Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 19/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von ist?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Betrachte die Funktion
die durch
definiert ist. Untersuche in Hinblick auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Extrema.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Betrachte die Funktion
Finde die Punkte derart, dass die Steigung der Funktion in gleich der Durchschnittssteigung zwischen und ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei
eine stetig differenzierbare Funktion, die mit der Diagonalen zwei Schnittpunkte besitze. Zeige, dass der Graph der Ableitung einen Schnittpunkt mit der durch definierten Geraden besitzt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei
a) Zeige, dass die Funktion im reellen Intervall genau eine Nullstelle besitzt.
b) Berechne die erste Nachkommastelle im Zehnersystem dieser Nullstelle.
c) Man gebe eine rationale Zahl derart an, dass ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine auf einem offenen Intervall definierte stetig differenzierbare Funktion und sei ein Punkt mit . Zeige, dass es offene Intervalle mit und derart gibt, dass die eingeschränkte Funktion bijektiv ist.
Aufgabe * Aufgabe 19.9 ändern
Zeige, dass eine reelle Polynomfunktion
vom Grad maximal lokale Extrema besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd streng wachsend oder streng fallend ist.
Aufgabe * Aufgabe 19.10 ändern
Es sei ein reelles Intervall,
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte . Zeige die folgenden Aussagen.
- Wenn ist, so besitzt in ein isoliertes lokales Minimum.
- Wenn ist, so besitzt in ein isoliertes lokales Maximum.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion
Aufgabe Referenznummer erstellen
Die Stadt soll mit den beiden Städten und mit durch Schienen verbunden werden. Dabei sollen die Schienen zunächst entlang der -Achse verlaufen und sich dann in die beiden Richtungen verzweigen. Bestimme den Verzweigungspunkt, wenn möglichst wenig Schienen verlegt werden sollen.
Aufgabe Referenznummer erstellen
An einen geradlinigen Fluss soll ein rechteckiges Areal der Fläche angelegt werden, dessen eine Seite der Fluss ist. Für die drei anderen Seiten braucht man einen Zaun. Mit welcher Zaunlänge kann man minimal auskommen?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion
hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.
Aufgabe * Aufgabe 19.15 ändern
Es sei eine -fach stetig differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die -te Ableitung überall positiv ist. Zeige, dass maximal Nullstellen besitzt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Führe die Details im Beweis zu Satz 19.8 aus.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Begründe den Mittelwertsatz der Differentialrechnung aus dem zweiten Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
Aufgabe Aufgabe 19.18 ändern
Es sei ein Intervall und es sei
die Menge der differenzierbaren Funktionen. Zeige, dass ein reeller Vektorraum ist und dass die Ableitung
eine lineare Abbildung ist. Bestimme den Kern dieser Abbildung und seine Dimension.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme den Grenzwert von
im Punkt , und zwar
a) mittels Polynomdivision,
b) mittels der Regel von l'Hospital.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme den Grenzwert
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Beweise die Regel von l'Hospital unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass die Nennerfunktion überall differenzierbar und die Ableitung keine Nullstelle besitzt, mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.
- Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie
Aufgabe Aufgabe 19.24 ändern
Welches Bildungsgesetz liegt der Folge
(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.)
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion
hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine Polynomfunktion vom Grad . Es sei die Anzahl der lokalen Maxima von und die Anzahl der lokalen Minima von . Zeige, dass bei ungerade und bei gerade ist.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass eine nichtkonstante rationale Funktion der Form
(mit , ), keine lokalen Extrema besitzt.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Abbildung
die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 19.24 entspricht (die natürlichen Zahlen sind dabei als endliche Ziffernfolgen im Zehnersystem zu verstehen).
- Ist wachsend?
- Ist surjektiv?
- Ist injektiv?
- Besitzt einen Fixpunkt?
- Die Weihnachtsaufgabe
Aufgabe (10 Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Abbildung
die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 19.24 entspricht. Unter einem Zykel von der Länge verstehen wir ein derart, dass ( bezeichnet die -te Hintereinanderschaltung von mit sich selbst) und ist für . Besitzt Zykel der Länge ?
(Diese Aufgabe ist gesondert abzugeben, die Deckelregel findet für sie keine Anwendung.)