Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 44

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Folgen in einem angeordneten Körper ${}K$, die beide gegen ${}c\in K$ konvergieren mögen. Zeige, dass die Differenzfolge ${}x_{n}-y_{n}$ eine Nullfolge ist.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {5}}$ zum Startwert ${}x_{0}=2$. Konvergiert diese Folge in ${}\mathbb {Q}$?

Aufgabe

Es sei ${}c\in \mathbb {Q} _{+}$, ${}x_{0}\in \mathbb {Q} _{+}$ und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die zugehörige Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {c}}$. Wann konvergiert diese Folge in ${}\mathbb {Q}$?

Aufgabe

Bestimme für die Folge

${}x_{n}:={\frac {2}{3n+5}}\,$

und

${}\epsilon ={\frac {1}{10}},\,{\frac {1}{100}},\,{\frac {1}{1000}},\,{\frac {1}{10000}},\ldots \,,$

ab welchem (minimalen) ${}n$ die Abschätzung

${}x_{n}\leq \epsilon \,$

gilt.

Aufgabe

Bestimme für die Folge

${}x_{n}:={\frac {4n-3}{5n-2}}\,$

und

${}\epsilon ={\frac {1}{10}},\,{\frac {1}{100}},\,{\frac {1}{1000}},\,{\frac {1}{10000}},\ldots \,,$

ab welchem (minimalen) ${}n$ die Abschätzung

${}\vert {x_{n}-{\frac {4}{5}}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Folge ${}{\left({\frac {1}{n^{k}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem archimedisch angeordneten Körper gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe

Zeige, dass bei einer Folge in einem angeordneten Körper ${}K$ die Änderung von endlich vielen Folgengliedern weder die Konvergenz noch den Grenzwert ändert.

Aufgabe

Zu ${}n\in \mathbb {N}$ sei die rationale Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ folgendermaßen definiert: Es sei

${}x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}\,$

die größte Zahl mit ${}a_{n}\in \mathbb {N}$ und mit ${}x_{n}^{2}\leq 5$. Zeige, dass die Folge eine Dezimalbruchfolge ist.

Aufgabe *

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ sei durch einen Anfangswert ${}x_{0}\in K$ und durch die Rekursionsvorschrift

${}x_{n+1}=-x_{n}\,$

gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.

Aufgabe *

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ sei durch einen Anfangswert ${}x_{0}\in K_{+}$ und durch die Rekursionsvorschrift

${}x_{n+1}={\left(x_{n}\right)}^{-1}\,$

gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem angeordneten Körper ${}K$. Zeige, dass die Folge genau dann gegen ${}x\in K$ konvergiert, wenn die durch

${}y_{n}:=x_{n}-x\,$

gegebene Folge eine Nullfolge ist.

In den folgenden Aufgaben werden die Aussagen (1), (3) und (5) von Lemma 44.12 bewiesen.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}K$. Zeige, dass die Summenfolge ${}{\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}+y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}+{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}K$. Es sei ${}c\in K$. Zeige, dass die Folge ${}{\left(c\cdot x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(c\cdot x_{n}\right)}=c\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\,$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}K$. Es sei ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass ${}{\left({\frac {y_{n}}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent ist mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {y_{n}}{x_{n}}}={\frac {\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}}{x}}\,.$

Aufgabe *

Entscheide, ob die Folge

${}x_{n}={\frac {3n^{3}-n^{2}-7}{2n^{3}+n+8}}\,$

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe

Entscheide, ob die Folge

${}x_{n}={\frac {6n^{3}+3n^{2}-4n+5}{7n^{3}-6n^{2}-2}}\,$

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ zwei konvergente Folgen mit ${}x_{n}\geq y_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass dann ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\geq \lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es sei ${}I=[a,b]$ ein abgeschlossenes Intervall in ${}K$. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}K$ mit ${}x_{n}\in I$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Die Folge konvergiere gegen ${}x\in K$. Zeige ${}x\in I$.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in ${}K$. Es gelte ${}x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$ und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert ${}a$. Zeige, dass dann auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert ${}a$ konvergiert.

