Kurs:Elementare Algebra/18/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	0	4	2	4	3	3	3	3	3	2	3	3	4	2	1	0	3	6	55

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Ordnung eines Elementes ${}g\in G$ in einer Gruppe ${}G$.
2. Der Binomialkoeffizient ${}{\binom {n}{k}}$.
3. Ein Radikal in einem kommutativen Ring ${}R$.
4. Der Exponent ${}{\exp _{p}(f)}$ zu einem Element ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, bezüglich eines Primelementes ${}p\in R$ in einem faktoriellen Bereich ${}R$.
5. Ein Vektorraum ${}V$ über einem Körper ${}K$.
6. Eine algebraische Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$.

Lösung

1. Man nennt die kleinste positive Zahl ${}n$ mit ${}g^{n}=e_{G}$ die Ordnung von ${}g$. Wenn alle positiven Potenzen von ${}g$ vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man ${}\operatorname {ord} \,(g)=\infty$.
2. Der Binomialkoeffizient ist durch

   ${}{\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$

   definiert.

3. Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Radikal, wenn folgendes gilt: Falls ${}f^{n}\in {\mathfrak {a}}$ ist für ein ${}n\in \mathbb {N}$, so ist bereits ${}f\in {\mathfrak {a}}$.
4. Der Exponent ${}{\exp _{p}(f)}$ ist die maximale natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}p^{n}{|}f$.
5. Unter einem Vektorraum ${}V$ über ${}K$ versteht man eine Menge ${}V$ mit einem ausgezeichneten Element ${}0\in V$ und mit zwei Abbildungen

   $+\colon V\times V\longrightarrow V,\,(u,v)\longmapsto u+v,$

   und

   $K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv=s\cdot v,$

   derart, dass die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien ${}r,s\in K$ und ${}u,v,w\in V$ beliebig):

   1. ${}u+v=v+u$,
   2. ${}(u+v)+w=u+(v+w)$,
   3. ${}v+0=v$,
   4. Zu jedem ${}v$ gibt es ein ${}z$ mit ${}v+z=0$,
   5. ${}r(su)=(rs)u$,
   6. ${}r(u+v)=ru+rv$,
   7. ${}(r+s)u=ru+su$,
   8. ${}1\cdot u=u$.
6. Eine Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$ heißt algebraisch, wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Polynom ${}P\in \mathbb {Q} [X]$ gibt mit ${}P(z)=0$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Ideale im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$.
2. Der Satz über Normalteiler und Restklassengruppe.
3. Der Satz über die Konstruktion der Quadratwurzel.

Lösung

1. Ein Polynomring über einem Körper ist ein Hauptidealbereich.
2. Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}H\subseteq G$ ein Normalteiler. Es sei ${}G/H$ die Menge der Nebenklassen (die Quotientenmenge) und

   $q\colon G\longrightarrow G/H,\,g\longmapsto [g],$

   die kanonische Projektion. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf ${}G/H$ derart, dass ${}q$ ein Gruppenhomomorphismus

   ist.
3. Es sei ${}G$ eine mit zwei Punkten ${}0$ und ${}1$ markierte Gerade, die wir mit den reellen Zahlen identifizieren. Es sei ${}a\in G_{+}$ eine positive reelle Zahl. Dann ist die Quadratwurzel ${}{\sqrt {a}}$ aus ${}0,1,a$ mittels Zirkel und Lineal konstruierbar.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3}\in K$ Elemente in einem Körper ${}K$. Zeige, dass

${}w=\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{1}\mu _{3}+\mu _{2}\mu _{3}\,$

und

${}z=-(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})w+\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}\,$

die Gleichung ${}z^{2}=(w+\mu _{1}^{2})(w+\mu _{2}^{2})(w+\mu _{3}^{2})$ erfüllen.

Lösung

Die linke Seite ist

${}z^{2}=(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})^{2}w^{2}-2(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}w+\mu _{1}^{2}\mu _{2}^{2}\mu _{3}^{2}\,$

und die rechte Seite ist

${}(w+\mu _{1}^{2})(w+\mu _{2}^{2})(w+\mu _{3}^{2})=w^{3}+(\mu _{1}^{2}+\mu _{2}^{2}+\mu _{3}^{2})w^{2}+(\mu _{1}^{2}\mu _{2}^{2}+\mu _{1}^{2}\mu _{3}^{2}+\mu _{2}^{2}\mu _{3}^{2})w+\mu _{1}^{2}\mu _{2}^{2}\mu _{3}^{2}\,.$

Um die Gleichheit zu zeigen, können wir den Summanden ${}\mu _{1}^{2}\mu _{2}^{2}\mu _{3}^{2}$ beidseitig abziehen und ${}w$ ausklammern, es ist somit

