Kurs:Funktionentheorie/10/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 7 3 4 5 5 7 7 2 3 0 0 4 2 0 55




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Gebiet .
  2. Die Sinusreihe.
  3. Ein diskreter Bewertungsring.
  4. Eine isolierte Singularität.
  5. Der Hauptteil einer meromorphen Funktion auf einer offenen Teilmenge in einem Punkt .
  6. Die Windungszahl um zu einem stetigen, stückweise stetig differenzierbaren Weg


Lösung

  1. Komplexe Zahlen/Gebiet/Definition/Begriff/Inhalt
  2. Für heißt

    die Sinusreihe zu .

  3. Ein diskreter Bewertungsring ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in gibt.
  4. Offene Menge/Punkt/Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Definition/Begriff/Inhalt
  5. Meromorphe Funktion/C/Punkt/Hauptteil/Definition/Begriff/Inhalt
  6. Komplexe Ebene/Punkt/Stetig differenzierbarer Weg/Windungszahl/Integral/Definition/Begriff/Inhalt


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Holomorphie und antiholomorphe Ableitung.
  2. Die Integralformel von Cauchy für die Kreisscheibe.
  3. Der Identitätssatz für holomorphe Abbildungen.


Lösung

  1. Es sei offen und eine reell total differenzierbare Abbildung. Genau dann ist auf komplex differenzierbar, wenn auf gilt. In diesem Fall ist
  2. Es sei eine offene Menge, eine komplex differenzierbare Funktion. Es sei eine abgeschlossene Kreisscheibe und es sei

    der stetige Weg, der den Rand von gleichmäßig durchläuft. Es sei .

    Dann ist

  3. Es sei eine zusammenhängende offene Teilmenge und seien holomorphe Funktionen. Die Übereinstimmungsmenge von und , also besitze einen Häufungspunkt in . Dann ist .


Aufgabe (7 Punkte)

Zeige, dass die gebrochen-linearen Funktionen , die den Rand der Einheitskreisscheibe auf sich abbilden, auf die Form

mit und gebracht werden können.


Lösung

Die Bedingung besagt

für alle mit . Dies bedeutet insbesondere

Daraus folgt

bzw.

und

(da die Funktionen auf dem Rand linear unabhängig sind). Es ist , denn sonst wäre auch und es würde eine konstante Funktion vorliegen. Wir kürzen mit , das ändert nach Fakt ***** die gebrochen lineare Funktion nicht, und bleiben bei der Bezeichnung für die drei anderen Koeffizienten. Mit , , haben wir die Bedingungen

und

also

bzw.

Daraus folgt (und ) oder (und ). Betrachten wir den Fall , dann ist der Betrag von gleich . Durch Multiplikation mit können wir davon ausgehen, dass die Abbildung die Form

besitzt. Die Bedingung wird dann zu , und es liegt eine konstante, also keine gebrochen lineare Funktion vor. Betrachten wir den Fall , dann ist der Betrag von gleich . Durch Multiplikation mit können wir davon ausgehen, dass die Abbildung die Form

besitzt. Die Bedingung wird dann zu

die Abbildung hat also die Form

mit einer komplexen Zahl vom Betrag . Bei

kann man das vorziehen und erhält dann wieder eine konstante Funktion.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei offen und seien reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die antiholomorphe Ableitung die Produktregel

erfüllt.


Lösung

Wir verwenden die Produktregel für die beiden partielle Ableitungen, also

und

die in dieser Form auf Aufgabe 4.2 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) beruht. Somit folgt die Aussage mit


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Zu Reihen und komplexer Zahlen nennen wir die Reihe

das „Quadratrandprodukt“ der beiden Reihen.

  1. Zeige, dass jedes Produkt genau zu einem beiträgt.
  2. Die beiden Reihen seien konvergent. Zeige, dass auch die Reihe konvergent ist, und dass deren Summe gleich dem Produkt der beiden Reihen ist.


Lösung

  1. Das Produkt geht einzig in den Summanden mit ein, bei sichert die zweite Summationsgrenze, dass dieses Produkt nicht doppelt gezählt wird.
  2. Für die Partialsummen

    gilt direkt

    Das heißt, dass das Produkt der jeweiligen Partialsummenfolgen ist und daher nach Lemma 6.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))  (2) gegen das Produkt der Grenzwerte konvergiert.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine auf konvergente Potenzreihe und sei ein Punkt derart, dass die umentwickelte Potenzreihe mit Entwicklungspunkt die Nullreihe sei. Zeige, dass dann auch die Ausgangsreihe die Nullreihe ist.