Aufgabe

Zeige, dass die Folge

${}x_{n}=n\,$

in keinem angeordneten Körper konvergiert. Kann sie beschränkt sein?

Aufgabe

Untersuche die durch

$x_{n}={\frac {1}{\sqrt {n}}}$

gegebene Folge (${}n\geq 1$) auf Konvergenz.

Aufgabe

Bestimme mit Hilfe der Bernoulli-Ungleichung den Grenzwert der Folge

${}x_{n}:={\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}^{n}\,.$

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 13.30 hilfreich.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, in dem die Wurzeln ${}{\sqrt[{n}]{n}}$ zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ existieren. Zeige, dass die Folge ${}x_{n}={\sqrt[{n}]{n}}$ ab ${}n\geq 3$ streng fallend ist.

Aufgabe *

Zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ sei ${}a_{n}$ die Summe der ungeraden Zahlen bis ${}n$ und ${}b_{n}$ die Summe der geraden Zahlen bis ${}n$. Entscheide, ob die Folge

${}x_{n}={\frac {a_{n}}{b_{n}}}\,$

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe

Man gebe Beispiele für positive monoton wachsende unbeschränkte Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ derart, dass die Folge

${\left({\frac {y_{n}}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

1. gegen ${}0$ konvergiert,
2. gegen ${}1$ konvergiert,
3. divergiert.

Aufgabe *

Es sei

${}x_{n}:=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\,.$

1. Finde das kleinste ${}n$ mit

   ${}x_{n}\geq 2\,.$

2. Finde das kleinste ${}n$ mit

   ${}x_{n}\geq 2{,}5\,.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und seien ${}a,b\in K_{+}$. Zeige, dass die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{ak+b}}$

divergiert.

Aufgabe

Zeige, dass die Reihe

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {k}}}$

divergiert.

Aufgabe

Zeige analog zu Beispiel 44.14, dass das (gliedweise) Produkt der kanonischen Dezimalbruchfolgen von zwei rationalen Zahlen nicht die Dezimalbruchfolge des Produktes sein muss.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass ${}K$ genau dann archimedisch angeordnet ist, wenn die Folge der Stammbrüche ${}{\frac {1}{n}},\,n\geq 1$, gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Folgen in einem angeordneten Körper ${}K$ mit ${}x_{n},y_{n}\in K_{+}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Die Quadratfolgen ${}x_{n}^{2}$ und ${}y_{n}^{2}$ seien konvergent und es sei ${}x_{n}^{2}-y_{n}^{2}$ eine Nullfolge. Zeige, dass ${}x_{n}-y_{n}$ ebenfalls eine Nullfolge ist.

Aufgabe *

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Folgen in einem angeordneten Körper ${}K$ mit ${}x_{n},y_{n}\in K_{+}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Es sei ${}x_{n}^{2}-y_{n}^{2}$ eine Nullfolge. Zeige, dass ${}x_{n}-y_{n}$ ebenfalls eine Nullfolge ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}K$. Zeige, dass die Folge eine wachsende oder eine fallende Teilfolge enthält.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der durch

${}x_{n}={\frac {7n^{3}-3n^{2}+2n-11}{13n^{3}-5n+4}}\,$

definierten Folge.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe Beispiele für konvergente Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ mit ${}x_{n}\neq 0$, ${}n\in \mathbb {N}$, und mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=0$ derart, dass die Folge

${\left({\frac {y_{n}}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

1. gegen ${}0$ konvergiert,
2. gegen ${}1$ konvergiert,
3. divergiert.

Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}K$ mit Grenzwert ${}x$. Zeige, dass dann auch die durch

${}y_{n}:={\frac {x_{0}+x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}\,$

definierte Folge gegen ${}x$ konvergiert.

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 44.31 hilfreich.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}c\in K_{+}$. Es seien ${}x_{0},y_{0}\in K_{+}$ Startwerte und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ bzw. ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die zugehörigen Heron-Folgen zur Berechnung von ${}{\sqrt {c}}$. Zeige, dass ${}x_{n}-y_{n}$ eine Nullfolge ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die Folge

${\left({\frac {n^{3}}{2^{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die beiden Reihen

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+2}}$

divergieren.