Kurs:Elementare Algebra/7/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	0	3	0	2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	11

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. /Definition/Begriff
2. Eine Untergruppe ${}H$ in einer Gruppe ${}G$.
3. Ein Integritätsbereich.
4. Ein Primelement ${}p\in R,\,p\neq 0$, in einem kommutativen Ring ${}R$.
5. /Definition/Begriff
6. /Definition/Begriff

Lösung

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. /Definition/Begriff
2. Eine Untergruppe ${}H$ in einer Gruppe ${}G$.
3. Ein Integritätsbereich.
4. Ein Primelement ${}p\in R,\,p\neq 0$, in einem kommutativen Ring ${}R$.
5. /Definition/Begriff
6. /Definition/Begriff

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Charakterisierung von einem Körper mit Idealen.
2. Das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
3. Der Satz über endliche Körpererweiterungen von ${}\mathbb {R}$ .

Lösung

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Charakterisierung von einem Körper mit Idealen.
2. Das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
3. Der Satz über endliche Körpererweiterungen von ${}\mathbb {R}$ .

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Polynom ${}P\in \mathbb {Q} [X]$ an, das nicht zu ${}\mathbb {Z} [X]$ gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl ${}n$ gilt: ${}P(n)\in \mathbb {Z}$.

Lösung

Betrachte das Polynom

${}P={\frac {X(X-1)}{2}}={\frac {X^{2}}{2}}-{\frac {X}{2}}\,.$

Die Koeffizienten liegen in ${}\mathbb {Q}$, aber nicht in ${}\mathbb {Z}$. Wenn man in dieses Polynom eine ganze Zahl ${}n$ einsetzt, so ist genau eine der Zahlen ${}n$ und ${}n-1$ gerade. Also ist ${}P(n)={\frac {n(n-1)}{2}}$ ganzzahlig.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich ${}R$.

Lösung

Angenommen, wir haben eine Zerlegung ${}p=ab$. Wegen der Primeigenschaft teilt ${}p$ einen Faktor, sagen wir ${}a=ps$. Dann ist ${}p=psb$ bzw. ${}p(1-sb)=0$. Da ${}p$ kein Nullteiler ist, folgt ${}1=sb$, sodass also ${}b$ eine Einheit ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung