Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 68/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Aufgabe 68.1 ändern

Wir definieren auf ${}{\overline {\mathbb {R} }}$ eine Topologie, indem wir die Mengen

$]a,b[\,\,({\text{mit }}a,b\in \mathbb {R} ),\,[-\infty ,a[\,\,({\text{mit }}a\in \mathbb {R} ){\text{ und }}]a,\infty ]\,\,({\text{mit }}a\in \mathbb {R} )$

als Basis der Topologie nehmen. Zeige, dass ${}\mathbb {R}$ offen in dieser Topologie ist und die Unterraumtopologie zu dieser Topologie trägt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Borelmengen auf ${}{\overline {\mathbb {R} }}$ zu der in Aufgabe 68.1 eingeführten Topologie mit den in der Vorlesung direkt eingeführten Borel-Mengen übereinstimmen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass ${}{\overline {\mathbb {R} }}$ mit der in Aufgabe 68.1 eingeführten Topologie homöomorph zum abgeschlossenen Intervall ${}[0,1]$ ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine numerische Funktion. Zeige

${}\vert {f}\vert =f_{+}+f_{-}\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme das Supremum und das Infimum der Funktionenfolge

${}f_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}x^{k}\,.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ ein Messraum und ${}f\colon M\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$ eine nichtnegative messbare Funktion. Zeige, dass auch die Funktion

${\sqrt {f}}\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto {\sqrt {f(x)}},$

messbar ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}X$ ein Messraum und es sei

$f_{n}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von messbaren Funktionen, wobei ${}\mathbb {R}$ die ${}\sigma$- Algebra der Borelmengen trägt. Es sei ${}a\in \mathbb {R}$. Zeige, dass die Menge

${}M={\left\{x\in X\mid a{\text{ ist ein H}}{\ddot {\rm {a}}}{\text{ufungspunkt der Folge }}{\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right\}}\,$

eine messbare Teilmenge von ${}X$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe eine beliebige einfache Funktion mit Hilfe von Indikatorfunktionen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Summe und das Produkt von zwei einfachen Funktionen auf einem Messraum wieder einfach ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und es seien

$f,g\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

messbare Funktionen. Zeige, dass die Menge

${\left\{x\in M\mid f(x)=g(x)\right\}}$

messbar ist.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Summe und das Produkt von zwei ${}\sigma$- einfachen Funktionen auf einem Messraum wieder ${}\sigma$-einfach ist.

Eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt periodisch mit Periode ${}L>0$, wenn für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit

${}f(x)=f(x+L)\,$

gilt.

Aufgabe (5 (3+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine periodische Funktion mit der Periode ${}L>0$.

a) Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. ${}f$ ist messbar.
2. Die Einschränkung von ${}f$ auf das Intervall ${}[0,L[$ ist messbar.
3. Die Einschränkung von ${}f$ auf jedes Intervall der Form ${}[a,a+L[$ ist messbar.

b) Zeige, dass diese Äquivalenz für die Stetigkeit nicht gelten muss.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die approximierenden Funktionen ${}f_{0},f_{1},\ldots ,f_{5}$ für die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$

gemäß dem Beweis zu Lemma 68.11.

Aufgabe (6 (1+2+2+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ sei die Funktion ${}f_{n}$ durch

${}f_{n}(x)={\frac {\left\lfloor nf(x)\right\rfloor }{n}}\,$

definiert.

a) Zeige, dass die ${}f_{n}$ ${}\sigma$- einfach sind.

b) Zeige, dass die Funktionenfolge ${}f_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, punktweise gegen ${}f$ konvergiert.

c) Zeige, dass diese Funktionenfolge nicht wachsend sein muss.

d) Sind die ${}f_{n}$ messbar?