Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 10

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass

${}M={\left\{(x,y,z,t)\in \mathbb {R} ^{4}\mid x+x^{2}y+z^{2}+t^{3}=0\right\}}\,$

eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des ${}\mathbb {R} ^{4}$ ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass die Rotationsfläche des Graphen von ${}f$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des ${}\mathbb {R} ^{3}$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge aller reellen ${}n\times n$-Matrizen mit Determinante ${}1$ eine ${}(n^{2}-1)$-dimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des ${}\mathbb {R} ^{n^{2}}$ ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer abgeschlossenen Teilmenge ${}M\subseteq \mathbb {R}$, die keine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}\mathbb {R}$ ist.

Aufgabe

Bestimme die abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten von ${}\mathbb {R}$.

Aufgabe

Bestimme die abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten von ${}S^{1}$.

Aufgabe

Es seien ${}M$ und ${}N$ zwei disjunkte abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten des ${}\mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass deren Vereinigung ${}M\cup N$ ebenfalls eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist, und dass diese Aussage ohne die Voraussetzung der Disjunktheit nicht gilt.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass der Graph ${}\Gamma _{f}\subseteq \mathbb {R} ^{n+1}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des ${}\mathbb {R} ^{n+1}$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}M\neq \emptyset$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$. Zeige, dass es eine Kette von abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten

${}M_{0}\subseteq M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq \ldots \subseteq M_{n-1}\subseteq M_{n}=M\,$

derart gibt, dass die abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ${}M_{i}$ die Dimension ${}i$ besitzt.

Aufgabe *

Wir betrachten die Menge

${}N={\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mid A{\text{ ist nilpotent}}\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{4}\,$

der reellen nilpotenten ${}2\times 2$- Matrizen sowie die Menge

${}M=N\setminus \{{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\}\,.$

a) Ist ${}N$ zusammenhängend?

b) Zeige, dass ${}M$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer offenen Teilmenge ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{4}$ ist.

c) Bestimme die Dimension von ${}M$.

d) Ist ${}M$ zusammenhängend?

e) Überdecke ${}M$ mit expliziten topologischen Karten.

Aufgabe

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Es sei ${}T_{P}(i)$ die Tangentialabbildung zur Inklusion

$i\colon M\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

und ${}\gamma$ ein differenzierbarer Weg in ${}M$ mit

${}\gamma (0)=P\,.$

Zeige, dass in ${}\mathbb {R} ^{n}\cong T_{P}\mathbb {R} ^{n}$ die Gleichheit

${}T_{P}(i)([\gamma ])={\left(i\circ \gamma \right)}'(0)\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}\varphi \colon G\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ eine differenzierbare Abbildung und ${}M$ die Faser über ${}0\in \mathbb {R} ^{m}$. Es sei vorausgesetzt, dass das totale Differential in jedem Punkt dieser Faser surjektiv sei. Zeige, dass für ${}P\in M$ der Tangentialraum im Sinne von Definition 53.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) mit dem Tangentialraum der differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ im Punkt ${}P$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$\pi \colon TM\longrightarrow M$

das Tangentialbündel. Zeige, dass diese Projektionsabbildung stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}TM$ das Tangentialbündel zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$. Zeige, dass die Mengen ${}(T(\alpha ))^{-1}(V\times W)$ zu allen Karten

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}V,W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen eine Basis der Topologie auf dem Tangentialbündel bilden.

Aufgabe *

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Realisiere das Tangentialbündel von ${}Y$ als eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}W\times \mathbb {R} ^{n}$.

Aufgabe

Es sei ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit und ${}\varphi \colon V\rightarrow U\subseteq Y$ eine diffeomorphe Parametrisierung einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq Y$ durch eine offene Teilmenge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{d}$, wobei wir ${}\varphi$ auch als Abbildung nach ${}\mathbb {R} ^{n}$ auffassen. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}V&{\stackrel {\partial _{i}}{\longrightarrow }}&TV&\\\!\!\!\!\!\,\,\,\varphi \downarrow &\partial _{i}\varphi \searrow &\downarrow T(\varphi )\!\!\!\!\!&\\U&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&TU&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vorliegt.

Aufgabe

Seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass die zugehörige Tangentialabbildung

$T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN$

stetig ist.

Aufgabe

Berechne die Tangentialabbildung ${}T\varphi$ zu

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (x^{2}y-3xz^{3}+y^{2},x\sin y-e^{yz})$

unter Verwendung der Identifizierungen

${}T\mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}$ und ${}T\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}$.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer differenzierbaren Kurve

$\gamma \colon [0,1[\longrightarrow S^{1}$

derart, dass der Grenzwert ${}\operatorname {lim} _{t\rightarrow 1}\,\gamma (t)$ existiert, dass aber der Grenzwert ${}\operatorname {lim} _{t\rightarrow 1}\,(\gamma (t),T_{t}(\gamma )(1))$ in ${}TS^{1}$ nicht existiert.

