Lösung
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über Holomorphie und antiholomorphe Ableitung.
- Die
Integralformel von Cauchy für die Kreisscheibe.
- Der
Identitätssatz
für holomorphe Abbildungen.
Lösung
- Es sei
offen
und
eine reell
total differenzierbare
Abbildung.
Genau dann ist auf
komplex differenzierbar,
wenn
auf gilt.
In diesem Fall ist
-
- Es sei
eine
offene Menge,
eine
komplex differenzierbare
Funktion. Es sei
eine
abgeschlossene Kreisscheibe
und es sei
-
der stetige Weg, der den Rand von gleichmäßig durchläuft. Es sei
.
Dann ist
-
- Es sei
eine
zusammenhängende
offene Teilmenge
und seien
holomorphe Funktionen. Die Übereinstimmungsmenge von
und ,
also besitze einen
Häufungspunkt
in .
Dann ist
.
Lösung
Die Bedingung besagt
-
für alle mit
.
Dies bedeutet insbesondere
Daraus folgt
-
bzw.
-
und
-
(da die Funktionen auf dem Rand linear unabhängig sind).
Es ist
,
denn sonst wäre auch
und es würde eine konstante Funktion vorliegen. Wir kürzen mit , das ändert nach
Fakt *****
die gebrochen lineare Funktion nicht, und bleiben bei der Bezeichnung für die drei anderen Koeffizienten. Mit
,
,
haben wir die Bedingungen
-
und
-
also
-
bzw.
-
Daraus folgt
(und
)
oder
(und
).
Betrachten wir den Fall
,
dann ist der Betrag von gleich . Durch Multiplikation mit können wir davon ausgehen, dass die Abbildung die Form
-
besitzt. Die Bedingung wird dann zu
,
und es liegt eine konstante, also keine gebrochen lineare Funktion vor. Betrachten wir den Fall
,
dann ist der Betrag von gleich . Durch Multiplikation mit können wir davon ausgehen, dass die Abbildung die Form
-
besitzt. Die Bedingung wird dann zu
-
die Abbildung hat also die Form
-
mit einer komplexen Zahl vom Betrag . Bei
-
kann man das vorziehen und erhält dann wieder eine konstante Funktion.
Lösung
Wir verwenden die Produktregel für die beiden partielle Ableitungen, also
-
und
-
die in dieser Form auf
Aufgabe 4.2 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024))
beruht. Somit folgt die Aussage mit
Lösung
- Das Produkt geht einzig in den Summanden mit
ein, bei
sichert die zweite Summationsgrenze, dass dieses Produkt nicht doppelt gezählt wird.
- Für die
Partialsummen
-
gilt direkt
Das heißt, dass das Produkt der jeweiligen Partialsummenfolgen ist und daher nach
Lemma 6.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) (2)
gegen das Produkt der Grenzwerte konvergiert.
Lösung
Es sei die durch die Potenzreihe gegebene Funktion auf . Wir betrachten die Menge
-
Nach Voraussetzung gehört zu , die Menge ist also nicht leer. Die Menge ist offen: Wenn
ist, und also die umentwickelte Reihe auf die Nullreihe ist, so gilt dies auch für alle Punkte
.
Die Menge ist aber auch abgeschlossen. Es sei eine Folge in , die gegen
konvergiere. Da die Potenzreihen mit Entwicklungspunkt die Nullreihen sind, ist insbesondere
.
Für die Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ergibt sich also, dass der Entwicklungspunkt ein Häufungspunkt der Nullstellen ist. Daraus folgt nach
Lemma 8.9 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)),
dass diese Potenzreihe ebenfalls die Nullreihe ist, also zu gehört. ist also offen und abgeschlossen und nicht leer, also ist es ganz .
- Bestimme die Taylorreihe zur Funktion
-
im Entwicklungspunkt .
- Es sei
-
und es sei
-
die Taylorreihe zu im Entwicklungspunkt . Bestimme die Koeffizienten aus der Gleichung
-
Lösung
- Es ist
-
daher ist dies die Taylorreihe zur Quadratfunktion im Entwicklungspunkt .
- Mit
-
ist
-
wobei wir zur Vereinfachung
gesetzt haben. Die Bedingung
-
lautet somit ausgeschrieben
Daraus können die sukzessive durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden, da in der unendlichen Summe nur endlich viele Terme die Koeffizienten bestimmen. Zunächst ergibt sich
-
Aus
(Koeffizient vor )
-
ergibt sich
-
Aus
(Koeffizient vor )
-
ergibt sich
-
Aus
(Koeffizient vor )
-
ergibt sich
-
Aus
(Koeffizient vor )
-
ergibt sich
-
Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen
-
(mit )
und
-
und die Differentialform
-
auf dem .
a) Berechne die zurückgezogene Differentialform auf dem .
b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform zum Weg in Abhängigkeit von .
Lösung
a) Die zurückgezogene Differentialform ist
b) Das Wegintegral ist
Beweise den Potenzreihenentwicklungssatz von Cauchy.
Lösung
Zur Notationsvereinfachung sei
.
Nach
der Integralformel
gilt für jedes
-
mit einem einfachen Umlaufweg
-
um in . Nach
Korollar 13.5 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024))
gilt auch
-
mit einem Umlaufweg um in , wobei
gelten und im Innern dieses Kreises sein muss. Wir schreiben den Integranden als
-
Hierbei ist auf dem Kreis
(bzw. auf dem Intervall)
beschränkt und daher konvergiert diese Reihe für festes
absolut
und
(als Funktion in )
gleichmäßig
gegen die Grenzfunktion. Nach
Lemma 23.16 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
(angewendet auf Real- und Imaginärteil),
kann man den Grenzwert der Reihe mit dem Integral vertauschen, daher ist
Da dies für jedes im Innern der Kreisscheibe gilt und die Koeffizienten unabhängig von sind, liegt eine beschreibende konvergente Potenzreihe vor.
Lösung
Bestimme den Ort, wo die
Laurent-Reihe
konvergiert und welche Funktion sie darstellt.
Lösung
Es handelt sich um die Reihe, die entsteht, wenn man in die geometrische Reihe einsetzt. Nach
Korollar 16.7 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024))
ist die Laurent-Reihe für
-
konvergent und stellt dort die Funktion
-
dar.
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung
Es sei
-
die
Kontraktion
des
topologischen Raumes
auf den Punkt
und es sei
-
ein stetiger
geschlossener Weg
in mit Aufpunkt . Wir betrachten die zusammengesetzte Abbildung
-
und behaupten, dass dies eine Homotopie zwischen und dem konstanten Weg ergibt. Dies folgt aus
-
für alle ,
-
für alle ,
-
für alle und
-
für alle . Dies bedeutet, dass
nullhomotop
ist.
Lösung
Wenn
-
gilt, so ist
-
Also ist
-
und damit
-
Lösung /Aufgabe/Lösung