${}(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})^{2}w-2(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}=w^{2}+(\mu _{1}^{2}+\mu _{2}^{2}+\mu _{3}^{2})w+\mu _{1}^{2}\mu _{2}^{2}+\mu _{1}^{2}\mu _{3}^{2}+\mu _{2}^{2}\mu _{3}^{2}\,$

zu zeigen. Wir ziehen ${}(\mu _{1}^{2}+\mu _{2}^{2}+\mu _{3}^{2})w$ beidseitig ab und dann ist

${}2(\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{1}\mu _{3}+\mu _{2}\mu _{3})w-2(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}=w^{2}+\mu _{1}^{2}\mu _{2}^{2}+\mu _{1}^{2}\mu _{3}^{2}+\mu _{2}^{2}\mu _{3}^{2}\,$

zu zeigen. Der Summand links ist ${}2w^{2}$, wir ziehen ${}w^{2}$ beidseitig ab und somit folgt die Behauptung aus

${}{\begin{aligned}w^{2}&=(\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{1}\mu _{3}+\mu _{2}\mu _{3})^{2}\\&=\mu _{1}^{2}\mu _{2}^{2}+\mu _{1}^{2}\mu _{2}^{3}+\mu _{2}^{2}\mu _{3}^{2}+2\mu _{1}^{2}\mu _{2}\mu _{3}+2\mu _{1}\mu _{2}^{2}\mu _{3}+2\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}^{2}\\&=\mu _{1}^{2}\mu _{2}^{2}+\mu _{1}^{2}\mu _{2}^{3}+\mu _{2}^{2}\mu _{3}^{2}+2(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}\end{aligned}}$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die inversen Elemente der folgenden komplexen Zahlen.

1. ${}3$.
2. ${}5{\mathrm {i} }$.
3. ${}3+5{\mathrm {i} }$.

Lösung

1. ${}{\frac {1}{3}}$.
2. ${}-{\frac {1}{5}}{\mathrm {i} }$.
3. ${}{\frac {3-5{\mathrm {i} }}{34}}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom und ${}a\in K$. Zeige, dass ${}a$ genau dann eine Nullstelle von ${}P$ ist, wenn ${}P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms ${}X-a$ ist.

Lösung

Wenn ${}P$ ein Vielfaches von ${}X-a$ ist, so kann man

${}P=(X-a)Q\,$

mit einem weiteren Polynom ${}Q$ schreiben. Einsetzen ergibt

${}P(a)=(a-a)Q(a)=0\,.$

Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung

${}P=(X-a)Q+R\,,$

wobei ${}R=0$ oder aber den Grad ${}0$ besitzt, also so oder so eine Konstante ist. Einsetzen ergibt

${}P(a)=R\,.$

Wenn also ${}P(a)=0$ ist, so muss der Rest ${}R=0$ sein, und das bedeutet, dass ${}P=(X-a)Q$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Führe in ${}\mathbb {Z} /(7)[X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=2X^{3}+4X^{2}+5$ und ${}T=3X^{2}+X+1$ durch.

Lösung

Es ist

${}2X^{3}+4X^{2}+5={\left(3X^{2}+X+1\right)}{\left(3X+5\right)}+6X\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}P$ und ${}Q$ verschiedene normierte Polynome vom Grad ${}d$ über einem Körper ${}K$. Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?

Lösung

Ein Schnittpunkt liegt vor, wenn

${}P(x)=Q(x)\,$

ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn ${}x$ eine Nullstelle von ${}P-Q$ ist. Da beide Polynome normiert sind und den gleichen Grad ${}d$ besitzen, hebt sich bei der Subtraktion der Leitterm weg und es ergibt sich ein Polynom vom Grad maximal ${}d-1$. Da ${}P\neq Q$ ist, ist die Differenz nicht das Nullpolynom. Nach Fakt ***** besitzt somit ${}P-Q$ maximal ${}d-1$ Nullstellen, und daher gibt es maximal ${}d-1$ Schnittpunkte.

Aufgabe (3 Punkte)

Es ist ${}1+2+3=1\cdot 2\cdot 3$. Gibt es neben der ${}1$ weitere natürliche (ganze, reelle, komplexe) Zahlen ${}x$, die die Gleichung

${}x+(x+1)+(x+2)=x\cdot (x+1)\cdot (x+2)\,$

erfüllen?

Lösung

Es gibt noch die ganzzahligen Lösungen

${}x=-3\,$

(Summe und Produkt der drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist ${}-6$) und

${}x=-1\,$

(Summe und Produkt der drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist ${}0$). Die Gleichung ist eine polynomiale Gleichung vom Grad ${}3$, daher gibt es über einem beliebigen Körper keine weiteren Lösungen.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}71894$ und ${}45327$.

