Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 9

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass man jeden Tangentialvektor ${}v\in T_{P}S^{2}$ in einem Punkt ${}P$ auf der Einheitssphäre durch einen „uniformen“ differenzierbaren Weg auf einem Großkreis realisieren kann.

Aufgabe

Man gebe möglichst einfache Realisierungen für die Tangentialvektoren in einem Punkt ${}P=(s,t)$ auf dem Zylindermantel ${}S^{1}\times \mathbb {R}$ an.

Aufgabe

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in M$ und ${}Q=\varphi (P)$ und es seien

$\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M$

zwei differenzierbare Kurven mit einem offenen Intervall ${}0\in I$ und ${}\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P$. Es seien ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ im Punkt ${}P$ tangential äquivalent. Zeige, dass auch die Verknüpfungen ${}\varphi \circ \gamma _{1}$ und ${}\varphi \circ \gamma _{2}$ tangential äquivalent in ${}Q$ sind.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer injektiven, nicht surjektiven, differenzierbaren Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung

$T_{P}(\varphi )\colon T_{P}\mathbb {R} \longrightarrow T_{\varphi (P)}\mathbb {R}$

in jedem Punkt ${}P\in \mathbb {R}$ bijektiv ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer surjektiven, nicht injektiven, differenzierbaren Abbildung

$\varphi \colon S^{1}\longrightarrow S^{1}$

derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung

$T_{P}(\varphi )\colon T_{P}S^{1}\longrightarrow T_{\varphi (P)}S^{1}$

in jedem Punkt ${}P\in S^{1}$ bijektiv ist.

Aufgabe

Zeige, dass auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit die Addition von Wegen

$\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M$

mit ${}\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P\in M$, die man durch eine Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}\alpha (P)=0$ aus der Addition im ${}\mathbb {R} ^{n}$ erhalten kann, im Allgemeinen von der gewählten Karte abhängt.

Aufgabe

Zeige, dass die Tangentialabbildung ${}T_{P}(\varphi )$ zu

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{1}\longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t),$

in jedem Punkt ${}P\in \mathbb {R}$ bijektiv ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer surjektiven differenzierbaren Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$ derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung

$T_{P}(\varphi )\colon T_{P}M\longrightarrow T_{\varphi (P)}N$

in einem Punkt ${}P\in M$ nicht surjektiv ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer injektiven differenzierbaren Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$ derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung

$T_{P}(\varphi )\colon T_{P}M\longrightarrow T_{\varphi (P)}N$

in einem Punkt ${}P\in M$ nicht injektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Wir betrachten die folgende Menge.

$T={\left\{(U,f)\mid U\subseteq M{\text{ offen}},\,P\in U,\,f\in C^{1}(U,\mathbb {R} )\right\}}.$

Wir betrachten die Relation

$(U,f)\sim (V,g):{\text{ es gibt eine offene Menge }}W{\text{ mit }}P\in W\subseteq U\cap V{\text{ mit }}f{|}_{W}=g{|}_{W}.$

1. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation auf ${}T$ ist.
2. Zeige, dass es eine natürliche Ringstruktur auf der Menge der Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation gibt.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, ${}Y$ eine Menge und

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

eine Abbildung. Zeige, dass das Mengensystem

${\mathcal {T}}={\left\{V\subseteq Y\mid \varphi ^{-1}(V){\text{ ist offen in }}X\right\}}$

eine Topologie auf ${}Y$ definiert, bezüglich der ${}\varphi$ stetig ist.

Die in der vorstehenden Aufgabe eingeführte Topologie nennt man Bildtopologie.

Aufgabe

Zeige, dass auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ durch

$P\sim Q,{\text{ falls }}P-Q\in \mathbb {Z} ^{n}$

eine Äquivalenzrelation definiert wird. Die Quotientenmenge

${}Y=\mathbb {R} ^{n}/\!\!\sim =\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}\,$

sei mit der Bildtopologie zur Quotientenabbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow Y$ versehen. Zeige, dass ${}Y$ ein Hausdorff-Raum ist.

Aufgabe

Man entwickle die Grundzüge einer Theorie der „komplexen Mannigfaltigkeiten“. Was ist die zugrunde liegende reelle Mannigfaltigkeit, was ist die (komplexe/reelle) Dimension, wie sieht der Tangentialraum aus?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$. Zeige, dass für eine differenzierbare Kurve

$\gamma \colon I\longrightarrow M$

mit ${}\gamma (0)=P$ und ${}a\in \mathbb {R}$ im Tangentialraum ${}T_{P}M$ die Beziehung

${}a[\gamma ]=[\lambda ]\,$

gilt, wobei ${}\lambda$ durch ${}\lambda (t):=\gamma (at)$ definiert sei.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}C^{k}$- Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$. Definiere für ${}C^{k}$- Kurven

$\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M$

mit ${}\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P$ eine Äquivalenzrelation, die in einer (jeder) Karte die Ableitungen bis zur Ordnung ${}k$ berücksichtigt. Wie sehen einfache Vertreter dieser Äquivalenzrelation aus? Definiere eine Vektorraumstruktur auf der Quotientenmenge und bestimme die Dimension.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$. Wir sagen, dass zwei Kurven

$\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M$

mit ${}\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P$ den gleichen Kurvenkeim definieren, wenn es ein ${}\epsilon >0$ mit

${}\gamma _{1}\!\mid _{[-\epsilon ,\epsilon ]}=\gamma _{2}\!\mid _{[-\epsilon ,\epsilon ]}\,$

gibt.

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Kurven ${}\gamma \colon I\rightarrow M$ mit ${}\gamma (0)=P$ (und mit verschiedenen offenen Intervallen ${}0\in I$) definiert.

b) Zeige, dass differenzierbare Kurven, die den gleichen Kurvenkeim repräsentieren, auch den gleichen Tangentialvektor repräsentieren.

Aufgabe (8 Punkte)

Der Quotientenraum ${}Y=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}$ sei mit der Bildtopologie versehen. Definiere auf ${}Y$ eine Mannigfaltigkeitsstruktur durch geeignete Karten. Zeige, dass die Quotientenabbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow Y$

eine differenzierbare Abbildung ist, und dass die Tangentialabbildung in jedem Punkt ein Isomorphismus ist.