Aufgabe

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit. Interpretiere die Hintereinanderschaltung

$TM\longrightarrow T\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}{\stackrel {+}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{n}.$

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

$TS^{1}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,((a,b),t(-b,a))\longmapsto (a,b)+t(-b,a),$

für jeden Punkt ${}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ außerhalb der Einheitskreisscheibe zwei Urbildpunkte, auf dem Einheitskreis einen Urbildpunkt und innerhalb der offenen Einheitskreisscheibe keinen Urbildpunkt besitzt. Man interpretiere dies geometrisch.

Aufgabe

Es sei ${}M\subseteq N$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}N$. Zeige, dass ${}TM\subseteq TN$ eine abgeschlossene Teilmenge ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer injektiven differenzierbaren Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$ derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung

$T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN$

nicht injektiv ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer surjektiven differenzierbaren Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$ derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung

$T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN$

nicht surjektiv ist.

Aufgabe *

Man gebe ein stetiges Vektorfeld auf ${}S^{2}$ an, das nur eine Nullstelle besitzt.

Aufgabe

Die Einheitssphäre ${}S^{2}$ bewege sich in einer Sekunde vollständig (vom Nordpol aus gesehen gegen den Uhrzeigersinn) um die Polachse. Welche differenzierbare Kurve und welcher Tangentialvektor an einen Punkt ${}P\in S^{2}$ gehört zu dieser Bewegung? Beschreibe das zugehörige Vektorfeld

$S^{2}\longrightarrow TS^{2}\subseteq T\mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} ^{6}.$

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit dem Tangentialbündel ${}p\colon TM\rightarrow M$ und sei

$\psi \colon Z\longrightarrow M$

eine Abbildung, wobei ${}Z$ eine Menge bezeichnet. Eine Abbildung

$F\colon Z\longrightarrow TM$

heißt Vektorfeld längs ${}\psi$, wenn ${}p\circ F=\psi$ gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (8 (3+3+2) Punkte)

Es seien ${}m,n\in \mathbb {N} _{+}$.

a) Zeige, dass die Menge

${}M={\left\{(x,y,u,v)\in \mathbb {R} ^{4}\mid ux^{m}+vy^{n}=1\right\}}\,$

eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des ${}\mathbb {R} ^{4}$ ist.

b) Zeige, dass die Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,u,v)\longmapsto (x,y),$

differenzierbar und in jedem Punkt ${}P\in M$ regulär ist.

c) Beschreibe die Fasern von ${}\varphi$.

Aufgabe (10 (2+3+5) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,x\longmapsto (x^{2},x^{3}).$

a) Zeige, dass diese Abbildung differenzierbar und injektiv ist.

b) Zeige, dass ${}\varphi$ nicht in jedem Punkt regulär ist.

c) Zeige, dass das Bild von ${}\varphi$ abgeschlossen in ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist, aber keine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass es eine Homöomorphie des Tangentialbündels ${}T_{S_{1}}$ der ${}1$- Sphäre ${}S^{1}$ mit dem Produkt ${}S^{1}\times \mathbb {R}$ gibt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$\pi \colon TM\longrightarrow M$

das Tangentialbündel. Zeige, dass ${}TM$ selbst in natürlicher Weise eine topologische Mannigfaltigkeit ist.

In der folgenden Aufgabe wird der Begriff eines ${}R$-Moduls verwendet (das ist eine direkte Verallgemeinerung des Vektorraumsbegriffes).

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M=(M,+,0)$ eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt ${}M$ einen ${}R$-Modul, wenn eine Operation

$R\times M\longrightarrow M,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,$

(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien $r,s\in R$ und $u,v\in M$ beliebig):

1. ${}r(su)=(rs)u$,
2. ${}r(u+v)=(ru)+(rv)$,
3. ${}(r+s)u=(ru)+(su)$,
4. ${}1u=u$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, sei ${}R=C^{1}(M,\mathbb {R} )$ der Ring der differenzierbaren Funktionen auf ${}M$ und sei ${}F$ die Menge aller Vektorfelder auf ${}M$.

a) Definiere eine Addition auf ${}F$ derart, dass ${}F$ zu einer kommutativen Gruppe wird.

b) Definiere eine Skalarmultiplikation

$R\times F\longrightarrow F,\,(f,s)\longmapsto fs,$

derart, dass ${}F$ zu einem ${}R$- Modul wird.