Lösung

Der Euklidische Algorithmus liefert:

$71894=1\cdot 45327+26567$

$45327=1\cdot 26567+18760$

$26567=1\cdot 18760+7807$

$18760=2\cdot 7807+3146$

$7807=2\cdot 3146+1515$

$3146=2\cdot 1515+116$

$1515=13\cdot 116+7$

$116=16\cdot 7+4$

$7=1\cdot 4+3$

$4=1\cdot 3+1.$

Die Zahlen ${}71894$ und ${}45327$ sind also teilerfremd.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, für welche ${}n\geq 2$ der Binomialkoeffizient

${\binom {n}{2}}$

eine Primzahl ist.

Lösung

Für ${}n=2$ ist

${}{\binom {2}{2}}=1\,$

keine Primzahl. Für ${}n=3$ ist

${}{\binom {3}{2}}=3\,$

eine Primzahl. Wir behaupten, dass für ${}n\geq 4$ der Binomialkoeffizient

${}{\binom {n}{2}}={\frac {n\cdot (n-1)}{2}}\,$

keine Primzahl ist. Wenn nämlich ${}n$ gerade ist, so ist ${}n-1$ gerade und es ist

${}{\frac {n\cdot (n-1)}{2}}={\frac {n}{2}}\cdot (n-1)\,$

und beide Faktoren sind ${}\geq 2$, also liegt eine echte Faktorzerlegung vor. Wenn ${}n$ ungerade ist, so ist

${}{\frac {n\cdot (n-1)}{2}}=n\cdot {\frac {n-1}{2}}\,$

und wieder sind beide Faktoren ${}\geq 2$, also liegt eine echte Faktorzerlegung vor.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Exponenten zu ${}3$ von ${}72657$.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}72657&=3\cdot 24219\\&=3^{2}\cdot 8073\\&=3^{3}\cdot 2691\\&=3^{4}\cdot 897\\&=3^{5}\cdot 299.\end{aligned}}$

Wegen

${}299=99\cdot 3+2\,$

ist ${}299$ nicht durch ${}3$ teilbar, also ist der Exponent zu ${}3$ von ${}72657$ gleich ${}5$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass das Produkt von ${}n$ aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von ${}n!$ geteilt wird.

Lösung

Es ist

${}\prod _{j=1}^{n}(k+j)={\frac {(k+n)!}{k!}}=n!{\frac {(k+n)!}{n!k!}}=n!{\binom {k+n}{k}}\,.$

Da der Binomialkoeffizient ${}{\binom {k+n}{k}}$ eine ganze Zahl ist, folgt, dass das Produkt der ${}n$ aufeinanderfolgenden Zahlen von ${}n!$ geteilt wird.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu ${}{\overline {35}}$ in ${}\mathbb {Z} /(101)$.

Lösung

Der euklidische Algorithmus liefert

${}101=2\cdot 35+31\,,$

${}35=1\cdot 31+4\,,$

${}31=7\cdot 4+3\,,$

${}4=1\cdot 3+1\,.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}1&=4-1\cdot 3\\&=4-1\cdot (31-7\cdot 4)\\&=8\cdot 4-1\cdot 31\\&=8\cdot (35-31)-1\cdot 31\\&=8\cdot 35-9\cdot 31\\&=8\cdot 35-9\cdot (101-2\cdot 35)\\&=26\cdot 35-9\cdot 101.\end{aligned}}$

Daher ist ${}26$ das inverse Element zu ${}35$ in ${}\mathbb {Z} /(101)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{x^{4}+1}}$

unter Verwendung der Zerlegung

${}x^{4}+1={\left(x^{2}+{\sqrt {2}}x+1\right)}{\left(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1\right)}\,.$

Lösung

Da das Polynom ${}x^{4}+1$ stets positiv ist, besitzt es keine reelle Nullstelle und daher lässt sich die angegebene Faktorzerlegung nicht weiter in Linearfaktoren aufspalten. Aufgrund von Fakt ***** gibt es also eine eindeutige Darstellung

${}{\frac {1}{x^{4}+1}}={\frac {ax+b}{x^{2}+{\sqrt {2}}x+1}}+{\frac {cx+d}{x^{2}-{\sqrt {2}}x+1}}\,.$

Multiplikation mit dem Hauptnenner führt auf

${}{\begin{aligned}1&={\left(ax+b\right)}{\left(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1\right)}+{\left(cx+d\right)}{\left(x^{2}+{\sqrt {2}}x+1\right)}\\&={\left(a+c\right)}x^{3}+{\left(b+d-a{\sqrt {2}}+c{\sqrt {2}}\right)}x^{2}+{\left(a+c-b{\sqrt {2}}+d{\sqrt {2}}\right)}x+b+d.\end{aligned}}$

Koeffizientenvergleich liefert

$a+c=0,\,1+{\sqrt {2}}{\left(c-a\right)}=0,\,{\sqrt {2}}(-b+d)=0{\text{ und }}b+d=1.$

Daraus folgt ${}a=-c={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}$ und ${}b=d={\frac {1}{2}}$. Die Partialbruchzerlegung ist also

${}{\frac {1}{x^{4}+1}}={\frac {{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}x+{\frac {1}{2}}}{x^{2}+{\sqrt {2}}x+1}}+{\frac {-{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}x+{\frac {1}{2}}}{x^{2}-{\sqrt {2}}x+1}}\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

1. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden.
2. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden.
3. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden.
4. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden.

