Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 77/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Zeige, dass man jeden Tangentialvektor in einem Punkt auf der Einheitssphäre durch einen „uniformen“ differenzierbaren Weg auf einem Großkreis realisieren kann.
Man gebe möglichst einfache Realisierungen für die Tangentialvektoren in einem Punkt auf dem Zylindermantel an.
Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und sei
eine differenzierbare Abbildung. Es sei und und es seien
zwei differenzierbare Kurven mit einem offenen Intervall und . Es seien und im Punkt tangential äquivalent. Zeige, dass auch die Verknüpfungen und tangential äquivalent in sind.
Man gebe ein Beispiel einer injektiven, nicht surjektiven, differenzierbaren Abbildung
derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung
in jedem Punkt bijektiv ist.
Man gebe ein Beispiel einer surjektiven, nicht injektiven, differenzierbaren Abbildung
derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung
in jedem Punkt bijektiv ist.
Zeige, dass auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit die Addition von Wegen
mit , die man durch eine Karte
mit aus der Addition im erhalten kann, im Allgemeinen von der gewählten Karte abhängt.
Zeige, dass die Tangentialabbildung zu
in jedem Punkt bijektiv ist.
Man gebe ein Beispiel einer surjektiven differenzierbaren Abbildung
zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung
in einem Punkt nicht surjektiv ist.
Man gebe ein Beispiel einer injektiven differenzierbaren Abbildung
zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung
in einem Punkt nicht injektiv ist.
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein Punkt. Wir betrachten die folgende Menge.
Wir betrachten die Relation
- Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation auf ist.
- Zeige, dass es eine natürliche Ringstruktur auf der Menge der Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation gibt.
Die in der vorstehenden Aufgabe eingeführte Topologie nennt man Bildtopologie.
Zeige, dass auf dem durch
eine Äquivalenzrelation definiert wird. Die Quotientenmenge
sei mit der Bildtopologie zur Quotientenabbildung versehen. Zeige, dass ein Hausdorff-Raum ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und . Zeige, dass für eine differenzierbare Kurve
mit und im Tangentialraum die Beziehung
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine - Mannigfaltigkeit und . Definiere für - Kurven
mit eine Äquivalenzrelation, die in einer (jeder) Karte die Ableitungen bis zur Ordnung berücksichtigt. Wie sehen einfache Vertreter dieser Äquivalenzrelation aus? Definiere eine Vektorraumstruktur auf der Quotientenmenge und bestimme die Dimension.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und . Wir sagen, dass zwei Kurven
mit den gleichen Kurvenkeim definieren, wenn es ein mit
gibt.
a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Kurven mit (und mit verschiedenen offenen Intervallen ) definiert.
b) Zeige, dass differenzierbare Kurven, die den gleichen Kurvenkeim repräsentieren, auch den gleichen Tangentialvektor repräsentieren.
Aufgabe (8 Punkte)Referenznummer erstellen
Der Quotientenraum sei mit der Bildtopologie versehen. Definiere auf eine Mannigfaltigkeitsstruktur durch geeignete Karten. Zeige, dass die Quotientenabbildung
eine differenzierbare Abbildung ist, und dass die Tangentialabbildung in jedem Punkt ein Isomorphismus ist.
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