Abbildung ${}z$ heißt dabei Störabbildung.

Insgesamt liegt das Differentialgleichungssystem

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}v'_{1}\\\vdots \\v'_{n}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}a_{11}(t)v_{1}+\cdots +a_{1n}(t)v_{n}+z_{1}(t)\\\vdots \\a_{n1}(t)v_{1}+\cdots +a_{nn}(t)v_{n}+z_{n}(t)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a_{11}(t)&\cdots &a_{1n}(t)\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(t)&\cdots &a_{nn}(t)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}z_{1}(t)\\\vdots \\z_{n}(t)\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

vor.

Die explizite Lösbarkeit eines solchen Systems hängt natürlich von der Kompliziertheit der beteiligten Funktionen ${}a_{ij}$ und ${}z_{i}$ ab. In der folgenden Situation kann man das System auf einzelne eindimensionale lineare inhomogene Differentialgleichungen zurückführen und dadurch sukzessive lösen.

Lemma

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und es liege eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung der Form

${}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\vdots \\z_{n}\end{pmatrix}}\,$

mit stetigen Funktionen ${}a_{ij}\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ und ${}z_{i}\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ und den Anfangsbedingungen

$v_{i}(t_{0})=w_{i}\in \mathbb {R} {\text{ für }}i=1,\ldots ,n\,\,(t_{0}\in I)$

vor.

Dann lässt sich diese Gleichung lösen, indem man sukzessive unter Verwendung der zuvor gefundenen Lösungen die inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Variablen, nämlich

$v_{n}'=a_{nn}(t)v_{n}+z_{n}(t){\text{ mit }}v_{n}(t_{0})=w_{n},$

$v_{n-1}'=a_{n-1\,n-1}(t)v_{n-1}+a_{n-1\,n}(t)v_{n}(t)+z_{n-1}(t){\text{ mit }}v_{n-1}(t_{0})=w_{n-1},$

$v_{n-2}'=a_{n-2\,n-2}(t)v_{n-2}+a_{n-2\,n-1}(t)v_{n-1}(t)+a_{n-2\,n}(t)v_{n}(t)+z_{n-2}(t){\text{ mit }}v_{n-2}(t_{0})=w_{n-2},$

$\vdots$

$v_{1}'=a_{11}(t)v_{1}+a_{12}(t)v_{2}(t)+\cdots +a_{1n}(t)v_{n}(t)+z_{1}(t){\text{ mit }}v_{1}(t_{0})=w_{1},$

löst.

Beweis

Das ist trivial.

$\Box$

Die Lösungen eines solchen linearen Differentialgleichungssystems in oberer Dreiecksgestalt stehen also in Bijektion zu den Lösungen der ${}n$ linearen inhomogenen Differentialgleichungen in einer Ortsvariablen, wobei die Störfunktionen jeweils mit den anderen Lösungen in der beschriebenen Weise zusammenhängen. Insbesondere übertragen sich Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen.

Auch wenn man ein homogenes System lösen möchte, so muss man in den Einzelschritten inhomogene Differentialgleichungen lösen.

Beispiel

Wir betrachten das homogene lineare Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}^{\prime }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{t}}&t-1\\0&{\frac {2t}{t^{2}+1}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

für ${}t>0$. Die zweite Zeile dieses Systems bedeutet

${}y'={\frac {2t}{t^{2}+1}}\cdot y\,,$

das ist eine homogene lineare Differentialgleichung in einer Variablen. Ihre Lösungen sind gemäß Satz 29.2 gleich

${}y(t)=c{\left(t^{2}+1\right)}=ct^{2}+c\,$

mit einem ${}c\in \mathbb {R}$. Die erste Zeile des Systems führt daher auf

${}{\begin{aligned}x'&={\frac {1}{t}}x+(t-1)y\\&={\frac {1}{t}}x+c(t-1){\left(t^{2}+1\right)}\\&={\frac {1}{t}}x+c{\left(t^{3}-t^{2}+t-1\right)}.\end{aligned}}$

Dies ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung in einer Variablen. Die zugehörige homogene Gleichung ${}x'={\frac {1}{t}}x$ besitzt ${}t$ als eine Lösung. Nach Satz 29.10 müssen wir eine Stammfunktion von

${}c{\frac {t^{3}-t^{2}+t-1}{t}}=c{\left(t^{2}-t+1-{\frac {1}{t}}\right)}\,$

finden, eine solche ist

$c{\left({\frac {1}{3}}t^{3}-{\frac {1}{2}}t^{2}+t-\ln t\right)}+d.$

Daher ist

$t{\left(c{\left({\frac {1}{3}}t^{3}-{\frac {1}{2}}t^{2}+t-\ln t\right)}+d\right)}={\frac {c}{3}}t^{4}-{\frac {c}{2}}t^{3}+ct^{2}-ct\ln t+dt\,$

die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung. Also ist die allgemeine Lösung des Systems gleich

${\begin{pmatrix}{\frac {c}{3}}t^{4}-{\frac {c}{2}}t^{3}+ct^{2}-ct\ln t+dt\\ct^{2}+c\end{pmatrix}}.$

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