Lösung

1. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   ${}\,$

2. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   ${}\,$

3. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   ${}\,$

4. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   ${}\,$

Aufgabe (1 Punkt)

Drücke

${\sqrt[{2}]{5}}\cdot {\sqrt[{3}]{7}}$

mit einer einzigen Wurzel aus.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\sqrt[{2}]{5}}\cdot {\sqrt[{3}]{7}}&=5^{\frac {1}{2}}\cdot 7^{\frac {1}{3}}\\&={\left(5^{3}\right)}^{\frac {1}{6}}\cdot {\left(7^{2}\right)}^{\frac {1}{6}}\\&=125^{\frac {1}{6}}\cdot 49^{\frac {1}{6}}\\&=6125^{\frac {1}{6}}\\&={\sqrt[{6}]{6125}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl ${}\pi +e{\mathrm {i} }$ über ${}\mathbb {R}$.

Lösung

Wegen ${}e\neq 0$ gehört diese Zahl nicht zu ${}\mathbb {R}$, daher besitzt das Minimalpolynom den Grad ${}2$. Es ist

${}{\begin{aligned}(\pi +e{\mathrm {i} })^{2}&=\pi ^{2}-e^{2}+2\pi e{\mathrm {i} }\\&=\pi ^{2}-e^{2}+2\pi (\pi +e{\mathrm {i} })-2\pi ^{2}\\&=2\pi (\pi +e{\mathrm {i} })-\pi ^{2}-e^{2}.\end{aligned}}$

Daher ist

$X^{2}-2\pi X+\pi ^{2}+e^{2}$

das Minimalpolynom.

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen ${}K\subseteq L\subseteq M$.

Lösung

Wir setzen ${}\operatorname {grad} _{K}L=n$ und ${}\operatorname {grad} _{L}M=m$. Es sei ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in L$ eine ${}K$-Basis von ${}L$ und ${}y_{1},\ldots ,y_{m}\in M$ eine ${}L$-Basis von ${}M$. Wir behaupten, dass die Produkte

$x_{i}y_{j},1\leq i\leq n,1\leq j\leq m,$

eine ${}K$-Basis von ${}M$

bilden. Wir zeigen zuerst, dass diese Produkte den Vektorraum ${}M$ über ${}K$ aufspannen. Es sei dazu ${}z\in M$. Wir schreiben

$z=b_{1}y_{1}+\cdots +b_{m}y_{m}{\text{ mit Koeffizienten }}b_{j}\in L.$

Wir können jedes ${}b_{j}$ als

${}b_{j}=a_{1j}x_{1}+\cdots +a_{nj}x_{n}$ mit Koeffizienten ${}a_{ij}\in K$ ausdrücken. Das ergibt

${}{\begin{aligned}z&=b_{1}y_{1}+\cdots +b_{m}y_{m}\\&=(a_{11}x_{1}+\cdots +a_{n1}x_{n})y_{1}+\cdots +(a_{1m}x_{1}+\cdots +a_{nm}x_{n})y_{m}\\&=\sum _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq m}a_{ij}x_{i}y_{j}.\end{aligned}}$

Daher ist ${}z$ eine ${}K$-Linearkombination der Produkte ${}x_{i}y_{j}$.
Um zu zeigen, dass diese Produkte linear unabhängig sind, sei

$0=\sum _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq m}c_{ij}x_{i}y_{j}$

angenommen mit ${}c_{ij}\in K$. Wir schreiben dies als ${}0=\sum _{j=1}^{m}(\sum _{i=1}^{n}c_{ij}x_{i})y_{j}$. Da die ${}y_{j}$ linear unabhängig über ${}L$ sind und die Koeffizienten der ${}y_{j}$ zu ${}L$ gehören folgt, dass ${}\sum _{i=1}^{n}c_{ij}x_{i}=0$ ist für jedes ${}j$. Da die ${}x_{i}$ linear unabhängig über ${}K$ sind und ${}c_{ij}\in K$ ist folgt, dass ${}c_{ij}=0$ ist für alle ${}i,j$.