Lösung

Es sei die durch die Potenzreihe gegebene Funktion auf . Wir betrachten die Menge

Nach Voraussetzung gehört zu , die Menge ist also nicht leer. Die Menge ist offen: Wenn ist, und also die umentwickelte Reihe auf die Nullreihe ist, so gilt dies auch für alle Punkte . Die Menge ist aber auch abgeschlossen. Es sei eine Folge in , die gegen konvergiere. Da die Potenzreihen mit Entwicklungspunkt die Nullreihen sind, ist insbesondere . Für die Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ergibt sich also, dass der Entwicklungspunkt ein Häufungspunkt der Nullstellen ist. Daraus folgt nach Lemma 8.9 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)), dass diese Potenzreihe ebenfalls die Nullreihe ist, also zu gehört. ist also offen und abgeschlossen und nicht leer, also ist es ganz .


Aufgabe (5 (1+4) Punkte)

  1. Bestimme die Taylorreihe zur Funktion

    im Entwicklungspunkt .

  2. Es sei

    und es sei

    die Taylorreihe zu im Entwicklungspunkt . Bestimme die Koeffizienten aus der Gleichung


Lösung

  1. Es ist

    daher ist dies die Taylorreihe zur Quadratfunktion im Entwicklungspunkt .

  2. Mit

    ist

    wobei wir zur Vereinfachung gesetzt haben. Die Bedingung

    lautet somit ausgeschrieben

    Daraus können die sukzessive durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden, da in der unendlichen Summe nur endlich viele Terme die Koeffizienten bestimmen. Zunächst ergibt sich

    Aus (Koeffizient vor )

    ergibt sich

    Aus (Koeffizient vor )

    ergibt sich

    Aus (Koeffizient vor )

    ergibt sich

    Aus (Koeffizient vor )

    ergibt sich


Aufgabe (7 (3+4) Punkte)

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

(mit ) und

und die Differentialform

auf dem .

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform auf dem .

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform zum Weg in Abhängigkeit von .


Lösung

a) Die zurückgezogene Differentialform ist

b) Das Wegintegral ist


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Potenzreihenentwicklungssatz von Cauchy.


Lösung

Zur Notationsvereinfachung sei . Nach der Integralformel gilt für jedes

mit einem einfachen Umlaufweg

um in . Nach Korollar 13.5 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) gilt auch

mit einem Umlaufweg um in , wobei gelten und im Innern dieses Kreises sein muss. Wir schreiben den Integranden als

Hierbei ist auf dem Kreis (bzw. auf dem Intervall) beschränkt und daher konvergiert diese Reihe für festes absolut und (als Funktion in ) gleichmäßig gegen die Grenzfunktion. Nach Lemma 23.16 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) (angewendet auf Real- und Imaginärteil), kann man den Grenzwert der Reihe mit dem Integral vertauschen, daher ist

Da dies für jedes im Innern der Kreisscheibe gilt und die Koeffizienten unabhängig von sind, liegt eine beschreibende konvergente Potenzreihe vor.


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine diskrete Teilmenge , die nicht abgeschlossen ist.


Lösung

Es sei

die Menge der Stammbrüche. Diese Menge ist nicht abgeschlossen, da der Grenzwert der Folge der Stammbrüche, nämlich , nicht zu gehört. Die Menge ist diskret, da man zu jedem Stammbruch ein finden kann derart, dass in der -Umgebung kein weiterer Stammbruch liegt.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Ort, wo die Laurent-Reihe konvergiert und welche Funktion sie darstellt.


Lösung

Es handelt sich um die Reihe, die entsteht, wenn man in die geometrische Reihe einsetzt. Nach Korollar 16.7 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) ist die Laurent-Reihe für

konvergent und stellt dort die Funktion

dar.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Fundamentalgruppe eines kontrahierbaren Raumes trivial ist.


Lösung

Es sei

die Kontraktion des topologischen Raumes auf den Punkt und es sei

ein stetiger geschlossener Weg in mit Aufpunkt . Wir betrachten die zusammengesetzte Abbildung

und behaupten, dass dies eine Homotopie zwischen und dem konstanten Weg ergibt. Dies folgt aus

für alle ,

für alle ,

für alle und

für alle . Dies bedeutet, dass nullhomotop ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine offene Menge mit und sei eine holomorphe Funktion. Es sei

(mit einer Konstanten ) auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von . Zeige, dass dann

gilt.


Lösung

Wenn

gilt, so ist

Also ist

und damit


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung